半参数ARCH模型的bootstrap估计_黄粉丽

3 估计方法
为
为了简单， 本文仅考虑 p=1 的情况， 模型 （1） 即
X t + 1 = m ( X t ) + ε t β 0 + β1 X t2
（8）
第1期 效果最好. 例 2 给出双 AR （1） 模型
黄粉丽等： 半参数 ARCH 模型的 bootstrap 估计
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法估计出的残差平方和最大； 半参数方法估计出的 结果与参数方法得出的结果相差不大； 在半参数的 （11） 小， 估计的效果最好.
（7）
因为不随时间的变化而变化， 所以残差平方和最 大； 半参数方法估计出的β的系数虽然不随时间变 化， 但是 α 系数是随时间变化的， 所以残差平方和 较小； 在半参数方法的基础上再使用 bootstrap 方 法， 取每组 bootstrap 样本估出的系数的均值作为最 终的估计结果， 此时的残差平方和明显最小， 估计
and β 0 + β1Y t2 is the parametric part. Combining with local linear fitting method of non-parametric estimation and max⁃ εt~iid·N （0， 1） ,m （ · ）are the nonparametric part with uncertain form of function, β0， β1 are parameters to be estimated, imum likelihood of the parameter estimation, we give the method of estimating such models. Further more, combining best by using semi-parametric bootstrap method.
黄粉丽， 蒋乐萍
The Bootstrap Estimation of Seme-parametric ARCH Model
（Science and Technology Department， Sanya College， Sanya 572022， China） Abstract： In this paper, we propose a kind of semi-parametric ARCH model: Y t = m (Y t ) + ε t β 0 + β1Y t2 where
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 0 200 300 400 alphao 图 3 α0 的估计, 实线——半参数估计, 虚线——bootstrap 估计 Fig.3 Estimation of α0, Solid——semiparametric estimation, dash-dotted-——bootstrap eatimation 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 200 300 400 alpha1 图 4 α1 的估计, 实线——半参数估计, 虚线——bootstrap 估计 Fig.4 Estimation of α1, Solid——semiparametric estimation, dash-dotted-——bootstrap eatimation 表 2 三种方法估出的系数及残差平方和 Tab.2 Estimates of coefficients and the residual 方法 参数 半参数 RMSE Bootstrap sum of squares by three methods 2 α0 α1 ∑ εi β β
给出非线性模型 2y t 2 y t + 1 = 0.85y t + 1 + 0.8 2 + ε t 0.3 + 0.15y t （10） yt
知， 模型 （10） 是几何遍历的. 我们分别用参数方法， 半参数方法和 bootstrap 方法来拟合模型 （10） . 这里 模拟结果 （见图 1， 图 2 及表 1） . n 取 500， 重复抽 1000 组 bootstrap 样本， 给出下面的 由模拟结果可以看出， 参数方法估计出的系数
-1
ρ （S*BS） <1
(1,0,⋯,0) , D = ding ( d1,⋯, d p ) . S 表示 S 的 Her⁃
T
*


2
（6）
用参数模型和半参数模型来拟合， 进一步对半参数 拟合的结果再用 bootstrap 方法估计， 对结果进行比 较. 例1
ห้องสมุดไป่ตู้
imitian 矩阵， 则{Xt}是 Q-几何遍历的. 下面给出 （6） 的特殊情况： 令 S = diag (1, ω2,⋯ω p ) ∈ R
收稿日期:2012-12-05
般的结构和性质， 结合参数方法的极大拟似然和非
2 模型的结构与性质
为了分析模型 （1） 的结构性质， 引入了文[5]的
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海南师范大学学报 （自然科学版）
2013 年
相关结论. 在文 [5] 中， 考虑更一般的 p 阶的非线性 模型， 令{Xt}t=1， 满足： 2， …是一个实的随机变量序列， Xt+1=g （Xt， …， Xt-p+1） +δtσg （Xt， …， Xt-p+1）
p×p
中的定理 1 证明了只要选择适当的 ω2,⋯ω p ， 且满 足
p æ p ö ç ∑| b i |÷ + ∑ d i < 1 è i=1 ø i=1 就表明 （6） 式成立. 2
， Lu’ s（1998）
其中 εt~iid · N （0， 1） ， t=1， 2， …， n， 由 （7） 式及定理 2
半参数 ARCH 模型的 bootstrap 估计
（三亚学院 理工学院， 海南 三亚 572022） 摘 要： 给出了一类半参数自回归条件异方差 （ARCH） 模型: Y t = m (Y t ) + ε t β 0 + β1Y t2 其中 εt~iid · N （0， 1） ， m （ · ） 函数的形式不确定， 为非参部分； β0， β1 是待估参数， β 0 + β1Y t2 为参数部分. 结合非参数估计的局部线性拟合方法和参数估计的极大拟似然方法， 我们给出估计这类模型的 方法. 进一步， 把该这种方法与 bootstrap 方法结合起来， 同参数方法和半参数方法相比较得出， 用 半参数的 bootstrap 方法得出的残差平方和最小， 拟合的效果最好. 关键词： 参数 ARCH 模型； 局部线性拟合； 拟似然估计； bootstrap 方法 中图分类号： O 242.1 文献标识码： A 文章编号： 1674-4942 （2013） 01-0025-03
HUANG Fenli， JIANG Leping
this method with bootstrap estimation, we compare the results of the parametric method, semi-parametric method and semi-parametric bootstrap method and find out that the residual sum of squares is minimum and the fitting result is the
ssher?6sdiag112?prpplus19982?p?????i1pbi2i1pdilt
第 26 卷第 1 期 2013 年 3 月
Journal of Hainan Normal University （Natural Science）
海南师范大学学报 （自然科学版）
Vol.26 No.1 Mar.2013

p T g （u） =b （u） u+o （ u ） ， σ （u） =o （ u ） [6-7]
（2）
∑[Xt - 1 - a - bXt] Kh (t - t0)
2
n
ϕ ( x ) C2, σ ( x ) C3 成立 （ ϕ 是 εt 的密度函数） ， 存
R }， 设满足任意紧集 C ⊂ R ， 函数 g， σ 在 C 上有 界， 并 且 存 在 常 数 C2， C3>0， 使 得 对 于 ∀x ∈ C 有
2 β 0 + ∑ β i X t - i + 1 是参数部分. i=1 p
其 中 εt~iid·N （0， 1） ， g （ · ） 函数的形式不确定， g
（ARCH） 模型及其估计方法， 讨论了这类模型的一 参数方法的局部线性拟合， 给出半参数回归模型的 估计方法. 最后引入 bootstrap 方法， 把半参数估计
2 æ ( X t + 1 - α 0t - α 1t X t ) ö 1 2 ç （9） ∑ç - 2 log ( β0 + β1 Xt ) - 2 + X 2 ÷ t=1 ( β 0 β1 t ) ÷ è ø 其中β= （β0， β1） ， 最大化 （9） 得到β的最优估计. 为了 n
减少模型的误差， 对上述结果再使用 bootstrap 估 计， 从而得到更好的估计.
Key words:semi-parametric ARCH model； local linear fit； quasi-likelihood estimate； bootstrap estimation 半参数回归模型介于参数回归模型和非参数 回归模型之间， 它既包含了参数信息， 又包含了非 参信息， 在某些情况下更接近于实际情况. 其中的 显的那部分， 对变量做局部调整. 在实际问题中， 半 参回归模型更能充分地利用数据中提供的信息， 比 单纯的参数回归模型和非参数模型有更大的适应 性， 具有更强的解释力[1-4]. 本文主要介绍半参数自回归条件异方差 参数部分可以描述函数关系明确的部分， 把握变量 与 bootstrap 方法结合起来估计半参数模型.
p p
其条件期望 m （ · ） 在 t0 处的值可用带权重的局部最 小二乘法， 最小化
其中εt~IID · D （0， 1） . 假设 g ∶ R →R， σ ∶ R→ （0， +∞） T 是可测函数. 当 u →∞ ， 其中 u= （u1， u2 ， …， up-1） ， 令 定理 1 给出了几何遍历的充分条件
1 半参数模型
考虑如下半参数模型：
X t + 1 = g ( X t,⋯, X t - p + 1) + ε t β 0 + ∑ β i X t2- i + 1（1）
p i=1
的大致趋势走向. 非参数部分则可以描述规律不明
（Xt， …， Xt-p+1） 为非参数部分， β0， …， βp 是待估参数，
p
定理 1 当 r>0 时， 令 A r ={A( u ) ∶ u r, u ∈
.
（3）
得到 α i ( t 0 ), i = 0,1 的估计， 则 m ( X t ) ≈ α 0 ( t 0 ) + α1( t 0 ) X t, t = 1,⋯, n. 模型 （8） 的条件似然函数可用写成 Ln( β ) = 1 ∙ n
t=1
在 r>， 使得 Ar 有界， 且ρ （Ar） <1 （ρ是谱半径） ， 则{Xt}是 Q-几何遍历的， 且Q （u） = u . ∞时 令{Xt}是满足模型 （1） 的随机变量序列且当 u → 下面考虑带有更强异方差σ=O （ u ） 的模型.
-2 2 σ 2 ( u1,⋯, u p ) = d1 u1 + ⋯ + d p u2 , p + σ (u) σ ( u ) = o( u ), （4）
4 Bootstrap 方法模拟分析
教授 Efron 在总结、 归纳前人的基础上提出了一种 取一个容量为 n 的数据样本， 自这一样本按放回抽 样的方法抽取一个容量为 n 的样本， 相继独立的自 原始样本中取很多个 bootstrap 样本， 利用这些样本 对总体进行统计推断， 该方法又称为自抽样方法. 从一个参数非线性模型得到一列数据， 分别 Bootstrap 方法是由美国 Stanford 大学统计系
统计方法. 该方法就是从一个未知的总体分布中抽
其中常向量 b ∈ R . 我们有如下结论.
p
g （u） =bTu+o （ u ）
（5）
S∈C
定理 2[8] 假设满足 （2） ， （4） 及 （5） ， 且存在矩阵
p×p
使得
其中 B = AT ( S*) S-1 A + s1 D, s1 = S-1 e1 , e1 =