高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）
课堂导学
三点剖析
1.二倍角公式的应用 【例1】（1）求cos
12
π
cos 125π的值；
（2）求cos20°·cos40°·cos80°； （3）求
︒
-︒10cos 3
10sin 1的值.
解：（1）cos 12πcos 125π=cos 12πsin 12
π
=21·2cos 12πsin 12π=21sin 6π=4
1. （2）原式=︒
︒
∙︒∙︒∙︒2sin2008cos 04cos 20cos 20sin 2
=︒
︒∙︒∙︒20sin 480cos 40cos 40sin 2
=.8
120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 2=︒︒=︒︒∙︒
（3）
︒
︒︒
-︒=︒-︒10cos 10sin 10sin 310cos 10cos 310sin 1
=
.420sin )1030sin(410cos 10sin 22
1)
10sin 2310cos 21(2=︒︒-︒∙=︒∙︒∙︒-︒ 温馨提示
对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据12π、12
5π两角互余，将cos
125π换成sin 12
π
，再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间具有倍数关系，40°=2×20°，80°=2×40°，故分子分母同乘以sin20°，便可逆用二
倍角公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值. 2.公式的变形应用
【例2】（1）化简：8cos 228sin 12++
+；
（2）设α∈（
π23，2π），化简：α2cos 2
1
212121++. 思路分析：（1）1+sin8=sin 2
4+2sin4cos4+cos 2
4=（sin4+cos4）2
，2（1+cos8）=4cos 2
4.
（2）连续运用公式：1+cos2α=2cos 2
α.
解：（1）原式=4cos 44cos 4sin 2122++=2|sin4+cos4|+2|cos4|.因为4∈（π，π2
3），所以sin4＜0，cos4＜0.
故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4=-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）. （2）因为α∈（
23π，2π），所以cos α＞0，cos 2
α＜0. 故，原式=
2
cos |2cos |2cos cos 2121cos 2
1
2122α
αααα-===+=+. 温馨提示
（1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1±sin α=（sin
2α±cos 2α）2，1+cos α=2cos 22
α. （2）脱掉根号时要注意符号问题，如|2
cos
|2cos 1α
α=+，利用α所在的象限，判
断cos
2
α
的正负，然后去掉绝对值符号. 3.正确理解二倍角公式中“二倍”的含义，灵活运用公式 【例3】 设sin （
4π-x ）=135，0＜x ＜4
π
，求)
4
cos(2cos x x +π
的值.
思路分析：本题主要结合倍角公式考查给值求值问题.要抓住已知条件中角和被求式中角的关系，（4π+x ）与（4π-x ）互余，2x 与4π-x 的2倍角互余，即cos2x=sin （2
π
±2x）=sin ［2（
4
π
±x）］. 解法1：∵0＜x ＜
4π，∴0＜4π-x ＜4
π. ∴cos（
4
π-x ）=.1312)135(1)4(sin 122=
-=--x π 又cos （
4π+x ）=sin （4π-x ）=13
5
， ∴原式=)
4sin()]
4(2sin[x x --ππ
=)
4
sin()
4cos()4sin(2x x x ---πππ
=2cos （
4
π
-x ）=1324.
解法2：∵cos2x=cos 2
x-sin 2
x
=（cosx+sinx ）（cosx-sinx ）
=2sin （x+
4π）·2cos （x+4π
） =2sin （x+4π）cos （x+4
π
），
∴原式=
)
4
cos()
4cos()4sin(2ππ
π++∙+x x x =2sin （x+4π
）
=2cos （4
π
-x ）
由解法1可知cos （4π-x ）=13
12
，
∴原式=2×1312=13
24
.
温馨提示
（1）在给值求值问题中，应该首先找出已知中的角和所求式中角的联系，这是我们解决三角函数问题的常规思路，概括为“先角后函数”.
（2）对于二倍角应该有广义上的理解，4α是2α的2倍，3α是
23α的2倍，2
π
±2x 是
4
π
±x 的2倍. 各个击破 类题演练1
求下列各式的值：
（1）（cos
12π-sin 12π）（cos 12π+sin 12π）； （2）21-cos 28π； （3）32-+3
4cos 2
15°；
（4）tan67°30′-tan22°30′. 解：（1）原式=cos
2
12π-sin 212π=cos 6π=2
3；
（2）原式=-
21（2cos 28
π-1）
=-
21·cos 4
π =4
2
-
； （3）原式=
32（2cos 2
15°-1）=3
2·cos30°=33；
（4）原式=tan67°30′-tan(90°-67°30′) =tan67°30′-
'
3067tan 1
︒
=
.2135tan 1
2)'30672tan(12'3067tan 2'3067tan 12'3067tan 1'3067tan 22=︒
-=︒⨯-=︒︒-∙-=︒-︒ 变式提升1
化简：sin10°sin30°sin50°sin70°. 解：原式=
21cos80°·cos40°·cos20°=16
1. 类题演练2
化简：（1）α2sin 1-；（0＜α＜
4
π
） （2）θθsin 1sin 1--+ θ∈（0，π）； 解：（1）原式=222
)cos (sin cos sin 2cos sin αααααα-=-+=|sin α-cos α|.
∵0＜α＜
4
π
， ∴sin α＜cos α，sin α-cos α＜0.
∴原式=-（sin α-cos α）=cos α-sin α. （2）原式=2
cos
2
sin
22
cos 2
sin 2
cos
2
sin
22
cos 2
sin
2
2
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
-+-++
=22)2
cos 2(sin )2cos 2(sin
θ
θθθ
--+ =|sin
2θ+cos 2θ|-|sin 2θ-cos 2
θ| ∵0＜θ＜π，
∴0＜
2θ＜2π. ①当0＜2θ≤4π时，cos 2θ≥sin 2θ
＞0，此时
原式=（sin 2θ+cos 2θ）-（cos 2θ-sin 2θ）=2sin 2
θ
，
②当4π＜2θ＜2π时，sin 2θ＞cos 2
θ
＞0，此时 原式=（sin 2θ+cos 2θ）-（sin 2θ-cos 2θ）=2cos 2
θ
.
变式提升2 化简：
α
αα
α4cos 4sin 14cos 4sin 1-+++.
解法1：原式=α
ααααα2sin 212cos 2sin 211
2cos 22cos 2sin 2122+-+-++
=
)
sin 2(cos 2sin 2)
2cos 2(sin 2cos 2αααααα2++=cot2α.
解法2：原式=
α
αα
α4sin )4cos 1(4sin )cos 1(+-+4+
=α
ααααα2cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 222++ =
)
2cos 2(sin 2sin 2)
2sin 2(cos 2cos 2αααααα++=cot2α.
类题演练3
(2005江苏，10)若sin （6π-α）=31，则cos （3
2π+2α）等于（ ）
A.97-
B.31-
C.31
D.9
7
解析：cos （32π+2α）=2cos 2
（3
π+α）-1.
∵（6π-α）+（3π+α）=2
π，
∴cos（3π+α）=sin （6
π
-α）=31.
∴cos（32π+2α）=2×（31）2-1=9
7
-.
答案：A
变式提升3
若cos （4π+x ）=53，1217π＜x ＜4
7π
.求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.
解法1：∵cos（
4π+x ）=53，1217π＜x ＜4
7π
，
∴35π＜4π+x ＜2π，则sin （4π+x ）=-5
4.
从而cosx=cos ［（4π+x ）-4
π］ =cos （4π+x ）cos 4π+sin （4π+x ）sin 4
π
=
53×22+（-5
4）×22=102-，
∴sinx=10
27cos 12
-=--x ， tanx=7.
故原式=x
x
x x tan 1sin 2cos sin 22-+
=
7
1)1027(2)102()1027(22
--⨯+-⨯-
⨯
=75
28-
. 解法2：原式=x
x
x x tan 1sin 2cos sin 22-+
=
x
x x x tan 1)
tan 1(cos sin 2-+
=sin2x·tan（4
π
+x ）.
∵π1217＜x ＜47π，∴35π＜4
π+x ＜2π. 又cos （4π+x ）=53，∴sin（4π+x ）=-5
4
，
即tan （4π+x ）=-3
4
.
则sin2x=sin ［2（4π+x ）-2
π
］
=-cos2（4
π
+x ）
=-［2cos 2
（4
π+x ）-1］=257.
故原式=257×（-3
4
）=-7528.。