最新九年级中考数学复习：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)

2023年九年级中考数学复习：二次函数综合压轴题（相似三
角形问题）
1．已知抛物线OPE 与x 轴的交点为点O 、点E 且4OE =，点A 是抛物线OPE 的一个动点(不与点O 、E 重合)，作AB x ⊥轴于点B ，线段AB 的最大值是4PM =．
(1)求抛物线OPE 的解析式．
(2)当点A 运动到什么位置时，图中的矩形ABCD 是正方形？并求出点A 的坐标． (3)是否在此抛物线上存在点A 使得ABO 与PMO △相似？若存在，请求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．
(1)直接写出抛物线的函数关系式 ； (2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；
(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，
请求出m的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值．
3．如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设M为该抛物线上直线BC下方一点，过点M作x轴的垂线，交线段BC于点N，线段MN是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；
(3)连接CE（如图2），设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接PE，请求出当⊥PQE与⊥COE相似时点P的横坐标．
4．如图，已知抛物线：2
2
y x bx c与x轴交于点A，(2,0)
B（A在B的左侧），与
y轴交于点C，对称轴是直线
1
2
x ，P是第一象限内抛物线上的任一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为线段OC的中点，则POD能否是等边三角形？请说明理由；
(3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三
角形与BMH 相似，求点P 的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -，()0,4B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．
(1)求a ，c 的值；
(2)经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且BDO △与OCE △的面积相等，求直线DE 的解析式；
(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点
F ，
G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F
的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线y =1
2x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物
线y =−1
2
x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，
⊥连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，求
DE
EB
的最大值； ⊥过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的⊥DCF ＝2⊥BAC ，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）与x 轴交于A (−1，0)、B (4，0)，交y 轴于点C (0，−2)，顶点为P ．
(1)求抛物线1C 对应的函数表达式；
(2)抛物线2C ：()
2
y m ax bx c =++（m 为常数且0m ≠）的顶点为Q ，
⊥当AQ CQ +的值最小时，点Q 的坐标为________； ⊥连接AC 、AQ ，若2BAQ ACO ∠=∠，求点Q 的坐标；
⊥抛物线C 1上有一个点M ，且位于第一象限，若△PQM 与△ABC 相似，求点Q 的坐标．
8．抛物线23y ax bx =++过点(1,0)A -，点(3,0)B ，顶点为C ．
(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；
(2)如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若DAC △是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作PEF CAB ∠=∠，边EF 交x 轴于点F ： ⊥求证：⋅=⋅AF CP AE CE
⊥AF 的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ＝6OA ＝6，点P 是第一象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC 与OP ，交于点D ，当PD ：OD 的值最大时，求点P 的坐标；
(3)点P 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点P 、点N ．使⊥CPN ＝90°，且△CPN 与△BOC 相似，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．
10．综合与探究
如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，C ，与x 轴的另一交点为A ，顶点为D ．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
(2)连接CD，BD，求点D到BC的距离h．
(3)P为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使得PDQ与BOC相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
--与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M 11．如图所示，抛物线2
y x x
=23
为抛物线的顶点．
(1)求点C及顶点M的坐标．
(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求BCN
△面积的最大值．(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于(),3,0A B 两点，交y 轴于点()0,3C
(1)求抛物线解析式及A 点坐标；
(2)将抛物线2y x bx c =++向上平移3个单位长度，再向左平移()0m m >个单位长度，若新抛物线的顶点在ABC 内，求m 的取值范围；
(3)点P 为抛物线上一个动点，若ACB BAP ∠=∠，直接写出点P 的坐标．
13．如图，抛物线212
y x bx c =
++与直线1
32y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线
与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知A （0，3），C （﹣3，0），点B 的纵坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB －MC |的值最大，求出M 点的坐标； (3)点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接P A ，过点P 作PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与⊥ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线2(0,0)y ax c a c =+>>，抛物线交y 轴于点C ，直线AB 与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0)D d ，．
(1)若4d =，点(13)
A -，，且满足2BD AD =，求点
B 的坐标； (2)在（1）的条件下，作BE x ⊥轴，交x 轴于E ，试说明A 、
C 、E 在同一条直线上； (3)过点B 作BE x ⊥轴，交x 轴于E ，若A 、C 、E 始终在同一条直线上，求d 、c 之间满足的数量关系．
15．如图1，已知二次函数()2
416133
y x =-
++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．
(1)求点A ，点C 的坐标；
(2)如图2，连结AC ，DC ，过点C 作CE AB ∥交抛物线于点E ．求证：⊥DCE ＝⊥CAO ； (3)如图3，在（2）的条件下，连结BC ，在射线EC 上有点P ，使以点D ，E ，P 为顶点的三角形与⊥ABC 相似，求EP 的长．
16．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，一2）三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与⊥OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线上有一点D（不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC，请直接写出点D的坐标．
17．如图所示，抛物线2
=++经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于
y x bx c
点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN，CN．求⊥BCN面积的最大值及此时点N的坐标；
(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与⊥ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线1C 的顶点坐标是()1,4D ，且经过点()2,3C ，又与x 轴交于点A 、(E 点A 在点E 左边)，与y 轴交于点B ．
(1)抛物线1C 的表达式是______ ； (2)四边形ABDE 的面积等于______ ；
(3)问：AOB 与DBE 相似吗？并说明你的理由；
(4)设抛物线1C 的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线2C 经过点2(E C 与1C 不重合)，且顶点为(),M a b ，对称轴与x 轴交于点G ，并且以M 、G 、E 为顶点的三角形与以点
D 、
E 、
F 为顶点的三角形全等，求a 、b 的值．(只需写出结果，不必写解答过程)．
参考答案：
1．(1)24y x x =-+
(2)A 的坐标为()
32 (3)存在，（2，4）或7724⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
2．(1)222433
y x x =-++ (2)22655
PN m m =-+ (3)存在，74
125
3．(1)224233
y x x =-- (2)线段MN 存在最大值，最大值为32
(3)点P 的横坐标为5或2
4．(1)2224y x x =-++
(2)不能， (3)(1,4)或者(335,48
)
5．(1)12
a =-，4c = (2)23
y x =-
(3)存在这样的点F ，点F 的坐标为(2,0)或 6．(1)213222
y x x =--+ (2)⊥45
；⊥存在，D （-2，3）
7．(1)213222
y x x =-- (2)⊥Q (32，-54)；⊥Q 的坐标为(32，103)或(32，103
-)；⊥Q 的坐标为(32，398)或(32，558)．
8．(1)223y x x =-++，顶点C (1，4)
(2)P (73，209
)
(3)⊥证明见解析；⊥当x =AF 有最大值94
9．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6
(2)点P 的坐标为315(,)22
(3)存在，点P 的坐标分别为(3，0)或(1，8)或939(,)48或755(,)48
10．(1)223y x x =-++，顶点D (1，4)
(2)h =(3)Q （0，3）或（2，3）
11．(1)C 点坐标为（0，-3），顶点M 的坐标为（1，-4）； (2)278
(3)P 点的坐标为39(,)44
--或（-1，-2）．
12．(1)抛物线的解析式为243y x x =-+，1,0A (2)513
m << (3)75,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
13．(1)215322
y x x =++
(2)5122M ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， (3)存在，点P （1，6）
14．(1)B （2,6）；
(2)见详解；
(3)2d c =，
15．(1)()30A -,
，()0,4C (3)43或2512
16．(1)215222
y x x =-+- (2)P （2，1）；
(3)点D 的坐标为（3.32
）
17．(1)2=23y x x --
(2)BCN S 有最大值为278，此时N 的坐标为(315,24
-) (3)存在，P 点的坐标为39(,)44
--或(1,2)--
18．(1)y ＝﹣x 2+2x +3
(2)9
(3)相似，
(4)11
54a b =⎧⎨=⎩，2254a b =⎧⎨=-⎩，3314a b =⎧⎨=-⎩，4472a b =⎧⎨=⎩，5572a b =⎧⎨=-⎩，6612a b =-⎧⎨=⎩，7712a b =-⎧⎨=-⎩．。