初中数学_方程与函数——交点问题教学设计学情分析教材分析课后反思

课题
中考一轮复习
方程与函数----交点问题
授课日期
课型复习课授课教师
教学目标1、理解函数和方程之间的关系，能将函数的图象信息和方程的代数信息相互转化，解决函数的交点问题。

2、能建立函数模型和方程模型解决实际问题，在实际问题中应用体会函数与方程的内在联系。

3、体会数形结合思想的优越性，能运用数形结合思想帮助解决问题。

教学重点运用函数和方程知识解决交点问题，建立数学模型解决实际问题。

教学难点理解方程和函数的关系。

教法学法启发引导合作探究
教学设计教学过程师生活动设计意
图
知识回顾我们学过哪些函数？它们的表达式是什么?
共同回忆
唤起记
忆，使
学生进
入状
态，便
与复习
典例分析（一）一次函数和一次方程
1、一次函数y=2x-6与y轴的交点坐标A ,与 x轴的
交点坐标B ，
它还经过点（，- 4）
2、一次函数y=kx+b的图象如图，则方程kx+b=0的解是。

这个一次函数表达式是
3、在同一直角坐标系中，两个一次函数的图象如图所示，则
这两个函数图象的交点坐标P是
学生动笔
计算，独
立完成，
然后全班
交流，并
说明方法
引导学生
总结：如
何求函数
图象与坐
标轴的交
点坐标？
引导学生
总结如何
通过典
型题的
练习、
回顾，
让学生
感受方
程和函
数之间
的联
系，并
总结有
关交点
问题的
解题方
法，感
受数形
结合的
优越性
（二）二次函数与二次方程 1、抛物线 y=(x-1)2
-4的顶点坐标是 ，与y 轴的交点是 ，与x 轴的交点是 2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则方程 ax 2
+bx+c=0的解是 . 此时，b 2
-4ac____0
3、如图，二次函数 y= -x 2
+c 与正比例函数 y =3x 的图象交于两点，则关于x 的一元二次方程 -x 2
+c=3x 的解是 (三)中考链接 已知二次函数y=3x 2
+c 与正比例函数y =4x 的图象只有一个交点，则c 的值为 。

求两个函数图象的交点坐标， 联立组成方程组或让函数值相等，从
而化为二
元一次方
程组或一元一次方程解决问
题
学生独立完成，教师提问，引导学生说明解题方法
请学生到黑板讲解
让学生感受二次函数和二次方程的联系
中考链接的题目既是为了巩固所讲
学生独立完成，全班交流作法内容，同时也检测一下学生的掌握情况
建立数学模型解决实际问题
1、甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲
让乙先跑10米，甲再起跑．图中l1和l2分别表示甲、
乙两人跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间
的函数关系，其中l1的关系式为y
1
=8x，问甲追上乙用
了多长时间？
（2、3题选做一道）
2、工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，
即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过
8分时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x
（分）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（分）
成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式
（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那
么锻造的操作时间有多长？
学生动笔
完成，一
名学生扮
演并讲解
2、3题由
学生根据
学习情况
选做其中
一道
教师先引
导学生分
析题意，
交流做题
方法，然
后独立完
成，小组
交流，全
班交流，
一名同学
扮演。

让学生
在实际
问题中
感受方
程和函
数的关
系，能
够建立
适当的
函数模
型和方
程模型
解决问
题
3、中考链接
如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按
照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用
y=ax2+bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到
地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别
为m，m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地
面的距离
（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个
这样的抛物线型图案？
感悟与
收获
1、在本节课的学习过程中你复习了哪些知识解决问题？
2. 在解决问题的过程中你应用了哪些数学方法？
学生总结
本节课的
收获
进行知
识的再
梳理，
总结解
题方法
和思路作
业
布
置
A组《升学指导》26页1、2、3、4
B组《升学指导》26页1、2、3、4 29页3、4
作业分
层布
置，满
足不同
学生学
习需要
3
4
1
2
3
2
学生经过前面的学习和复习，对方程和函数知识已经有了比较深的了解，掌握了解决方程和函数问题的基本方法、基本思路。

但函数一直是学生比较难理解和掌握的知识之一，方程与函数的联系有很多学生也是一知半解。

但九年级学生思维水平已经到了一定的高度，数学思想、方法的应用也有了一定的基础，况且方程与函数的知识是中考必考内容，这些都为本节课的学习奠定了基础。

“情境引入”这一环节中，借用数学家华罗庚的一首诗成功引起了学生学习的兴趣，调动了学生的学习积极性，接着学生回顾了学过的函数及表达式，使学生迅速进入学习状态。

“典例分析”这一环节中，学生对于如何求函数图象与坐标轴的交点坐标，如何求两个函数图象的交点坐标理解到位，准确率高。

但对于如何根据函数图象求方程的解这一知识点，学生普遍不是很理解。

通过让学生讲解、小组讨论、全班交流、教师点拨这些教学方法和手段，绝大多数学生掌握了这一知识点，有效地解决了第一道中考链接习题。

“构建数学模型解决实际问题”这一环节中，学生能够将题目的代数信息和函数的图象信息相互转化，培养了学生数学建模能力和数形结合思想的运用。

中考链接题的再次出现，既巩固了学生本节课所复习的知识内容，又满足了优生的学习需求。

“知识小结”这一环节让学生再次梳理了方程和函数有关知识，再次感受方程与函数的联系，完善了学生的认知体系。

方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，函数是描述现实世界
变量关系的重要模型，二者之间是可以相互转化的。

方程与函数是中考的考点之一，且占的比重很大。

本节课是中考一轮复习内容，基于对教材的分析、整合，本着重视基础知识、基本技能、基本方法的原则，我确定了如下教学目标：
知识与技能目标：
1、理解函数和方程之间的关系，能将函数的图像信息和方程的代数信息相互转化，解决函数的交点问题。

2、能建立函数模型和方程模型解决实际问题，在实际问题中应用体会函数与方程的内在联系。

过程与方法目标：
体会数形结合思想的优越性，能运用数形结合思想帮助解决问题。

情感态度与价值观目标：
通过小组合作学习，培养合作意识。

教学重点：运用函数和方程知识解决交点问题，建立数学模型解决实际问题。

教学难点：理解方程和函数的关系。

（一）一次函数和一次方程
1、一次函数y=2x-6与y轴的交点坐标A ,与 x轴的交点坐标B ，
它还经过点（，- 4）
第1题 第2题
2、一次函数y=kx+b 的图象如图，则方程kx+b=0的解是 。

这个一次函数表达式是
3、在同一直角坐标系中，两个一次函数的图象如图所示，则这两个函数图象的交点坐标P 是
（二）二次函数与二次方程
1、抛物线 y=(x-1)2
-4的顶点坐标是 ，与y 轴的交点是 ，与x 轴的交点是
2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则方程 ax 2
+bx+c=0的解是 . 此时，b 2
-4ac____0
第2题 第3题
3、如图，二次函数 y= -x 2
+c 与正比例函数 y =3x 的图象交于两点，则关于x 的一元二次方程 -x 2
+c=3x 的解是 (三)中考链接
已知二次函数y=3x 2
+c 与正比例函数y =4x 的图象只有一个交点，则c 的值为 。

三、建立数学模型解决实际问题
1、甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l 1和l 2分别表示甲、乙两人跑步的路程y （m ）与甲跑步的时间x （s ）之间的函数关系，其中l 1的关系式为y 1=8x ，问甲追上乙用了多长时间？
（2、3题选做）
2、工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8分时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y （℃）与时间x （分）成一次函数关系；锻造时，温度y （℃）与时间x （分）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式
（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
3、中考链接
如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用 y=ax 2+bx （a ≠0） 表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为 m ，
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到墙边OA的距离分别为m，m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离
（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？
函数和方程是初中“数与代数”部分比较重要的两大知识体系，是升入高中后继续学习的基础，在中考中也占据了相当大的比重。

函数和方程的联系也是数形结合思想的重要体现。

本节课，我选取了函数和方程最典型的联系之一——交点问题来作为教学内容，让学生通过解相应方程求函数图象的交点问题，以及利用函数图象帮助求方程的解，来感受方程和函数的联系。

因为是中考一轮复习，所以应重视基础知识、基本技能、基本方法的训练。

我的教学设计层层递进，题目由易到难，紧扣本节课要解决的主题，涉及的知识面较广，我对教材做了有机的整合。

整节课，我注意及时引导学生总结解题方法，形成认知体系，整体教学效果比较好。

但也有一些细节处理的不太好，如在最后的环节由于时间原因，处理的有点仓促，没有给学生消化吸收的时间。

方程与函数是初中“数与代数”部分的两大知识体系，是初中数学学习的重要内容之一，在中考中也占据了很大的比重。

方程与函数虽然是两个不同的概念，但它们是相辅相成，可以互相转化的。

我们既可以将某些函数问题化归为方程问题来解决，也可以利用函数的图象、性质帮助解决方程问题。

《数学课程标准》指出，一些知识之间存在着实质性的联系，这种联系体现在相同的内容领域，也体现在不同的内容领域。

如在“数与代数”领域内，函数、方程、不等式之间均存在着实质性联系。

教材作为出发点，作为素材来呈现，要创造性的开发、使用教材。

方程与函数最典型的联系之一就是函数的交点问题，因此，本节课从这方面入手，使学生体会方程和函数的内在联系，培养数学建模能力，感受数形结合思想的优越性。