2019届高三理科数学一轮复习教师用书：第8章第9节 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系

第九节 圆锥曲线的综合问题

[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．

[基础知识填充]

1．直线与圆锥曲线的位置关系

设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0， 由⎩⎨⎧

Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0

消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有两个公共点；

Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有一个公共点； Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有零个公共点．

(2)当a ＝0，b ≠0时，圆锥曲线C 为抛物线或双曲线．

当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．

当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式

设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·

Δ|a |.

[知识拓展] 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．

(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线

和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；

过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．()

(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．()

(3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()

(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．()

[解析](1)对．椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切．

(2)错．当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切．

(3)对．可转化为到准线的距离来证明(3)正确．

(4)错．当直线l为对称轴时，l与抛物线有一个交点．

[答案](1)√(2)×(3)√(4)×

2．(教材改编)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆x2

9＋

y2

4＝1的位置关系是()

A．相交B．相切

C．相离D．不确定

A[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]

3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()

A．1条B．2条

C．3条D．4条

C [结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：一条过点(0,1)且平行于x 轴的直线，两条过点(0,1)且与抛物线相切的直线．]

4．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2

D ．0

A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b

a x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]

5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线，交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．

16 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.]

第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系

(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x

4上两点，A 与B 的横坐标之

和为4.

(1)求直线AB 的斜率，

(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．

[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 22

4，x 1＋x 2＝4，

于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2

4＝1.

(2)由 y ＝x 24，得y ′＝x

2.

设M (x 3，y 3)，由题设知x 3

2＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)． 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，

故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 2

4得x 2－4x －4m ＝0. 当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1.

从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝4

2(m ＋1).

由题设知|AB |＝2|MN |，即4

2(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7.

所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.

[规律方法] 1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x (或y )，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：

(1)消元后需要讨论含x 2(或y 2)项的系数是否为0. (2)重视“判别式Δ”起的限制作用.

2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.

[跟踪训练] 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：

(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．