奥数二年级讲义小二教案212第五讲枚举法(2)

在我们所学的很多重要知识中，解决问题的方法就是一一列举，这种方法也就是枚举.枚举法在解决数学问题中，经常会被用到.在这节课中我们就把以往所学的一些需要通过枚举法来解答的问题进行整合（如付钱问题、数字拆分问题、排列组合问题等）.一是为了让学生对难点进一步巩固，二是让学生学会这种数学方法，为以后解决问题所用.
1、教学点为老师提供本节课的挂图.
有一天，小兔去小猴家找小猴一起去图书馆看书，而从小兔家到小猴家不能直接到达，必须要经过公园或小田鼠家（如下图），小朋友们找一找，从小兔家到小猴家共有几条路可以走？
【教学思路】首先我们可以把几条路标上序号，这样我们更容易来观察.我们可以把这些路线一一列举出来，具体情况如下：
从小兔家到公园然后到小猴家的路线有6条：（1）－(3); （1）－(4); （1）－(5);
（2）－(3); （2）－(4); （2）－(5);
从小兔家到小田鼠家然后到小猴家的路线有2条：（6）－(8); （7）－(8);
这样通过枚举总共得出8条从小兔家到小猴家的路线.课前通过解决这个问题，让学生初步
感知到枚举在生活中的用途.
小朋友们，我们常常遇到一些问题会出现很多种的情况（如：数字的拆分，付钱等），解决这些问题的时候需要我们把每一种情况都考虑周全，怎样才能做到不遗漏不重复呢？这就需要我们把每一种情况按一定的顺序一一列举出来，这种方法就是“枚举法”，枚举法可以帮助我们解决
很多数学问题，今天这节课我们就一起来体会枚举法的妙用吧！
动物学校今天正在进行数学竞赛，大象老师给各位小动物们出了很多难题，现在让我们也去
试试吧！
小熊维尼买回了7个一样的苹果，准备放在三个同样的盘子里，如果允许有的盘子空着不放．共
有多少种不同的放法?
【教学思路】在这里因为强调是完全一样的苹果和同样的盘子，我们就不考虑苹果和
盘子的顺序.在解决这个问题时，用数字代表盘子里的苹果数，用由3
个数字组成的数组表示不同的放置方式．这时候，问题转化成把7拆分
成3个数的和的形式.如(7，0，0)表示：一个盘子里放7个苹果，而另
外两个盘子里都空着不放．各种可能的放置情况如下：
(7，0，0)
(6，1，0)
(5，2，0)，(5，1，1)
(4，3，0)，(4，2，1)
(3，3，1)，(3，2，2)
数一数，共有8种不同的放法．
Hello kitty最近迷上了集邮，一天她收集到了4张3角邮票和3张5角邮票，请你帮她算一算，她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资?
【教学思路】这道题的情况非常多，此题跟付钱问题类似，我们可以把组成的不同邮资一一枚举出来.
(1)只用3角的邮票可以组成4种不同的邮资：3角(1张)，6角(2张)，9角(3张)，1元2
角(4张)．
(2)只用5角的邮票可以组成3种不同的邮资：5角(1张)，1元(2张)，l元5角(3张)．
(3)两种邮票搭配可以组成12种不同的邮资：
所以，共有4+3+12=19种不同的邮资．另外这道题我们也可以通过表格的方法进行枚举.
小兔妮妮在家做寒假作业，其中有一道题是要从1写到100，你知道当她写完时一共写了多少个数字“9”吗?
【教学思路】小兔共写了20个数字“9”.我们可以用枚举的方法来进行统计.
方法一：因为从1到100的数中有18个数含有一个数字“9”，它们是：9、19、29、39、
49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、98，另外自然数99含
有两个数字9.共20个9.
法二：分类数，“9”出现在个位上的数有：9、19、29、39、49、59、69、79、89、99，共10个；“9”出现在十位上的数有：90、91、92、93、94、95、96、97、98、99，共
10个共20个.
用分别写着0、5、6、9的四张卡片，可以组成多少个不同的三位数?
【教学思路】0不能在百位，那么百位的数只能是5、6、9.百位上是5的三位数有：506、509、569、560、
596、590；百位上是6的三位数有605、609、650、659、695、690；百位上是9的三位数
有905、906、965、960、956、950.这样用0、5、6、9四张卡片，可以组成6×3==18个
不同的三位数.
小蜜蜂家门前共有5级台阶．她发现每天上楼梯的方法都不相同，小蜜蜂很想研究一下这个问题.
如果规定一步只能登上一级或两级台阶，小朋友帮她算一算上这个台阶共有多少种不同的上法?
【教学思路】如下图，我们可以按顺序把这些方法用数对比较出来，具体分析如下：
见上图（1），用数组表示不同的上法.（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法.
见上图（2），①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）表示
有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有4种上法.
见上图（3），①（2，2，1）②（1，2，2）③（2，1，2）表示有两步各上两个台阶，有一
步上一个台阶，这种上法共有3种.
因此，上台阶共有1+4+3=8种不同的上法.
【教学思路】小兔在以树为圆心，2米为半径的圆以外围着树跑，狗看见小兔就追，跑了几圈
绳子就会绕在树上，绳子越绕越短，小兔就可以放心地把萝卜拔走了.
生活中交通跟我们密不可分，大象老师出了一道跟交通有关的题，你能帮助解决吗？
北京到广州的火车中途经过天津、武汉，如果只考虑北京到广州中的北京、天津、 武汉、广州这4个车站，那么这4个车站间的往返火车票共需多少种?
【教学思路】这里要注意，题目要求在这4个车站间有多少种往返车票．“往返车票”指在这4个车站中，
任何一个车站既可以作起点站也可以作终点站，因此，可以任取1个站作起点站，则其余3个站就是终点站了．即一个起点和一个终点间都应设一种车票，因此需要准备3×4=12(种)不同的车票．
小猪欢欢喜欢吃披萨、汉堡和薯条三种快餐.她在相邻的两天不会吃同一种.如果她第一天吃的是披萨，第五天也是吃的披萨，那么在这五天里她的食谱有多少种安排方案?
小兔饿了，到处寻找食物.它来到一棵大树下，看到离树1米远的地方有个大萝卜，满心欢喜.但这棵树下拴了一条狗，绳长2米.小兔要吃萝卜，狗就会咬它.小兔想了个好办法既能吃到萝卜，又不会被狗咬.你知道是什么办法吗?
【教学思路】可以用树形图分析：
这样我们发现，小猪的食谱一共有6种安排的方法，具体情况如下：
（1）披萨－汉堡－披萨－汉堡－披萨； （2）披萨－汉堡－披萨－薯条－披萨； (3) 披萨－汉堡－薯条－汉堡－披萨； (4) 披萨－薯条－披萨－汉堡－披萨； (5) 披萨－薯条－披萨－薯条－披萨； (6) 披萨－薯条－汉堡－薯条－披萨；
【教学思路】把4封信编号：1，2，3，4；把小朋友编号，友1,友2,友3，友4.并假定1号信是给友1写
的，2号信是给友2写的，3号信是给友3写的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：所以，共有9种可能．
拓展与提高
小鸡咪咪给4个好朋友写信．由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了．4个好朋友收到的都是给别人的信．问咪咪装错的情况共有多少种可能
?
附加题
（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）
一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中，如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有多少种不同的钱
数?
【教学思路】我们仍按照一定的顺序来考虑，我们先从取最小硬币开始考虑．
(1)先取1枚1分的，第2枚取时有4种情况．分别为：1分，5分，10分，50分．两枚硬币的币值分别为：2分，6分，11分，51分；
(2)如果第l 枚取的是5分的币值，第2枚取时有3种情况：5分，10分，50分．两枚硬币
的币值分别为：10分，15分，55分；
(3)如果第1枚取的是1角的币值，第2枚取时有2种情况：1角，5角．两枚硬币的币值
分别为：20分，60分．
这样共有4+3+2=9(种)不同的钱数．
有一个大长方形的周长是20厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的不同的长方形有多少？
【教学思路】由于长方形的周长是20厘米，所以它的长和宽之和为10厘米，下面列举出符合这个条件
的各种长方形．
(注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形)．所以有5个
.
两个整数之积为144，差为10，求这两个数?
【教学思路】列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来： 1 2 3 4 6 8 9 12
144 72 48 36 24 18 16 12
可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求．
1. 从2张5元人民币、5张2元人民币、lO张1元人民币中取10元钱，共多少种不同的取法
?
【答案】画表分析可得10种.
2. 用3、7、5、0这四个数字，可以组成（18）个不同的三位数。

3. 商店有围巾3种，每种价钱依次是14元、12元和10元.帽子有5种，每种价钱依次是13元、11元、
9元、7元、和5元.如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同价钱?
【答案】我们可以把这些情况一一枚举出来：13+14=27 ，13+12=25 ，13+10=23 ，11+14=25（舍），11+12=23（舍），11+10=21 ，9+14=23（舍），9+12=21（舍），9+10=19 ，7+14=21（舍），
7+12=19（舍），7+10=17 ，5+14=19（舍），5+12=17（舍），5+10=15 .所以共有7种不同价钱.
4. 小蚂蚁小小生病了，她要从A点爬到E点去看病，怎样走线路最短？这样的路线一共有多少条？请
你用彩笔画一画. （图中每一小段都一样长）
【答案】要想走的路线最短，那么只能向右和向下走，最短的线路是走四小段.将各种路线一一列出，可知共6条，见下图．
（1）A－H－G－D－E；（2）A－B－G－D－E；（3）A－B－C－D－E；
（4）A－H－I－F－E；（5）A－H－G－F－E；（6）A－B－G－F－E
5. 一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他第一天
在A市，第五天又回到A市．问他的游览路线共有几种不同的方案?
【答案】请看右面的树形图．可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种，分别是：
八岁的高斯发现了数学定理
德国著名大科学家高斯(1777—1855)出生在一个贫穷的家庭.高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误.长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家.他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名.数学家们则称呼他为“数学王子”.
他八岁时进入乡村小学读书.教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用.而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣.
这一天正是数学老师情绪低落的一天.同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和.谁算不出来就罚他不能回家吃午饭.”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了.教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6,6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算.有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来.还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去.“老师，答案是不是这样?”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算!错了.”他想不可能这么快就会有答案了.可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师!我想这个答案是对的.”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢?
高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法.高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的.他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看.在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了.。