锁相技术第2章
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《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
3、误差传递函数 s e ( s ) 1( s ) 2 ( s ) 1 H ( s) H e ( s) 1 ( s ) 1 ( s ) s KF ( s )
H o ( s )、H ( s)、H e ( s ) 之间的关系：
《 锁相技术》
用直线 代替正 弦鉴相 特性
第 2章 环路跟踪性能
鉴相器的线性化的相位模型
线性化条件
e (t )
6
线性化数学模型 线性化相位模型
+
u d t K d e t
ud t K d e t
θ1 t
e (t )
2 t
常用三种锁相环系统参数和电路参数之间的关系：
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
三种常用锁相环用系统参数描述的传递函数
相同的传递函数可以对应不同的物理系统，如 RC积分滤波器二阶环和RLC电路。
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
二、RLC电路的时间响应及其指标 1 d 2uo (t ) 2 duo (t ) uo (t ) ui (t ) 2 2 n dt n dt 当 ui t 1(t ) 时，对上述方程求解：uo (t ) 当 0 时：无阻尼状态 d n
2 U o ( s) n H (s) 2 2 U i( s) s 2 n s n
用电路参 数的描述
用系统参 数的描述
总结： 1、二阶线性系统的传递函数、微分方程可以用电 路参数或系统参数来描述，后者在系统设计时，会 带来方便。
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
2、不同LF的环路 系统参数与电路参数之间的关系
RLC电路的时域表达式： d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt 一般为分析方便，采用系统参数：
无阻尼振 荡频率
《 锁相技术》
二阶线性 微分方程 RLC为 系统的 电路参 数 为阻尼 系数
1 n LC
R 2 n L
最大过 冲量
稳态误差
暂态时间 uo (t p ) uo () 5.最大过冲量 M p 100% uo () 6.稳态误差 () 4.暂态时间 t s
e
以上参数 由系统或 电路参数 决定的， 影响暂态 性能
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
三、频率响应 2 U o ( s) n s) H ( s) 2 2 U i( s) s 2 n s n 2 U o (s) n s) U H ( j ) 21 2 ( jx ) oU ( s ) 2 2 j n n i U ( jx ) 1 x j 2 x U ( jx ) 1 i o x 令 U i ( jx ) n 1 x 2 j 2 x U 1 o( H ( jx jx) ) 2 UU ( jx ) 1 ( jx ) 1 x j 2 x o i 2 2 2 2 UU ( jx ) ( jx ) 1 (1 x ) 4 x i o H ( jx ) 2 2 2 2 U i ( jx ) (1 x ) 4 x U o ( jx ) 1 2 2 2 x 2 2 U ( jx ) U ( jx ) o (1 x ArgH ( jx ) arctg) 4 x i Arg 2 UU ( jx ) 1 x 2 x i o ( jx ) Arg 《 锁相技术》 arctg 2
K H ( s) 1 H e ( s)
s2
s
1 方法二
s1 ( s )
1 F ( s) 1 s
1
s
2
F (s) H o (s) K s KF ( s ) H ( s) s KF ( s )
K
s
1
1
K H ( s) 1 H o ( s) 1 H ( s) s 2 s
具体环路的传递函数取决于LF
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
三、二阶锁相环路的线性动态方程与传递函数
RC积分滤波器二阶环路传递函数
1 RC积分滤波器的传递函数： F ( s ) 1 s 1 线性动态方 程 二阶线性 1 s e (t ) s1 (t ) K e (t ) 微分方程 1 s 1 整理 1 K 1 2 2 s e ( s ) s e ( s ) e ( s ) s 1 ( s ) s 1 ( s )
s H e (s) s KF ( s )
采用其它两种滤波器 的锁相环的动态方程及传 递函数的获得和以上相同。
1
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
表 2-1
二阶锁相环线性化后，成为一个二阶线性系统，动 态方程为二阶线性微分方程，传递函数有两个极点。
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
§2.2 二阶线性系统的一般性能
一、二阶系统及其描述 如图所示的RLC电路
应用克希霍夫定律，可以建立方程：
di (t ) 1 L Ri (t ) i (t )dt U i (t ) dt C 1 i (t )dt U o (t ) 《 锁相技术》 C
uo (t )
第 2章 环路跟踪性能
第 2章 环路跟踪性能
§2.3 环路对输入暂态信号的响应
研究内容：
环路在同步状态时，当输入信号的频率、相位发 生变化时，环路会出现一个跟踪过程。
暂态相 位误差
暂态过程
稳定状态
稳态相 位误差
研究对象：三种常用的一阶滤波器构成的二阶环
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
输入信号 相位阶跃信号 频率阶跃信号 频率斜升信号
dud (t ) Kd d e ( t )
e 0
e 0
U d cos e (t )
e 0
U d [V / r
U d cos e (t )
e 0
U d [V / rad ]
则有：U d sin e (t ) K d e (t ) U d e (t )
《 锁相技术》
1 t u t
单位 阶跃函数
u(t )
1 t tu t
1 1 (t ) Rt 2 u t 2
第 2章 环路跟踪性能
研究方法
求输出相位响应和误差响应的方法
写出输入相位
1 t
的拉氏变换
1 s
根据具体环路写出闭环传函 H s 和误差传函 H s 根据 2 ( s) 1 ( s) H ( s)
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
§2.1 线性相位模型与传递函数 一、线性相位模型的建立 ud (t ) U d sin e (t ) 特性曲线如图 鉴相器的模型：
dud (t ) K 很 锁相环路同步时， dt ) e( d e ( t )
小，鉴相器工作在“0”点 附近，此时鉴相特性可以 用一条直线来代替。此直 线的斜率为： ud (t ) U d sin e (t )
s H e ( s) H o (s) H s) (s) s( KF
1 H o (s)
1 H e (s) 1 H o (s)
H e ( s) 1 H ( s)
H o ( s) H (S ) H e ( s) 是研究锁相环常 用的三种传递函 数，它们之间的 关系在工程设计 中常用。
p e (t ) p1 (t ) KF ( p) e (t )
K K 0U d 环路总 增益
PLL时域线性相位模型：
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
动态方程的复频域表达形式：
复频域 s e ( s ) s1 ( s ) KF ( s ) e ( s )
PLL复频域的线性相位模型：
f (t ) F ( s) df (t ) sF ( s ) dt
拉氏变换
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
二、传递函数 线性系统的传递函数的定义：
响应函数的拉氏变换 H ( s) 驱动函数的拉氏变换 初始条件
1、开环传递函数： 1 ( s ) K F ( s ) F (s) 1 2 ( s) s K H o (s)= s 1 ( s ) 1 ( s ) 开环 2、闭环传递函数： ( s) KF ( s ) H ( s) 2 1 ( s) s KF ( s )
1
1
1
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
1 s 1 1
传递函数： 1
方法一
s 2 ( s)
2
s e ( s Biblioteka K1 e ( s ) s 1 ( s )
2
1
e ( s) 1 H e ( s) 1 ( s ) s 2 s K 1 1
经拉氏变换得到：
U o ( s)
11 LsI ( s ) RI ( s ) I ( s ) U i ( s ) I ( s) CsU o ( s) Cs RLC电路的复频域表达式：
LCs 2U o ( s ) RCsU o ( s ) U o ( s ) U i ( s )
e
e ( s ) 1 ( s ) H e ( s )
e t 对 2 s 、 e s 作反拉氏变换得到 2 t 、
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
一、误差的时间响应 e (t ) 1、输入相位阶跃信号
1 (t )
0 2 2 拉氏变换 1 ( s ) s s s e ( s ) 2 2 e ( s) 2 2 s 2 n s n s s 2 n s n s ①理想二阶锁相环路的误差响应 s s e (s) H ( s) 1 ( s) 2 2 2e 2 s 2 n s n s 2 n s n 系统 s A s B A B e ( s) e ( s) 的两 ( s s1 )( s s2 ) ( ss ss )( s s s2s )2 s s1 个极 s s2 11 其中 点 2 2 s1 n ( 1) s2 n ( 1)
第 2章 环路跟踪性能
第二章 环路跟踪性能
本章内容及分析方法： 本章研究锁相环在同步状态下的跟踪性能及 指标，在工程设计上有实用价值。涉及到的一些 公式是工程设计中常用的。
环路在同步状态下线性模型的建立 一般二阶线性系统时域和频域响应分析
二阶锁相环路时域响应和频域响应分析
环路的稳定性研究
*当 0 1 时：欠阻尼状态 当 1时：过阻尼状态 当 1 时：临界阻尼状态
ui (t )
2.0
单位阶跃输入 激励下的输出 响应
暂态过程有振荡，最后稳定在稳态值上。 1.0
0
nt
一般二阶系统都设计到欠阻 尼状态，锁相环也一样。
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
描述暂态过程的指标： 1.延时时间 td 延时时间 2.上升时间 tr 上升时间 3.峰值时间 t p 峰值时间
－
Kd
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
动态方程：p e (t ) p1 (t ) KoU d F ( p ) sin e (t )
线性化的动态方程为： K K oU d pe (t ) p1 (t ) K 0U d F ( p)e (t )
非线性微 分方程
时域
第 2章 环路跟踪性能
用系统参数描述的RLC电路的时域表达形式 1 d 2uo (t ) 2 duo (t ) uo (t ) ui (t ) 2 2 n dt n dt RLC电路的传递函数 U o (s) 1 H (s) U i( s ) LCs 2 RCs 1
第 2章 环路跟踪性能
3、误差传递函数 s e ( s ) 1( s ) 2 ( s ) 1 H ( s) H e ( s) 1 ( s ) 1 ( s ) s KF ( s )
H o ( s )、H ( s)、H e ( s ) 之间的关系：
《 锁相技术》
用直线 代替正 弦鉴相 特性
第 2章 环路跟踪性能
鉴相器的线性化的相位模型
线性化条件
e (t )
6
线性化数学模型 线性化相位模型
+
u d t K d e t
ud t K d e t
θ1 t
e (t )
2 t
常用三种锁相环系统参数和电路参数之间的关系：
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
三种常用锁相环用系统参数描述的传递函数
相同的传递函数可以对应不同的物理系统，如 RC积分滤波器二阶环和RLC电路。
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
二、RLC电路的时间响应及其指标 1 d 2uo (t ) 2 duo (t ) uo (t ) ui (t ) 2 2 n dt n dt 当 ui t 1(t ) 时，对上述方程求解：uo (t ) 当 0 时：无阻尼状态 d n
2 U o ( s) n H (s) 2 2 U i( s) s 2 n s n
用电路参 数的描述
用系统参 数的描述
总结： 1、二阶线性系统的传递函数、微分方程可以用电 路参数或系统参数来描述，后者在系统设计时，会 带来方便。
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
2、不同LF的环路 系统参数与电路参数之间的关系
RLC电路的时域表达式： d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt 一般为分析方便，采用系统参数：
无阻尼振 荡频率
《 锁相技术》
二阶线性 微分方程 RLC为 系统的 电路参 数 为阻尼 系数
1 n LC
R 2 n L
最大过 冲量
稳态误差
暂态时间 uo (t p ) uo () 5.最大过冲量 M p 100% uo () 6.稳态误差 () 4.暂态时间 t s
e
以上参数 由系统或 电路参数 决定的， 影响暂态 性能
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
三、频率响应 2 U o ( s) n s) H ( s) 2 2 U i( s) s 2 n s n 2 U o (s) n s) U H ( j ) 21 2 ( jx ) oU ( s ) 2 2 j n n i U ( jx ) 1 x j 2 x U ( jx ) 1 i o x 令 U i ( jx ) n 1 x 2 j 2 x U 1 o( H ( jx jx) ) 2 UU ( jx ) 1 ( jx ) 1 x j 2 x o i 2 2 2 2 UU ( jx ) ( jx ) 1 (1 x ) 4 x i o H ( jx ) 2 2 2 2 U i ( jx ) (1 x ) 4 x U o ( jx ) 1 2 2 2 x 2 2 U ( jx ) U ( jx ) o (1 x ArgH ( jx ) arctg) 4 x i Arg 2 UU ( jx ) 1 x 2 x i o ( jx ) Arg 《 锁相技术》 arctg 2
K H ( s) 1 H e ( s)
s2
s
1 方法二
s1 ( s )
1 F ( s) 1 s
1
s
2
F (s) H o (s) K s KF ( s ) H ( s) s KF ( s )
K
s
1
1
K H ( s) 1 H o ( s) 1 H ( s) s 2 s
具体环路的传递函数取决于LF
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
三、二阶锁相环路的线性动态方程与传递函数
RC积分滤波器二阶环路传递函数
1 RC积分滤波器的传递函数： F ( s ) 1 s 1 线性动态方 程 二阶线性 1 s e (t ) s1 (t ) K e (t ) 微分方程 1 s 1 整理 1 K 1 2 2 s e ( s ) s e ( s ) e ( s ) s 1 ( s ) s 1 ( s )
s H e (s) s KF ( s )
采用其它两种滤波器 的锁相环的动态方程及传 递函数的获得和以上相同。
1
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
表 2-1
二阶锁相环线性化后，成为一个二阶线性系统，动 态方程为二阶线性微分方程，传递函数有两个极点。
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
§2.2 二阶线性系统的一般性能
一、二阶系统及其描述 如图所示的RLC电路
应用克希霍夫定律，可以建立方程：
di (t ) 1 L Ri (t ) i (t )dt U i (t ) dt C 1 i (t )dt U o (t ) 《 锁相技术》 C
uo (t )
第 2章 环路跟踪性能
第 2章 环路跟踪性能
§2.3 环路对输入暂态信号的响应
研究内容：
环路在同步状态时，当输入信号的频率、相位发 生变化时，环路会出现一个跟踪过程。
暂态相 位误差
暂态过程
稳定状态
稳态相 位误差
研究对象：三种常用的一阶滤波器构成的二阶环
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
输入信号 相位阶跃信号 频率阶跃信号 频率斜升信号
dud (t ) Kd d e ( t )
e 0
e 0
U d cos e (t )
e 0
U d [V / r
U d cos e (t )
e 0
U d [V / rad ]
则有：U d sin e (t ) K d e (t ) U d e (t )
《 锁相技术》
1 t u t
单位 阶跃函数
u(t )
1 t tu t
1 1 (t ) Rt 2 u t 2
第 2章 环路跟踪性能
研究方法
求输出相位响应和误差响应的方法
写出输入相位
1 t
的拉氏变换
1 s
根据具体环路写出闭环传函 H s 和误差传函 H s 根据 2 ( s) 1 ( s) H ( s)
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
§2.1 线性相位模型与传递函数 一、线性相位模型的建立 ud (t ) U d sin e (t ) 特性曲线如图 鉴相器的模型：
dud (t ) K 很 锁相环路同步时， dt ) e( d e ( t )
小，鉴相器工作在“0”点 附近，此时鉴相特性可以 用一条直线来代替。此直 线的斜率为： ud (t ) U d sin e (t )
s H e ( s) H o (s) H s) (s) s( KF
1 H o (s)
1 H e (s) 1 H o (s)
H e ( s) 1 H ( s)
H o ( s) H (S ) H e ( s) 是研究锁相环常 用的三种传递函 数，它们之间的 关系在工程设计 中常用。
p e (t ) p1 (t ) KF ( p) e (t )
K K 0U d 环路总 增益
PLL时域线性相位模型：
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
动态方程的复频域表达形式：
复频域 s e ( s ) s1 ( s ) KF ( s ) e ( s )
PLL复频域的线性相位模型：
f (t ) F ( s) df (t ) sF ( s ) dt
拉氏变换
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
二、传递函数 线性系统的传递函数的定义：
响应函数的拉氏变换 H ( s) 驱动函数的拉氏变换 初始条件
1、开环传递函数： 1 ( s ) K F ( s ) F (s) 1 2 ( s) s K H o (s)= s 1 ( s ) 1 ( s ) 开环 2、闭环传递函数： ( s) KF ( s ) H ( s) 2 1 ( s) s KF ( s )
1
1
1
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
1 s 1 1
传递函数： 1
方法一
s 2 ( s)
2
s e ( s Biblioteka K1 e ( s ) s 1 ( s )
2
1
e ( s) 1 H e ( s) 1 ( s ) s 2 s K 1 1
经拉氏变换得到：
U o ( s)
11 LsI ( s ) RI ( s ) I ( s ) U i ( s ) I ( s) CsU o ( s) Cs RLC电路的复频域表达式：
LCs 2U o ( s ) RCsU o ( s ) U o ( s ) U i ( s )
e
e ( s ) 1 ( s ) H e ( s )
e t 对 2 s 、 e s 作反拉氏变换得到 2 t 、
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
一、误差的时间响应 e (t ) 1、输入相位阶跃信号
1 (t )
0 2 2 拉氏变换 1 ( s ) s s s e ( s ) 2 2 e ( s) 2 2 s 2 n s n s s 2 n s n s ①理想二阶锁相环路的误差响应 s s e (s) H ( s) 1 ( s) 2 2 2e 2 s 2 n s n s 2 n s n 系统 s A s B A B e ( s) e ( s) 的两 ( s s1 )( s s2 ) ( ss ss )( s s s2s )2 s s1 个极 s s2 11 其中 点 2 2 s1 n ( 1) s2 n ( 1)
第 2章 环路跟踪性能
第二章 环路跟踪性能
本章内容及分析方法： 本章研究锁相环在同步状态下的跟踪性能及 指标，在工程设计上有实用价值。涉及到的一些 公式是工程设计中常用的。
环路在同步状态下线性模型的建立 一般二阶线性系统时域和频域响应分析
二阶锁相环路时域响应和频域响应分析
环路的稳定性研究
*当 0 1 时：欠阻尼状态 当 1时：过阻尼状态 当 1 时：临界阻尼状态
ui (t )
2.0
单位阶跃输入 激励下的输出 响应
暂态过程有振荡，最后稳定在稳态值上。 1.0
0
nt
一般二阶系统都设计到欠阻 尼状态，锁相环也一样。
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
描述暂态过程的指标： 1.延时时间 td 延时时间 2.上升时间 tr 上升时间 3.峰值时间 t p 峰值时间
－
Kd
《 锁相技术》
第 2章 环路跟踪性能
动态方程：p e (t ) p1 (t ) KoU d F ( p ) sin e (t )
线性化的动态方程为： K K oU d pe (t ) p1 (t ) K 0U d F ( p)e (t )
非线性微 分方程
时域
第 2章 环路跟踪性能
用系统参数描述的RLC电路的时域表达形式 1 d 2uo (t ) 2 duo (t ) uo (t ) ui (t ) 2 2 n dt n dt RLC电路的传递函数 U o (s) 1 H (s) U i( s ) LCs 2 RCs 1