第8章 恒定磁场

第8章 恒定磁场
一、填空题
8.1、如图所示，平行的无限长直载流导线A 和B ， Y 电流强度均为I ，垂直纸面向外，两根载流导线
之间相距为a ，则
（1）AB 中点（P 点）的磁感应强度P B
= ； （2）磁感应强度B
沿图中环路L 的线积分 ⎰⋅L
l d B
= 。

8.2、一个绕有500匝导线的平均周长50cm 的细环，载有0.3A 电流时，铁芯的相对磁导率为600。

（1）铁芯中的磁感应强度B 为 ；
（2）铁芯中的磁场强度H 为 。

（170104--⋅⋅⨯=A m T πμ）
8.3、将条形磁铁插入与冲击电流计串联的金属环中时，有C q 5100.2-⨯=的电荷通过电流计。

若连接电流计的电路总电阻Ω=25R ，则穿过环的磁通的变化
∆Φ= 。

8.4、如图所示，一长直导线中通有电流I ，有一与长直导线共面、垂直于导线的细金
属棒AB ，以速度v
平行于长直导线
作匀速运动。

问 （1） 金属棒A 、B 两端的电势A U 和B U 哪
一个较高 ？ （2）若将电流I 反向，A U 和B U 哪一个较高 ？
（3）若将金属棒与导线平行放置，结果又如何 ？
8.5、真空中一根无限长直导线中流有电流强度为I 的电流，则距导线垂直距离为a 的某点的磁能密度m w = 。

8.6、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为
∑⎰==⋅n i i s
q s d D 1
dt d L d E m L
/Φ-=⋅⎰
0=⋅⎰s
s d B
∑⎰=Φ+=⋅n i D i L
dt d I L d H 1
/
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。

将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。

（1）变化的磁场一定伴随有电场 ； （2）磁感应线是无头无尾的 ；
（3）电荷总伴随有电场 。

8.7、将半径为R 的无限长导线薄壁管（厚度忽略） 沿轴向割去一个宽度为h （h <<R ）的无限长狭缝
后，再沿轴向均匀地流有电流，其面电流密度为i ， 则管轴线上磁感应强度的大小是 。

O /
8.8、有一流过强度I=10A 电流的圆线圈，放在磁感应强度等于0.015T 的匀强磁场中，处于平衡位置。

线圈直径d =12cm 。

使线圈以它的直径为轴转过角2
π
α=
时，外力所必
需作的功A= ，如果转角πα2=，必需作的功A= 。

8.9、一半径r =10cm 的圆形闭合导线回路置于均匀磁场B （B=0.80T ）中，B
与回路平
面正交。

若圆形回路的半径从t =0开始以恒定的速率
s cm dt
dr
/80-=收缩，
则在t =0时刻，闭合回路中感应电动势大小为 ；如要求感应电动势保持这一数值，则闭合回路面
积应以dt
dS
= 的恒定速率收缩。

8.10、如图所示，四根辐条的金属轮子在均匀磁场B
中
转动，转轴与B
平行，轮子和辐条都是导体，辐条长 为R ，轮子转速为n ，则轮子中心a 与轮边缘b 之间
的感应电动势为 ，电势最高点是在
处。

b B
8.11、面积为S 的平面线圈置于磁感应强度为B
的均匀磁场中。

若线圈以匀角速度ω绕
位于线圈平面内且垂直于B 方向的固定轴旋转，在时刻t =0时B
与线圈平面垂直。

则任意时刻t 时通过线圈的磁通量 ，线圈中的感应电动势 。

若均
匀磁场B
是由通有电流I 的线圈所产生，且B=kL （k 为常量），则旋转线圈相对于产生磁场的线圈最大互感系数为 。

8.12、均匀磁场的磁感应强度B
垂直于半径为r 的圆面。

今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 。

8.13、一长直载流导线，沿空间直角坐标的OY 轴放置，电流沿Y 正向。

在原点O 处取一电流元Idl ，则该电流元在（a ，0，0）点处的磁感应强度的大小为 ，方向为 。

8.14、一质点带有电荷q =8.0×10－19 C ，以速度v =3.0×105 s m /在半径为R=6.00×10
－8
m 的圆周上，作匀速圆周运动。

该带电质点在轨道中心所产生的磁感应强度
B= ，该带电质点轨道运动的磁矩m P = ()m H /10470-⨯=πμ
8.15、一电子以速率V=2.20×106 s m /垂直磁力线射入磁感应强度为B=2.36 T 的均匀磁场，则该电子的轨道磁矩为 。

（电子质量为9.11×10－31 kg ），其方向与磁场方向 。

8.16、如图所示，等边三角形的金属框，边长为L ，放在
均匀磁场中，a b 边平行于磁感应强度B
，当金属框绕 a b 边以角速度ω转动时，则b c 边的电动势为 ， c a 边的电动势为 ，金属框内的总电动势 为 。

（规定电动势沿a b c a 绕为正值） b
O
8.17、如图所示，有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形 线圈的中心轴OO /上，则直导线与矩形线圈间的互感系数
为 。

O /
8.18、一无铁芯 的长直螺线管，在保持其半径和总匝数不变的情况下，把螺线管拉长一些，则它自感系数将 。

二. 计算题
8.19、如图6所示，一块半导体样品的体积为c b a ⨯⨯，沿x 方向有电流I ，在z 轴方向
加有均匀磁场B
，实验测得0〉CD U ，求此半导体的载流子浓度？（10分）
图6
8.20、一空心圆柱形导体，内半径为a ，外半径为b ，导体内载有电流I ，设电流均匀分布在导体横截面上，试求空间各点的磁感应强度。

（10分）
8.21、在通有电流I 的长直导线近旁有一导线段ab ，长为L ，离长直导线距离为d （如图所示）。

当它沿平行于长直导线的方向以速度V 平移时，导线段中的感应电动势多大？a ,b 哪端的电势高？（8分）
I
b
8.22、一半径为 R 的无限长半圆形导体管壁（厚度可忽略），沿轴向均匀地通有电流 I 。

求轴线上某点 O 的磁感应强度 B 。

（12分）
8.23、两相互平行的直线电流（其电流方向相反）与金属杆CD 共面，CD 杆的长度为 b ，
相对位置如图。

CD 杆以 v
运动，求 CD 杆中的感应电动势，并判断 C ,D 两端哪端电
势较高？ （12分）
8.24、已知某空间电磁场为m V i E 2=，T k j i B 543++=。

一粒子q=1c ，s m i V /2=在
该空间运动，求F
=？
8.25、如图所示，一无限长载流平板宽度为 a ，线电流密度（即沿 X 方向单位长度上的电流）为 λ ，求与平板共面且距平板一边为 b 的任意点 P 的磁感应强度。

（12分）
a
8.26、如图，一长直导线中通有电流 I ，有一垂直于导线，长度为 L 的金属棒 AB 在
包含导线的平面内，以恒定的速度 v
沿与棒成 θ 角的方向移动，开始时，棒距导线的距离为 a ，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高。

（12分）
I
8.27、一长直电流I 的场中放置一长方形线圈 ，二者共面，线圈一边与长直电流平行（见
图），长方形线圈长与宽分别为b 与a ，以速度v 背离电流I 运动，当运动到线圈左边距离长直电流为d 时，求线圈中感应电动势的大小。

8.28、一U 形金属框置于一均匀磁场中，其磁感应强度为B ，金属框上放一导体棒，棒长为l ，金属框中串联有一电阻R ，当用力F
最大速度等于多少？
8.29、闭合载流导线弯成如图所示的形状，载有电流I ，试求：半圆圆心O 处的磁感应
8.30、在一半径R 的无限长半圆柱形金属薄片中 ，自上而下地有电流I 通过，如图所示，试求圆柱轴线上任一点P
8.31、一根半径为R 的长直圆柱形导体载有电流I ，导体内电流均匀分布。

如图所示。

在圆柱半径和轴/
OO 所确定的平面内有一假想的矩形平面S ，长为L ，宽为R 。

求在何位置时，通过S 的磁通量最大。

F
B R
8.32、长直导线通有电流I 1，长为b 的载流导线I 2，距长直导线的距离为a ，与水平方向成θ角，如图所示，求载流导线I 2所受的安培力。

8.33、如图所示，长直导线通有电流I 1，通有电流为I 2的半圆形载流导线圆心距长直导线I 1的距离为a ，求半圆形载流导线所受的安培力。

8.34、半径为R 1的导线通有电流I ，外面包有一层半径为R 2的相对磁导率为μr 的磁介质，求： 空间H 、B 分布；
8.35、如图9-11所示，在纸面上有一闭合回路，它由半径为1R 、2R 的半圆及在直径上
的二直线段组成，电流为I 。

求c 圆心O 处0B ＝？(2)若小半圆绕AB 转
180，此时O 处0'
B ＝？
第八章 习题答案
一、填空题 8.1、 0；I 0μ- 8.2、 0.226T ；300m A / 8.3、 5×Wb 410-
8.4、 A U >B U ；A U <B U ；A U =B U 8.5、 ()22208/a I πμ 8.6、 ②；③；① 8.7、
R
ih
πμ20 8.8、 1.70×10－3 J ；0 8.9、 0.40V ；－0.5 s m /2 8.10、2BnR π；a
8.11、t BS ωcos ；t BS ωωsin ；kS 8.12、B r 2π 8.13、
204a
Idl
⋅πμ；平行Z 轴负号 8.14、6.67×10－6 T ；7.20×10－21 2m A ⋅ 8.15、9.33×10－19 2m A ⋅；相反 8.16、8/32L B ω；－8/32L B ω；0 8.17、0 8.18、减小 二. 计算题
8.19、解：由 a
IB nq a IB R U H
CD 1== 5‘
得 CD
qaU IB
n =
5‘
8.20、解：由安培环路定理得 1‘
r <a ：021=⋅=⋅⎰r B r d B π
， 01=B 2‘
a <r <
b ：(
)
()
∑⎰--==⋅=⋅2
2220022a b a r I I r B r d B πππμμπ 2
‘
(
)
r
a r a
b I
B 2
22
2022--=
πμ 2‘ r >b ：I r B r d B 032μπ=⋅=⋅⎰
2‘
r
I
B πμ203=
1‘
8.21、解：如图所示
()⎰⎰⎰⎰++-=-=-=⋅⨯==L d d ab d
L d Iv dr r I v vBdr r d B v d ln 2200
πμπμεε
因为ab ε<0 ，所以a 端电势高
I
8.22、解：取d θ 对应长直导线电流θπ
θπd I
Rd R I dI ==
3’ dB=
R
Id R dI 2
0022πθ
μπμ= 对称性, d 0=y B 抵消 4’
θπθ
μθSin R
Id Sin dB dB x 2
02=
⋅= 1’
⎰⎰
=⋅==ππ
πμθθπμ0
02
0202R I
d Sin R
I dB B x 方向沿X 轴 4’
8.23、 解：取坐标OX
X
I
B πμ201=
()a X I B -=πμ202 3’
()
X
I
a X I
B B B πμπμ220012-
-=
-= 3’ ()⎰⎰
++=⎪
⎭⎫
⎝⎛--=
=+b
a b a Iv dX X a X Iv d b
a a
22ln 21120220πμπμεε 4’ 感应电动势方向为C →D, D 端电势较高 2’
8.24、解：
N
)k j i (k j i )]
k j i (i i [)E B V (q F
4528102543221+-=+-=++⨯+∙=+⨯=
8.25、解：取dx 宽无限长载流细条
dI=λdx 3’
dB=
x
dx
x dI πλμπμ2200= 4’ b
b
a x dx dB B
b a b +===∴⎰⎰+ln 2200πλμπλμ 方向垂直纸面向里。

5’
8.26、解：取坐标 1’
θvSin v =⊥ θ
c o s //v v = 1’ ⎰⎰=
=2
1
sin 20x x
i i dx v x I
d θπμεε 4’ θcos 1vt a x += θc o s 2vt l a x ++= 2’
θ
θ
θπμεcos cos ln sin 20vt a vt l a v I i +++⋅=
∴ A 端的电势较高。

4’
8.27、解：载流导线激发的磁场 02I
B x
μπ=
2/
竖窄条面积ds b dx =⋅ 1/
则 02I
d B ds bdx x
μφπ=⋅= 3/
00ln 22x a
x
s
I Ib x a
d bdx x x
μμφφππ++===⎰⎰
2/ 感生电动势 ()()
0022i Iba Iba d dx v dt x x a dt d d a μμφεππ=-==++ 2/
8.28、解：()v B dl vBl ε=⨯⋅=⎰ 5/ 又 I R ε
=
， F IlB =
22FR
v B l
∴= 5/
8.29、解： 闭合导线是由直导线和圆弧线组成，根据载流直导线和圆弧导线产生的磁场公式，可求得各段直线和圆弧线在O 点产生的磁感应强度分别为：
0==CD AB B B
R I B B FA DE ⋅=
=πμsin 240 方向：垂直纸面向外。

R I B EF ⋅⨯
=ππμ4sin 2420方向：垂直纸面向外。

R
R I
B
BCO
42210
0μ⨯=⋂
方向：垂直纸面向里。

)2(4200-=
--=⋂
ππμR I
B B B
B DE EF BCO
方向：垂直纸面向里。

8.30、解： 建立图解坐标系，取宽为ｄＬ的无限长直导线，其通有电流
dl
R I
dI π=
该电流元在Ｏ处产生磁感应强度B d
大小：
θπμπμd R I
R dI dB 20022==
方向：各B d 方向不同。

i
R
I B d R
I B dBcoc dB R I
d R I B dB dB y y x x 20020
200200
cos 2sin 2sin πμθθπμθπμθθπμθππ
-===⇒-=-=-=⇒-=⎰⎰
8.31、解： 以/
OO 为轴的圆环为安培环路，当圆环半径R r <时，有
220r R I l d B ππμ⋅=⋅⎰
可求得
202R Ir
B πμ=
同样，当R r >时，
r I B πμ20=
设矩形平面S 的一边与轴线相距x ，则通过S 的磁通量为
R R x IL x R R
IL Ldr r I Ldr R Ir BdS
S d B R x R R
x ++-=⋅+⋅==⋅=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ln
2)(422022200
2
0πμπμπμπμ
舍去）
或()15(21
)15(210
012202122020R x R x R Rx x R x IL R
ILx dx d +-=-=⇒=-+⇒=+⋅+-⇒=Φ
πμπμ
故当R x )15(21
-=
时，磁通量有最大值。

8.32、解： 在距O 为l 处取电流元l d I 2，l d I 2受力如图所示，1I 在l d I
2处所产生的磁场B 为：
大小：
)cos (21
0θπμl a I B +=
方向：垂直纸面向里。

电流元l d I 2所受的安培力F d 大小：
)cos (21
02θπμl a I dl I dF +⋅
=
方向：各F d
所受的安培力方向相同。

a
b a I I l a l a d I I l a I dl I F b b
θθπμθθθπμθπμcos ln cos 2cos )cos (cos 2)
cos (221002100
1
02+=++=
+⋅
=⎰⎰
8.33、解：建立图示坐标系，在圆形导线上取电流元l d I 2，1I 在l d I 2所产生的B
为：
大小：
)cos (21
0θπμR a I B +=
I 1
方向：垂直纸面向里。

电流元l d I 2所受的安培力F d 大小：
)cos (21
02θπμR a I dl I dF +⋅
=
方向：各F d 所受的安培力方向不同，正交分解：
θ
θsin ,cos dF dF dF dF y x ==
)1(2cos cos 2cos )cos (22221002100
1
02R a a
I I R a d R I I R a I dl I F b x +-=+=
+⋅
=⎰⎰πμθθθπμθθπμπ
R a R a I I R a d R I I R a I dl I F b y -+=+=+⋅=⎰⎰ln
2cos sin 2sin )cos (2210021001
02πμθθθπμθ
θπμπ
8.34、解：由安培环路定理：∑⎰=⋅0
I l d H l
)
0(,12210R r r R I
I ≤≤=∑π 当)(21R r R ≤≤或)(2R r >时，I I =∑0
磁场强度分布：
)
0(,212
1R r R Ir
H ≤≤=π
)
(,221R r R r I
H ≤≤=π
)
(,22R r r I
H >=π
磁感应强度分布：当10R r ≤≤或2R r >时H B 0μ=；当21R r R ≤≤时H B r 00μμ=，可得
)0(,212
10R r R Ir
B ≤≤=
πμ
)
(,2210R r R r I
B r ≤≤=πμμ )
(,220R r r I
B >=πμ
8.35、解：由磁场的迭加性知，任一点B
是由二半圆及直线段部分在该点产生的磁感应
强度矢量和。

此题中，因为O 在直线段沿长线上，故直线段在O 处不产生磁场。

(1)0B
＝？
小线圈在O 处产生的磁场大小为：1
00221R I
B μ=
小（每长度相等的圆弧在O
处产生的
磁场大小相同）； 方向：垂直纸面向外。

大线圈在O 处产生的磁场大小为：2
00221R I
B μ=大； 方向：垂直纸面向里。

]11
[421
0000R R I B B B -
=
-=⇒μ大小
方向：垂直纸面向外。

(2)0'
B ,可知
⎩⎨⎧==大大小小0'
00'0
B B B B ，
小0'B 、大0'
B 均垂直纸面向里。

]1
1
[42
1
000'0R R I B B B +
=
+==>μ’
大‘小 方向：垂直纸面向里。