常用逻辑用语-知识点+习题+答案

常用逻辑用语知识点
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：
四种命题的真假性之间的关系：
()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假
假
假
假
当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．
用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．
当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．
对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．
若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．
10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题． 练习题
1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
A 、真命题与假命题的个数相同
B 、真命题的个数一定是奇数
C 、真命题的个数一定是偶数
D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（ ）
A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价
C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”
D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <5
1y ”时，假设的内容应该是（ ） A 、5
1
x ＝51
y
B 、51x <51
y
C 、51x ＝51y 且51x <51
y
D 、51x ＝51y 或51x >5
1y
4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要 5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、a 2＋b 2＝0 6、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（ ） A 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、
D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0
7、“1
2
m =
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要
8、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A 、
存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根
B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根
9、不等式2
230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ C ）
A 、-1<x<3
B 、0<x<3
C 、-2<x<3
D 、-2<x<1
10.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（ ）
A ．m>-1,n<5
B ．m<-1,n<5
C ．m>-1,n>5
D ．m<-1,n>5
11、命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是
12、:23A x -<, 2
:2150B x x --<, 则A 是B 的_____ _条件。

13、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是 否命题是
14．“直线l 与平面α无公共点”是“直线l 在平面α外”的 条件。

（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一个填空）
15．命题p ：关于x 的不等式2
240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；
命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增，若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。

16、已知p: 23
1
1≤--
x ,q: ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

17.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2
＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2
－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18.已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
练习题
1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ C ）
A 、真命题与假命题的个数相同
B 、真命题的个数一定是奇数
C 、真命题的个数一定是偶数
D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（D ）
A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价
C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”
D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <5
1y ”时，假设的内容应该是（） A 、5
1
x ＝51
y
B 、51x <51
y
C 、51x ＝51y 且51x <51
y
D 、51x ＝51y 或51x >5
1y
4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要
5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、a 2＋b 2＝0
6、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（） E 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 F 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 G 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 H 、
D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0
7、“1
2
m =
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要
8、命题p ：存在实数m ，使方程x 2
＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） B 、
存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根
B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
9、不等式2
230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ C ）
A 、-1<x<3
B 、0<x<3
C 、-2<x<3
D 、-2<x<1
10.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（ ）
A ．m>-1,n<5
B ．m<-1,n<5
C ．m>-1,n>5
D ．m<-1,n>5
11、命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是0a ≤则2
0a ≤
12、:23A x -<, 2
:2150B x x --<, 则A 是B 的______充分不必要___条件。

13、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的 否定形式是 末位数是0或5的整数，不能被5整除 否命题是 末位数不是0或5的整数，不能被5整除
14．“直线l 与平面α无公共点”是“直线l 在平面α外”的 条件。

（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一个填空） 15．命题p ：关于x 的不等式2
240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；
命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增 若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。

解：命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；
pT ⇒()2
2
240a ∆=-<，即22a -<<
命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增；qT ⇒1a > ∵p q ∨为真，而p q ∧为假，∴pq 一真一假
p 真q 假时，pT ⇒22a -<<；qF ⇒1a ≤;∴21a -<≤ p 假q 真时，pF ⇒22a a ≤-≥或；qF ⇒1a >;∴2a ≥
16、已知p: 23
1
1≤--
x ,q: ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

解：由p ：23
1
1≤--
x .102≤≤-⇒x
()()
.
92
1101.,,
11:,210:.110122
≥⎩⎨
⎧-≤-≥+⌝⇒⌝⌝⌝-<+>⌝-<>⌝+≤≤-〉≤-m m m q p q p m x m x p x x p m x m m m x q 所以故只需满足所以的必要不充分条件是因为或或所以所以可得由
17.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2
＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2
－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【尝试解答】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a . 当a ＝1时，1＜x ＜3， 又⎩⎨⎧x 2
－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.得2＜x ≤3. 由p ∧q 为真．
∴x 满足⎩⎨⎧2＜x ≤3，
1＜x ＜3.即2＜x ＜3.
所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3. (2)由¬p 是¬q 的充分不必要条件，知
q 是p 的充分不必要条件，
由A ＝{x |a ＜x ＜3a ，a ＞0}，B ＝{x |2＜x ≤3}， ∴B A .
因此a ≤2且3＜3a .
所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.
18.已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
【解】 化简，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥1
3时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；
②当a ＜1
3时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．
因为p 是q 的充分条件，
所以A ⊆B ，于是有
⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13
，a 2
＋1≤3a ＋1，2a ≥2，
解得1≤a ≤3. 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13，a 2
＋1≤2，2a ≥3a ＋1，
解得a ＝－1.
故a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．。