余角和补角
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D C E
A
O
B
变式训练
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC， ∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是_______________ ∠COE、∠BOE ， ∠COD的余角是_________________; ∠COE、∠BOE （2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE平分∠BOC，理由如下： D ∵∠DOE=90°， ∴∠AOD+∠BOE=90°， ∴∠COD+∠DOE=90°， ∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE， A O ∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD， ∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
A
D
C E
解：因为点A，O，B在同一直线 上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角. 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分 ∠AOC 和∠BOC，
O
B
1 1 所以∠COD+∠COE= 2 ∠AOC+ 2 ∠BOC 1 = 2 (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
所以∠COD和∠COE互为余角， 同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE， ∠COD和∠BOE也互为余角.
互余用数学式子表示为： ∠1+∠2=90°，∠1与∠2互余．反之，
因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°。
互补用数学式子表示为：
因为∠3+∠4=180°所以3与∠4互补．
反之，因为∠3与∠4互补，所以∠3 +∠4=180°。
提问答疑，理解定义
（1）定义中的“互为”一词如何理解 ？ 如果 ∠1 与∠2互余，那么∠1 的余角 是∠2，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1 与∠2互补，那么∠1 的补角是∠2， 同样 ∠2的补角是∠1 。
南
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔 A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北 偏 东 40° ， 南 偏 西 10° ， 西 北 ( 即 北 偏 西 45°)方向上又分别发现了 北 客轮B，货轮C和 ●B ●D 海岛D. 仿照表示 40° 灯塔方位的方法 O ● 东 画出表示客轮B， 西 货轮C和海岛D方 60° 向的射线. 10° ●A
C
●
南
练习
1.一个角是70°39′，求它的余角和补
角。
2、∠A的补角是它的3倍，∠A 是多少度？
3、 如图两堵墙围一个角∠AOB，但 人不能进入围墙，我们如何去测这个 角的大小呢？
A
C
O
B
4、如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？ 答案：∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90°
分析：相对方位，度数不变，方向相反
C 30° 30° A B
北
互余 两角间 的数量 关系 对应图 形
1 2 90 (1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
定义
方位角
书写
物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角，一般以正北、 正南为基准，用向东或向西旋转的角 度表示方向 通常要先写北或南，再写偏东或偏西
第四章
几何图形初步
4.3
第3课时
角
余角和补角
将一张长方形纸 片，沿一个角折叠 后，折痕与长方形 的边形成了4个角.
2 1 3 4
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？ ∠1+∠2 = 90° 2. ∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4 = 180°
2 1 3
4
如果两个角的和等于90°( 直角 )， 就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角 互余 ). 如果两个角的和等于180°(平角)， 就说这两个角互为补角 ( 简称为两个 角互补 ).
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶 点或公共边？
两角互余或互补，只与角的度数有关， 与位置无关。
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o 46.2o
66o
43.8o
75o
图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
o
30
60o
80o
100o 120
o
150
o
170o
知识提升
A D
30°60° 30° 2 1 3
如图，说出下列方位
(1)射线 OA 表示的 方向为 北偏东 40°. (2) 射线 OB 表示的 方向为 北偏西 65°.
B 西 C 65° 40° 70° 45°20° D O 北 A
(3) 射线 OC 表示的 (4) 射线 OD 表示的 方向为 南偏东 20° .
东
° 南偏西 45 (西南) . 方向为
B
O
O
C
∵∠1与∠ 2互余， ∠1与∠3互余， ∴∠ 2＝ 90 °－ ∠1， ∠3＝ 90 °－ ∠1 ∴∠2＝∠3
同角的余角相等；
如图，∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，若 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解： ∠2与∠4相等 理由:∵∠1与∠2互余 ∴∠2=90o-∠1 ∵∠3与∠4互余 ∴∠4=90o-∠3 又∵∠1=∠3 ∴∠2=∠4
C
2 1
D B ∠1+∠B=90° A ∠1+∠2=90° (2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为 什么？ 答案：∠B=∠2 ( 同角的余角相等 )
∠A=∠1 ( 同角的余角相等 )
5、 东西方向的海岸线上有A、B两个观测
站，分别观测到渔船C的位置如图所示，则 渔船C在观测站A的 偏 °，渔船C 在观测站B的 偏 °.你能说出观 测站A在渔船C的什么方向吗？观测站B呢？
2 1 3 4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里，我们 用到了“等量 减等量，差相 等”。
等角的补角相等
例3 如图，点A，O，B在同一 直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 图中哪些角互为余角？
4 3
1
2
等角的余角相等。
思考
如图，画出∠1的补角
2
1
3
1
解： ∠2与∠3相等. 理由：∵∠1与∠ 2互补， ∠1与∠3互补， ∴∠ 2＝ 180 ° － ∠1， ∠3＝ 180 ° － ∠1 ∴∠2＝∠3
同角的补角相等；
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如 果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
八大方位
北 D
45° 45°
E
H
正东Βιβλιοθήκη Baidu射线 OA 正南：射线 OB 正西：射线 OC 正北：射线 OD
西北方向： 射线 OE 西南方向： 射线 OF 东北方向： 射线 OH 东南方向： 射线 OG
西
C
45° 45°
O
A
东
F
B 南
G
表示方位的角（方位角）在航行、 测绘等工作中经常用到。一般以正北、 正南方向为基准，描述物体运动的方 向。如“北偏东30°”、“南偏西 25°”。 方位角的一边是表示正北或正南的射 线，另一边是表示偏西或偏东的射线。
C
E
B
创设情境，引出课题 在茫茫大海上,我缉私艇正在执行 任务,当行驶到某处时,发现有一只可 疑船只,这时测得可疑船只在我船的北 偏东40°方向60千米处.你能确定可疑 船只的位置吗？
探索新知，巩固运用 北
●
A
40°
西
●
O
东
南
你知道表示方向的一个成语吗? “四面”—东、南、西、北
“八方”--东、南、西、北和东北、 东南、西北、西南
A
O
B
变式训练
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC， ∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是_______________ ∠COE、∠BOE ， ∠COD的余角是_________________; ∠COE、∠BOE （2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE平分∠BOC，理由如下： D ∵∠DOE=90°， ∴∠AOD+∠BOE=90°， ∴∠COD+∠DOE=90°， ∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE， A O ∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD， ∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
A
D
C E
解：因为点A，O，B在同一直线 上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角. 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分 ∠AOC 和∠BOC，
O
B
1 1 所以∠COD+∠COE= 2 ∠AOC+ 2 ∠BOC 1 = 2 (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
所以∠COD和∠COE互为余角， 同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE， ∠COD和∠BOE也互为余角.
互余用数学式子表示为： ∠1+∠2=90°，∠1与∠2互余．反之，
因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°。
互补用数学式子表示为：
因为∠3+∠4=180°所以3与∠4互补．
反之，因为∠3与∠4互补，所以∠3 +∠4=180°。
提问答疑，理解定义
（1）定义中的“互为”一词如何理解 ？ 如果 ∠1 与∠2互余，那么∠1 的余角 是∠2，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1 与∠2互补，那么∠1 的补角是∠2， 同样 ∠2的补角是∠1 。
南
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔 A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北 偏 东 40° ， 南 偏 西 10° ， 西 北 ( 即 北 偏 西 45°)方向上又分别发现了 北 客轮B，货轮C和 ●B ●D 海岛D. 仿照表示 40° 灯塔方位的方法 O ● 东 画出表示客轮B， 西 货轮C和海岛D方 60° 向的射线. 10° ●A
C
●
南
练习
1.一个角是70°39′，求它的余角和补
角。
2、∠A的补角是它的3倍，∠A 是多少度？
3、 如图两堵墙围一个角∠AOB，但 人不能进入围墙，我们如何去测这个 角的大小呢？
A
C
O
B
4、如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？ 答案：∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90°
分析：相对方位，度数不变，方向相反
C 30° 30° A B
北
互余 两角间 的数量 关系 对应图 形
1 2 90 (1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
定义
方位角
书写
物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角，一般以正北、 正南为基准，用向东或向西旋转的角 度表示方向 通常要先写北或南，再写偏东或偏西
第四章
几何图形初步
4.3
第3课时
角
余角和补角
将一张长方形纸 片，沿一个角折叠 后，折痕与长方形 的边形成了4个角.
2 1 3 4
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？ ∠1+∠2 = 90° 2. ∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4 = 180°
2 1 3
4
如果两个角的和等于90°( 直角 )， 就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角 互余 ). 如果两个角的和等于180°(平角)， 就说这两个角互为补角 ( 简称为两个 角互补 ).
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶 点或公共边？
两角互余或互补，只与角的度数有关， 与位置无关。
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o 46.2o
66o
43.8o
75o
图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
o
30
60o
80o
100o 120
o
150
o
170o
知识提升
A D
30°60° 30° 2 1 3
如图，说出下列方位
(1)射线 OA 表示的 方向为 北偏东 40°. (2) 射线 OB 表示的 方向为 北偏西 65°.
B 西 C 65° 40° 70° 45°20° D O 北 A
(3) 射线 OC 表示的 (4) 射线 OD 表示的 方向为 南偏东 20° .
东
° 南偏西 45 (西南) . 方向为
B
O
O
C
∵∠1与∠ 2互余， ∠1与∠3互余， ∴∠ 2＝ 90 °－ ∠1， ∠3＝ 90 °－ ∠1 ∴∠2＝∠3
同角的余角相等；
如图，∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，若 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解： ∠2与∠4相等 理由:∵∠1与∠2互余 ∴∠2=90o-∠1 ∵∠3与∠4互余 ∴∠4=90o-∠3 又∵∠1=∠3 ∴∠2=∠4
C
2 1
D B ∠1+∠B=90° A ∠1+∠2=90° (2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为 什么？ 答案：∠B=∠2 ( 同角的余角相等 )
∠A=∠1 ( 同角的余角相等 )
5、 东西方向的海岸线上有A、B两个观测
站，分别观测到渔船C的位置如图所示，则 渔船C在观测站A的 偏 °，渔船C 在观测站B的 偏 °.你能说出观 测站A在渔船C的什么方向吗？观测站B呢？
2 1 3 4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里，我们 用到了“等量 减等量，差相 等”。
等角的补角相等
例3 如图，点A，O，B在同一 直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 图中哪些角互为余角？
4 3
1
2
等角的余角相等。
思考
如图，画出∠1的补角
2
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1
解： ∠2与∠3相等. 理由：∵∠1与∠ 2互补， ∠1与∠3互补， ∴∠ 2＝ 180 ° － ∠1， ∠3＝ 180 ° － ∠1 ∴∠2＝∠3
同角的补角相等；
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如 果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
八大方位
北 D
45° 45°
E
H
正东Βιβλιοθήκη Baidu射线 OA 正南：射线 OB 正西：射线 OC 正北：射线 OD
西北方向： 射线 OE 西南方向： 射线 OF 东北方向： 射线 OH 东南方向： 射线 OG
西
C
45° 45°
O
A
东
F
B 南
G
表示方位的角（方位角）在航行、 测绘等工作中经常用到。一般以正北、 正南方向为基准，描述物体运动的方 向。如“北偏东30°”、“南偏西 25°”。 方位角的一边是表示正北或正南的射 线，另一边是表示偏西或偏东的射线。
C
E
B
创设情境，引出课题 在茫茫大海上,我缉私艇正在执行 任务,当行驶到某处时,发现有一只可 疑船只,这时测得可疑船只在我船的北 偏东40°方向60千米处.你能确定可疑 船只的位置吗？
探索新知，巩固运用 北
●
A
40°
西
●
O
东
南
你知道表示方向的一个成语吗? “四面”—东、南、西、北
“八方”--东、南、西、北和东北、 东南、西北、西南