内蒙古包头北方重工业集团有限公司第三中学2019年春学期高一期中考试数学试题含答案解析

北重三中2018～2019学年度第二学期
高一年级期中考试数学试题
满分：150分考试时长：120分钟
第 I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，那么下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由于每个式子中都有，故先比较的大小.因为，所以.
又.
考点：不等关系.
2.在中，角所对的边分别是.已知，那么角等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理可求得，根据大边对大角的特点求得.
【详解】由正弦定理得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的问题，涉及大边对大角的特点，属于基础题.
3.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，
则该塔中间一层灯的盏数是（）
A. 24
B. 48
C. 12
D. 60【答案】A
【解析】
由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，
设等比数列的首项为，则有，
解得．
∴该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为．选A．
4.等差数列的前项和为，且，则= ( )
A. 2016
B. 2017
C. 2018
D. 2019【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列通项公式求得和；代入等差数列前项和公式即可得到结果.
【详解】设等差数列公差为
则：，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列基本量的求解、等差数列前项和公式的应用，属于基础题.
5.若都是正数，且，则的最大值为（）
A. B. 2 C. D. 4【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式，即可求解的最大值，得到答案。

【详解】由题意，实数，
则，当且仅当，即等号成立，
即的最大值为，故选C。

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最大值问题，其中解答熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

6.已知锐角的外接圆半径为，且,则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，因为为锐角，所以，则
，故选D.
7.在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦定理化角，再根据角的关系确定三角形形状.
【详解】因为，所以
或，选D.
【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
8.（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以借助同角三角函数公式将化简为，再根据两角差的正弦公式将
转化为，最后根据二倍角公式将转化为，即
可得出结果。

【详解】，
，故选D。

【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查同角三角函数公式、两角差的正弦公式以及二倍角公式，考查推理能力，考查化归与转化思想，提高了学生对三角函数公式的使用能力，是中档题。

9.已知，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知条件求得的值，然后求得的值，由此求得题目所求表达式的值.
【详解】依题意，由及，解得
，故，故选B.
【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.
10.已知，不等式的解集是，若对于任意，不等式恒
成立，则的取值范围（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由不等式的解集是，可得b、c的值,代入不等式f（x）+t≤4后变量分离得
t≤2x2﹣4x﹣2，x∈[﹣1，0]，设g（x）＝2x2﹣4x﹣2，求g(x)在区间[﹣1，0]上的最小值可得答案．
【详解】由不等式的解集是可知-1和3是方程的根，,解得b=4，c=6,,
不等式化为，
令g（x）＝2x2﹣4x﹣2，，由二次函数图像的性质可知g(x)在上单调递减，则g（x）的最小值为g(0)=-2，
故选：B
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，常用方法是变量分离，转为求函数最值问题.
11.已知数列的前n项和为，，当时，，则的值为（ ）
A. 1008
B. 1009
C. 1010
D. 1011
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，结合数列的递推公式可解决此问题．
【详解】解：当时，①，故②
由②－①得，，即
所以
故选：C．
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，含有时常用进行转化．
12.已知数列是为首项，为公差的等差数列，是为首项，为公比的等比数列，设，
，则当时，的最大值是( )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设知，，由和，得，由此能求出当时n的最大值．
【详解】是以1为首项，2为公差的等差数列，，
是以1为首项，2为公比的等比数列，，
，
，，解得：．
则当时，n的最大值是10．
故选：B．
【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.若、为实数, 且, 则的最小值为__________．
【答案】6
【解析】
试题分析：因为，所以，当且仅当时取等．
考点：均值不等式求最值．
【方法点睛】均值不等式（）求最值：①使用条件“一正、二定、三相等”．"一正"是指；“二定”是指a与b的和为定值或积为定值；“三相等”等号成立的条件成立．当形式上看似能用均值不等式求最值，但等号成立的条件不成立，则应利用函数的单调性求最值．如：
，利用函数在定义域内单调递增求最值．
14.已知，，则__________．
【答案】
【解析】
分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.
详解：因为，，所以，
因此
点睛：三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
15.若点都在直线上，则数列的前项和取得最小时的等于__________．
【答案】7或8.
【解析】
【分析】
根据点在线上可得，从而可求得，，，从而可得结果.
【详解】由题意得：
令得：；得：
可知：，，，即
的最小值为或
本题正确结果：或
【点睛】本题考查等差数列前项和的最值问题，关键是根据数列的通项公式求得变号项，注意当某项等于零时，存在最值相等的情况.
16.在中，点在线段上，且，，则面积的最大值为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
在、中通过互补的两个角做为纽带，根据它们的余弦和为零，构造等式，通过这个等式，利用基本不等式，可以得到两边乘积的最大值，最后根据面积公式，可求出面积的最大值。

【详解】设，所以,
在中，由余弦定理可知：，
在中，由余弦定理可知：，
，①
在中，由余弦定理可知：，②,
由①②可得，③
因为④（当且仅当等号成立），把③代入④中得，
面积.
【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式、基本不等式。

解决本题的关键是根据图形的特点，在两个三角形中，互补两个角的余弦值互为相反数，来构造等式来求解。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知.
（1）当时，解不等式；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）代入，得到；解一元二次不等式求得结果；（2）分别在和两种情况下，求解不等式得到结果.
【详解】（1）当时，
则，解得：
（2）由题意知：
①当，即时，，解得：
即解集为：
②当，即且时
令，解得：或
当时，解集为：
当时，解集为：
【点睛】本题考查普通一元二次不等式求解和含参数的一元二次不等式求解问题，属于基础题.
18.已知.
（1）求在的值域；
（2）若，求的值.
【答案】(1).(2).
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据的范围得到的范围，结合的图象可求得的范围，代入求得所求值域；（2）利用求得；根据的
范围得到的范围，再根据正弦值进一步确定，利用同角三角函数求解出，利用
二倍角公式求得结果.
【详解】（1）
当时，
（2）
【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、同角三角函数值的求解、二倍角公式的应用.求解值域的关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数整理为的形式，利用整体对应的方式求得函数的值域；本题的易错点是在求解同角三角函数值的时候，未准确求解出角所处的范围，造成三角函数值的符号求解错误.
19.在中，角所对的边分别是已知．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
利用正弦定理，再进行三角恒等变换求的值，从而求出B值；由的面积公式，利用余弦定理求得b的值，再求的周长．
【详解】解：中，，
由正弦定理可得，
整理可得，
又A为三角形内角，，
所以，
由B为三角形内角，可得；
由的面积为，即，
所以，
又，
由余弦定理得，
所以，
的周长为．
【点睛】本题考查三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，是中档题．
20.已知是等比数列，，，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是等差数列，且, , 求.
【答案】(1).(2) .
【解析】
【分析】
（1）根据成等差数列可得，化为关于的方程，解方程求得，从而可得，根据等比数列通项公式得到结果；（2）利用两个数列的关系得到和，根据等差数列通项公式求出基本量和，从而可得数列的首项和公差，利用等差数列求和公式得到结果.
【详解】设等比数列的公比为
成等差数列
，即，整理为：
解得：（舍）或
，解得：
（2）由（1）可得：，
设等差数列的公差为，则，解得：
由题意可知：是以为首项，为公差的等差数列
【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前项和的求解问题.解决此类问题的关键是能够求解出等差和等比数列的基本量，属于常规题型.
21.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线为湿地两边夹角为的公路(长度均超过千米)，在两条公路上分别设立游客接送点,从观景台到建造
两条观光线路，测得千米，千米．
(1)求线段的长度；
(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．
【答案】（1）千米；（2）千米
【解析】
【分析】
（1）在中利用余弦定理即可求得结果；（2）设，根据正弦定理可用表示出和，从而可将整理为，根据的范围可知时，取得最大值.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：
千米
（2）设，因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
当，即时，取到最大值
两条观光线路距离之和的最大值为千米
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实际问题，涉及到三角函数最值的求解问题，关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题，得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求得结果.
22.定义为个正数的“均倒数”．已知正项数列的前项的“均倒数”为．（1）求数列的通项公式．
（2）设数列的前项和为，若<对一切恒成立，求实数的取值范围．
（3）令，问：是否存在正整数使得对一切恒成立，如存在,求出值；如不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在正整数k=10使得对一切恒成立．
【解析】
【分析】
(1)由题意首先确定数列的前n项和，然后利用前n项和与通项公式的关系求解数列的通项公式即可；
(2)首先裂项求和求得，然后结合前n项和的范围得到关于m的不等式，求解不等式即可确定实数m的取值范围；
(3)解法一：计算的值，确定取得最大值时的n的取值即可求得实数k的值；
解法二：由题意可知，满足题意时有，据此求解实数k的范围，结合k为正整数即可求得实数k的值.
【详解】(1)设数列的前n项和为，
由于数列{a n}的前n项的“均倒数”为，
所以，
=，
当，
当，
（对当成立），
．
(2)==，
==，
<对一切恒成立，
，
解之得，
即m的取值范围是．
(3)解法一：=，
由于=，时，时，
时取得最大值，
即存在正整数k=10使得对一切恒成立．
解法二：=，
假设存在正整数k使得则为数列中的最大项，
由得，
，
又，
k=10，
即存在正整数k=10使得对一切恒成立．
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看
本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。