高三数学一轮复习精品课件5：8.4 直线、平面垂直的判定与性质

悟·技法 1.证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂 直”. (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂 直”. (4)利用面面垂直的性质定理.
2.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系. (2)利用等腰三角形底边中线的性质. (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直线与平面垂直的性质.
【规律方法】 1.面面垂直的证明方法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面 角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个 平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决. 提醒:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平 面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的 直线”.
1 4
.由(1)知,CD⊥平面ABD,
所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积
VA-MBC=VC-ABM=
1 3
S△ABM·h=1 12 Nhomakorabea.
命题角度2:利用直线垂直平面的性质证明线线垂直
【典例3】(2015·临沂模拟)如图所示,已知AB为圆O
的直径,点D为线段AB上一点,且AD=
1 3
DB,点C为
圆O上一点,且BC= 3 AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.
求证:PA⊥CD.
【解答】因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,在Rt△ABC中,由 3 AC =BC得,∠ABC=30°,设AD=1,由3AD=DB得,DB=3,BC=2 3 ,由余弦定 理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3, 所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AO. 因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC, 所以PD⊥CD,由PD∩AO=D得,CD⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB, 所以PA⊥CD.
(2)(2015·济南模拟)已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则 α⊥β的一个充分条件是( ) A.l⊂α,m⊂β,且l⊥m B.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n C.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m D.l⊂α,l∥m,且m⊥β
【解答】(1)选C.对A若m⊥n,n∥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故A 选项错误;对B若m∥β,β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故B选项错误; 对C若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α,故C选项正确;对D若m⊥n,n⊥β, β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故D选项错误.
考点3 平面与平面垂直的判定与性质 【典例4】如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点. 已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线PA∥平面DEF. (2)平面BDE⊥平面ABC.
【解答】(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点, 则有PA∥DE, 又PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF, 所以PA∥平面DEF.
(3)记忆口诀: 判断线面的垂直,线垂面中两交线; 两线垂直同一面,两线平行共伸展; 两面垂直同一线,一面平行另一面; 要让面面相垂直,面过另面一垂线; 面面垂直成直角,线面垂直记心间.
考点1 与线、面垂直关系有关命题真假的判断 【典例1】(1)(2014·浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同 的平面( ) A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
(2)选D.对于A,若l⊂α,m⊂β,且l⊥m.如图(1)所示虽满足条件,但α与β不垂 直.
对于B,当m∥n时,也得不到平面α与平面β垂直. 对于C,如图(2)所示条件满足但平面α与平面β不垂直. 对于D,由l∥m,m⊥β得l⊥β,又l⊂α,因此有α⊥β.
【规律方法】与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图在 头脑中形成印象来判断. (2)寻找反例,只要存在反例,那么结论就不正确. (3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单 说明.
(3)平面与平面垂直 ①二面角的有关概念: (ⅰ)二面角:从一条直线出发的_两__个__半__平__面__所组成的图形叫做二面角; (ⅱ)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个 半平面内分别作_垂__直__于__棱__的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二 面角的平面角. ②平面和平面垂直的定义: 两个平面相交,如果所成的二面角是_直__二__面__角__,就说这两个平面互相 垂直.
考点2 线面垂直的判定与性质 知·考情
直线与平面垂直的判定与应用是高考考查垂直关系的一个重要考 向.常与线线垂直、面面垂直及平行关系综合出现在解答题中,考查线 面垂直的判定定理及其性质.
明·角度 命题角度1:证明直线与平面垂直 【典例2】如图,在三棱锥A-BCD中, AB⊥平面BCD,CD⊥BD. (1)求证:CD⊥平面ABD. (2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.
【解答】(1)因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.又因为
CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,所以CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD,因为AB=BD=1,所以S△ABD=
1 2
.
因为M是AD的中点,所以S△ABM=
1 2
S△ABD=
2.三种垂直关系的转化
3.面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用 时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个 平面.
把握规则 争取满分 1.注意答题的规范性 在解题过程中,注意答题要求,严格按照直线、平面垂直的 判定定理与性质定理条件的要求,有序进行论证说明.如本例(1)证明面 面垂直时,要论证平面ABE内的直线垂直平面B1BCC1,再交待其在平面 ABE内,从而利用面面垂直的判定定理得证.
2.关键步骤要全面 阅卷时,主要看关键步骤、关键点,有则得分,无则扣分,所以解题时要写 全关键步骤,不能漏掉,否则扣分. 3.涉及运算要准确 在解题过程中,涉及有关长度、角、面积、体积等计算问题时,一定要 细心准确,否则思路正确,由于运算失误而扣分,非常可惜.
第八章 立体几何
8.4 直线、平面垂直的判定与性质
【知识梳理】
1. (1)直线与平面垂直
①定义:直线l与平面α内的_任__意__一条直线都垂直,就说直线l与平面
α互相垂直. ②判定定理与性质定理:
文字语言
图形语言
符号语言
判 定 定 理
一条直线与一个平面内的
两条_相__交__直线都垂直,则 该直线与此平面垂直
_a_,b_⊂__α___
_a_∩_b_=__O_
_l⊥__a_
⇒l⊥α
_l⊥__b_
文字语言
性质定理
垂直于同一个 平面的两条直 线_平__行__
图形语言
符号语言
_a_⊥__α__ _b_⊥__α__
⇒a∥b
(2)直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和_它__在__平__面__上__的__射__影__所成的_锐__角__叫做这条 直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是 _直__角__;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是_0_°__的__角__. ②范围:__[0_,_2_].
(2)由(1)知PA∥DE,又PA⊥AC,所以DE⊥AC,
又F是AB的中点,E是AC的中点,
所以DE= 1 PA=3,EF=1 BC=4,
2
2
又DF=5,所以DE2+EF2=DF2,
所以DE⊥EF,EF,AC是平面ABC内两条相交直线,
所以DE⊥平面ABC,
又DE⊂平面BDE,故平面BDE⊥平面ABC.
2. (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直 线(证明线线垂直的一个重要方法).
3. (1)常用方法:证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的方法,求线面角, 二面角的方法. (2)数学思想:数形结合思想,转化与化归思想.
③平面与平面垂直的判定定理与性质定理:
文字语言 一个平面过另一个平面 判定 定理 的_垂__线__,则这两个平面垂 直
图形语言
性质 定理
两个平面垂直,则一个
平面内垂直于__交__线_的直 线与另一个平面垂直
符号语言
_l_⊥__α_ _l_⊂__β_ ⇒α⊥β
_α__⊥__β__ _l_⊂__β_ __α_∩__β_=_a__ ⇒l⊥α _l⊥__a_