蒙特卡罗方法课件1

N
其中Ds为区域Ds的体积。这是数值方法难以作到的。
因此，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状很复杂，难以用 一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有原则上的困难。
（3）收敛速度与问题的维数无关 由误差定义可知，在给定置信水平情况下，MC方法的误差为O(N-1/2) ， 与问题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时 间的变化，不影响误差。这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的 适应性。
三、常用概念及定理
1、随机变量 2、数学期望：即均值
离散型随机变量
连续型随机变量
3、方差：即随机变量相对于其数学期望的偏离程度
4、大数定理：即当n趋于无限大时，随机变量的平均值将 稳定于某值（真值）。 5、中心极限定理:即讨论随机变量序列部分和的分布 渐近于正态分布的一类定理。这组定理是 数理统计学和误差分析的理论基础，指出 了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
§2 蒙特卡罗方法概述---MC优点
（1）能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程 从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得 到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直 接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。它具有直观、 形象的特点。 （2）受几何条件限制小 计算s维空间中的任一区域Ds上的积分：
g g ( x1 , x2 ,, xs )dx1dx2 dxs
Ds
无论区域Ds的形状多么特殊，只要能给出描述Ds的几何特征的条件， 就可以从Ds中均匀产生N个点：
( x , x ,, x )
(i ) 1
(i ) 2
(i ) s
得到积分的近似值：
Ds gN N
(i ) (i ) (i ) g ( x , x , , x 1 2 s ) i 1
L
d
p
d
2L
Buffon投针实验(1777年）求π:
１．平行线间距＝a,，针长=l 为了避免针与两条线相交，设0<l<a
２．针与平行线垂直方向夹角为α，显然 然 ，则该事件所有可能的集为：
(针的中点）
３．
a
4. N→∞大数定理
一些人进行了实验，其结果列于下表 ： 实验者 沃尔弗(Wolf) 年份 1850 投计次数 1120 π的 实验值 3.1596
Monte Carlo算法的主要组成部分 概率密度函数(pdf)— 必须给出描述一个物理系统的一组概 率密度函数; 随机数产生器—能够产生在区间[0,1]上均匀分布的随机数 抽样规则—如何从在区间[0,1]上均匀分布的随机数出发,随 机抽取服从给定的pdf的随机变量; 模拟结果记录—记录一些感兴趣的量的模拟结果
g Eg (r )
３.假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹着点依次为r1， r2，…，rN，则Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
1 gN N
g (r )
i 1 i
N
代表了该运动员的成绩ຫໍສະໝຸດ 1 N ４.当N趋于无穷大，则<g>= g N g (ri ) N i 1
而一般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随维数的幂次方而增 加，而且由于分点数与维数的幂次方成正比，需占用相当数量的计算 机内存，这些都是一般数值方法计算高维积分时难以克服的问题。
（4）具有同时计算多个方案与多个未知量的能力
（1）对于那些需要计算多个方案的问题，使用蒙特卡罗方法有时不 需要像常规方法那样逐个计算，而可以同时计算所有的方案，其全部 计算量几乎与计算一个方案的计算量相当。
误差估计—必须确定统计误差（或方差）随模拟次数以及其 它一些量的变化；
减少方差的技术—利用该技术可减少模拟过程中计算的次数； 并行和矢量化—可以在先进的并行计算机上运行的有效算法
§2
蒙特卡罗方法概述---基本思想
基本思想： 针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为 构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的 统计量为待求问题的解，进行大统计量（N→∞）的统计实 验方法或计算机随机模拟方法。 理论依据： 大数定理：均匀分布的算术平均收敛于真值 中心极限定理：置信水平下的统计误差 两个例子： Buffen投针实验求π（如前所述） 射击问题（打靶游戏）

1 g N g (ri ) N i 1
§2 蒙特卡洛方法概述---大数定理 收敛性:大数定理
由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X1， X2，…，XN的算术平均值： 1 N X N Xi N i 1 作为所求解的近似值。由大数定律可知，如果X1，X2，…，XN独 立同分布，且具有有限期望值（E(X)<∞），则
史密思(Smith)
福克斯(Fox)
1855
1894
3204
3405
3.1553
3.1419
拉查里尼 (Lazzarini)
1901
5000
3.1415929
Monte Carlo模拟的步骤： 1. 根据欲研究的物理系统的性质，建立能够描述该系统特性 的理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数； 2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模 拟结果； 3. 对模拟结果进行分析总结，预言物理系统的某些特性。
§3 随机数的产生和检验—产生
蒙特卡罗模拟就是边产生随机数边进行随机模拟的方法
（2）使用蒙特卡罗方法还可以同时得到若干个所求量。
（5）误差容易确定 根据蒙特卡罗方法的误差公式，可以在计算所求量的同时计算出误差 （6）程序结构简单，易于实现 在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单，分块性强，易 于实现。
§2 蒙特卡罗方法概述---MC缺点
（1）收敛速度慢
蒙特卡罗方法的收敛速度为O(N-1/2) ，一般不容易得到精确度较高的近 似结果。对于维数少（三维以下）的问题，不如其他方法好。
针与线的相 交情况
注意以下两点：
• Monte Carlo方法与数值解法的不同: Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问题;
数值解法:从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一系 列的微分方程来的导出系统的未知状态; • Monte Carlo方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题: 许多利用Monte Carlo方法进行求解的问题中并不包含随机 过程 例如:用Monte Carlo方法计算定积分. 对这样的问题可将其转换成相关的随机过程, 然后用Monte Carlo方法进行求解
（2）误差具有概率性 由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下估计的，所以它 的误差具有概率性，而不是一般意义下的误差。 （3）计算结果与系统大小有关 例如在粒子输运问题中:经验表明，只有当系统的大小与粒子的平均自 由程可以相比较时（一般在十个平均自由程左右），蒙特卡罗方法计 算的结果较为满意。但对于大系统或小概率事件的计算问题，计算结 果往往比真值偏低。 在使用蒙特卡罗方法时，可以考虑把蒙特卡罗方法与解析（或数值）方 法相结合，取长补短，既能解决解析（或数值）方法难以解决的问题， 也可以解决单纯使用蒙特卡罗方法难以解决的问题。
例如，设射击运动员的弹着点分布为
环数 概率 7 0.1 8 0.2 9 0.3 10 0.5
0.1 命中7

0.2 命中8
用计算机作随机试验（射击）的方法为， 选取一个随机数ξ（Zeta），按右边所列 0.3 命中9 方法判断得到成绩。这样，就进行了一次 随机试验（射击），得到了一次成绩ｇ(r)， 作Ｎ次试验后，得到该运动员射击成绩的 命中10 近似值 N
减小方差的各种技巧: 显然当给定置信度α（λα）后，误差ε由σ和N决定。要减小ε：
（1）增大试验次数N。在σ固定的情况下，要把精 度提高一个数量级，试验次数N需增加两个数量级。 因此，单纯增大N不是一个有效的办法。


N
（2）减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这 相当于N增大四倍的效果。
§2
蒙特卡罗方法概述---引言
Monte Carlo方法： 亦称统计模拟方法，statistical simulation method 利用随机数进行数值模拟的方法 • 又称随机抽样技巧或统计试验方法。 • 半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的 发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先 在核武器的试验与研制中得到了应用。 • 蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法 有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。
0 2 ( x E ( X )) 2 f ( x)dx
f(x)是X的分布密度函数。则当N充分大时，有如下的近似式
2 t 2 / 2 P e dt 1 X N E( X ) 0 N 2 其中α称为置信度，1－α称为置信水平。这表明，不等式 X N E( X ) N
射击问题（打靶游戏）
1.设r表示射击运动员弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的 得分数（环数），f(r)为该运动员弹着点的分布密度函数，它们反映运 动员的射击水平。该运动员的射击成绩为：
g g (r ) f (r )dr
0

２.用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期望，即
0.003
3
λα
两点说明：
(1)MC方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。 (2)误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值来代替，在计算所 求量的同时，可计算出估计值。

1 N 2 1 N 2 X ( X ) i N i N i 1 i 1
§2 蒙特卡洛方法该概述---减小误差
一、随机现象
自然界所观察到的现象:确定性现象\随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生
的现象称为确定性现象. 实例
“太阳不会从西边升起”,
“水从高处流向低处”, “可导必连续”, 确定性现象的特征: 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观
察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
二、随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称
为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果;
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现(结果无法预知）.
近似地以概率1－α成立，且误差收敛速度的阶为：O(N-1/2)
通常，蒙特卡罗方法的误差ε（Epsilon）定义为


N
上式中λα与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信 水平后，查标准正态分布表，就可以确定出λα 。 给出几个常用的α与λα 的数值：
α 0.5
0.6745
0.05
1.96
Monte Carlo模拟的应用：
自然现象的模拟：宇宙射线在地球大气中的传输过程； 高能物理实验中的核相互作用过程； 数值分析：利用Monte Carlo方法求积分
Monte Carlo方法简史 简单地介绍一下Monte Carlo方法的发展历史 1、Buffon投针实验： 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的值
效率:
一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样 的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。
所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样的费用（使用计算机 的时间）两者来衡量。这就是MC方法中效率的概念。它定义为σ2c ，其 中c 是观察一个子样的平均费用。显然σ2c越小，方法越有效。
P lim X N E ( X ) 1 N
即随机变量X的简单子样的算术平均值 X N ，当子样数Ｎ充分 大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
§2 蒙特卡洛方法概述---中心极限定理
蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定 理给出了答案。该定理指出，如果随机变量序列X1，X2，…，XN 独立同分布，且具有有限非零的方差σ2 ，即