梯形公式
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a
b
ba h= n 在子区间[ xk , xk +1 ]( k = 0,1,L , n 1)上使用两点梯形公式
xk = a + kh , k = 0 ,1,L , n
得
∫ f ( x)dx = ∑ ∫ f ( x)dx
a i =1 xi1 n
b
n
xi
xi xi 1 ( xi xi 1 ) 3 = ∑[ ( f ( xi 1 ) + f ( xi )) f ′′(ξ i )] 2 12 i =1 h h3 = ∑ [ ( f ( xi 1 ) + f ( xi )) f ′′(ξ i )] 12 i =1 2 由于f ′′( x)在[a, b]连续,由介值定理知 : 在[a, b]内必存在一点η , 使得
其中
n 1 h Tn = ( f (a ) + 2∑ f ( xi ) + f (b)) 2 i =1
为复合梯形公式的近似值
En
(T )
(b a ) 2 h f ′′(η ) = 12
为复合梯形公式的截断误差
五、复合梯形公式算法 目标 已知区间[a, b]上的函数f ( x), 用复合梯形公式求数值积分∫ f ( x)dx.
(b a ) 3 R[ f ] = f ′′(η ) 12
η ∈ [ a , b]
四、复合梯形公式
所谓复合方法， 即将积分区间[ a , b ]分成若干个子区间 然后在每个小区间上使用低阶求积公式，最后将每 个小区间上的积分的近似值相加
将定积分 ∫ f ( x )dx的积分区间[ a , b]分割为n等份
§8-2
一、梯形公式
梯形公式
当插值节点x0 , x1分别选为区间端点a, b时 x x1 xb ba A0 = ∫ dx = ∫ dx = x x1ห้องสมุดไป่ตู้a b 2 a 0 a
b b
x x0 xa ba A1 = ∫ dx = ∫ dx = x x0 ba 2 a 1 a
b b
从而得到数值积分公式
二梯形公式几何意义围成的曲边梯形面积围成的梯形面积近似代用直线的余项为则梯形公式上二阶导数存在且连续定理四复合梯形公式所谓复合方法分成若干个子区间即将积分区间然后在每个小区间上使用低阶求积公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加等份分割为的积分区间将定积分上使用两点梯形公式在子区间使得内必存在一点由介值定理知连续其中为复合梯形公式的近似值为复合梯形公式的截断误差五复合梯形公式算法停机输出算出积分值计算累加和为累加和赋初值计算步长积分近似值区间等分个数端点积分用复合梯形公式求数值上的函数已知区间目标输入输出步骤s1s2s3s4作业
a b
输入 端点a, b;区间等分个数n. 输出 积分近似值Tn . 步骤 S1 计算步长h =
ba ; n
为累加和赋初值T =
n 1 i =1
1 ( f a + f b ). 2
S2 计算累加和T = ∑ f ( xi ). S3 算出积分值Tn = Th. S4 输出Tn，停机.
作业： 教材P174 习题1
n
1 n ∑ f ′′(ξi ) = f ′′(η ) n i =1
于是
∫
a
b
h 1 ba f ( x)dx =∑ [ ( f ( xi 1 ) + f ( xi )) f ′′(η )] 12 n i =1 2
n 3 n 1 (b a ) 2 h h f ′′(η ) = ( f (a) + 2∑ f ( xi ) + f (b)) 2 12 i =1 ( = Tn + EnT )
∫
a
b
ba f ( x)dx ≈ [ f (a ) + f (b)] 2
(1)
称(1)式为梯形积分公式，简称梯形公式.
二、梯形公式几何意义
用直线y = L1 ( x)围成的梯形面积近似代替y = f ( x)所 围成的曲边梯形面积
y
y = f (x)
y = L1 ( x)
B A
0
a
b
x
三、梯形公式的截断误差 定理1 若f ( x)在[a, b]上二阶导数存在且连续 ，则梯形公式 的余项为
b
ba h= n 在子区间[ xk , xk +1 ]( k = 0,1,L , n 1)上使用两点梯形公式
xk = a + kh , k = 0 ,1,L , n
得
∫ f ( x)dx = ∑ ∫ f ( x)dx
a i =1 xi1 n
b
n
xi
xi xi 1 ( xi xi 1 ) 3 = ∑[ ( f ( xi 1 ) + f ( xi )) f ′′(ξ i )] 2 12 i =1 h h3 = ∑ [ ( f ( xi 1 ) + f ( xi )) f ′′(ξ i )] 12 i =1 2 由于f ′′( x)在[a, b]连续,由介值定理知 : 在[a, b]内必存在一点η , 使得
其中
n 1 h Tn = ( f (a ) + 2∑ f ( xi ) + f (b)) 2 i =1
为复合梯形公式的近似值
En
(T )
(b a ) 2 h f ′′(η ) = 12
为复合梯形公式的截断误差
五、复合梯形公式算法 目标 已知区间[a, b]上的函数f ( x), 用复合梯形公式求数值积分∫ f ( x)dx.
(b a ) 3 R[ f ] = f ′′(η ) 12
η ∈ [ a , b]
四、复合梯形公式
所谓复合方法， 即将积分区间[ a , b ]分成若干个子区间 然后在每个小区间上使用低阶求积公式，最后将每 个小区间上的积分的近似值相加
将定积分 ∫ f ( x )dx的积分区间[ a , b]分割为n等份
§8-2
一、梯形公式
梯形公式
当插值节点x0 , x1分别选为区间端点a, b时 x x1 xb ba A0 = ∫ dx = ∫ dx = x x1ห้องสมุดไป่ตู้a b 2 a 0 a
b b
x x0 xa ba A1 = ∫ dx = ∫ dx = x x0 ba 2 a 1 a
b b
从而得到数值积分公式
二梯形公式几何意义围成的曲边梯形面积围成的梯形面积近似代用直线的余项为则梯形公式上二阶导数存在且连续定理四复合梯形公式所谓复合方法分成若干个子区间即将积分区间然后在每个小区间上使用低阶求积公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加等份分割为的积分区间将定积分上使用两点梯形公式在子区间使得内必存在一点由介值定理知连续其中为复合梯形公式的近似值为复合梯形公式的截断误差五复合梯形公式算法停机输出算出积分值计算累加和为累加和赋初值计算步长积分近似值区间等分个数端点积分用复合梯形公式求数值上的函数已知区间目标输入输出步骤s1s2s3s4作业
a b
输入 端点a, b;区间等分个数n. 输出 积分近似值Tn . 步骤 S1 计算步长h =
ba ; n
为累加和赋初值T =
n 1 i =1
1 ( f a + f b ). 2
S2 计算累加和T = ∑ f ( xi ). S3 算出积分值Tn = Th. S4 输出Tn，停机.
作业： 教材P174 习题1
n
1 n ∑ f ′′(ξi ) = f ′′(η ) n i =1
于是
∫
a
b
h 1 ba f ( x)dx =∑ [ ( f ( xi 1 ) + f ( xi )) f ′′(η )] 12 n i =1 2
n 3 n 1 (b a ) 2 h h f ′′(η ) = ( f (a) + 2∑ f ( xi ) + f (b)) 2 12 i =1 ( = Tn + EnT )
∫
a
b
ba f ( x)dx ≈ [ f (a ) + f (b)] 2
(1)
称(1)式为梯形积分公式，简称梯形公式.
二、梯形公式几何意义
用直线y = L1 ( x)围成的梯形面积近似代替y = f ( x)所 围成的曲边梯形面积
y
y = f (x)
y = L1 ( x)
B A
0
a
b
x
三、梯形公式的截断误差 定理1 若f ( x)在[a, b]上二阶导数存在且连续 ，则梯形公式 的余项为