北师大版高中数学必修二空间两点间的距离公式教案

空间两点间的距离公式

【情景导入】 （多媒体投影）

三楼屋顶有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A 处8米远的坡坎边，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4.2米，蜂巢能被击落吗？ 【引导】

师：这是一个很有趣的实际应用题，同学们你能根据题意画出符合条件的示意图吗？ 生：阅读题目，并作出相应的空间图形。

师：好！显然据题意知蜂巢能否被击落，实质上就是比较图形中消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小，这个问题可以通过立体几何的知识可以解决，但我们想换一种思维即采用代数的方法，借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的距离，我们就可以解决上面的这个实际应用题。这就是我们这一节将要学习的：（书写课题）空间直角坐标系。 【新知探究】 【引导】

师：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，通过上一节的学习，我们知道建立空间直角坐标系后，空间中的任一点P 与一组有序实数对（x,y,z ）建立了一一对应的关系，类比平面两点间的距离公式的推导，你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？

生：空间两点),,(1111z y x P

、),,(2222z y x P 间的距离公式为： 22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=

（由于有前面学习的基础学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=

。） 师：很好！猜想是我们探索未知世界的一种重要的思维方法，但终归是猜想只有和严格的数学逻辑思维的证明，这样才算是一个完整的思维过程。下面我们考虑如何根据两点的坐标来证明两点间的距离公式为：22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=

【引导】

师：为了使同学们更好的理解空间两点间的距离公式的推导过程，我们按照由特殊到一般的思维过程先研究比较简单的情形。然后再利用类比的方法推广到一般情况。 【师生互动】 师：如果两点P 1、、、P 2是三个坐标平面中的其中一个平面上的任意两点，如何计算这两点之间的距离？它们适合公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=

吗？

生：作图并分别写出两点P 1、、、P 2在三个坐标平面中的坐标，并思考如何求出两点间的距离。 师：巡视指导，并点拔：“若两点P 1、、

、P 2都在平面XOY 中，两点的坐标的形式是什么？”“实质上这两点的距离是否就是平面上两点两点间的距离，利用两点间的距离公式验证它是否符合22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=

？”

X

师：显然平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特殊情况，如果P （x,y,z ）那么它到坐标原点O 的距离如何求解呢？如图：设点P 在XOY 平面上的射影是B ，则B 点的坐标根据空间中点的坐标的定义是什么？如何在空间立体图形中求出OP 的长？ 生：观察图形通过立体几何知识分析图中的线面关系？

师：引导学生回顾求解空间中两点间的距离的思想，即将空间问题最终转化为平面问题，常常在一些平面图形中求解，如在三角形、梯形中。

生：回答教师提出的问题，教师及时纠正学生的错误，并由学生口述解题过程，教师板书：

据题意知点P 在平面XOY 上的射影B 点的坐标是（x,y,o ），在平面XOY 中OB =

，

由于PB ⊥平面XOY ，故PB ⊥OB ，因此在直角三角形OBP 中，根据勾股定理：

OP =

因为BP Z =，所以OP =

标系）O —XYZ 中，任意一点P （x,y,z ）与原点的距离OP =【师生互动】

师：如果OP 的长是定值R ，则方程2222

x y z R ++=表示何图形？ 生：思考并与同桌交流。

师：巡视指导，并适时点拔：“在平面直角坐标系中，方程2

2

2

r y x =+表示以原点为圆心，半径为r 的圆”据此类比“方程左端的形式与我们学习的那个知识相似？它表示的几何意义是什么？”“在空间中满足条件的点构成什么图形？”

生：回答，此过程中可能会引起学生的争论，教师要注意正确的引导。 【点拨】

师：在平面直角坐标系中，方程2

2

2

r y x =+表示以原点为圆心，半径为r 的圆，据此，学生不难将此推广到空间，得出2

2

2

2

r z y x =++表示以原点为球心，半径为r 的球面 类似地不难将平面直角坐标系中的中点公式也可以推广到空间直角坐标系中。即如果

()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则两点的中点P 的坐标为111222,22x y z x y z ++++⎛⎫

⎪⎝⎭

。 师：有了上基础，我们不难将OP 的长度推广到空间任意两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z 间的距离公式，证明过程如下：（多媒体投影）

【点拔】

空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离反映在立体几何中，实质上是以1P 、2P 作

为长方体的一条体对角线的端点的所在体对角线的长，其中此长方体的长为||21x x -，宽为

||21y y -，高为||21z z -。

师：下面我们通过具体例题来说明两点间距离公式的应用。 （多媒体投影）

已知A(x ，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x 的值。 【引导】

师：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得。 生解答并回答解题过程

|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x

即16)5(2

=-x ，解得x=1或x=9

∴x=1或x=9 【点拨】

求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解。

证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得：

由于

，所以△ABC 是一等腰三角形

（多媒体投影）

3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？ 【引导】

师：因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线。 生：思考并解答 （多媒体投影）

设点P 的坐标为(x, y, z)。 点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0 |PA|=5，∴

5)4()2()1(222=-+-++z y x 即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，

∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，

∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1,2，0)。

点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5， ∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3。

∴点P 的轨迹是圆2

)1(+x 2

)2(-+y =9，z=0。