2021年新高考数学选择填空专项练习题一(附答案解析)

2021年新高考数学选择填空专项练习题一
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－3＜x＜1}，则∁U(A∪B)＝() A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＞－3}
C．{x|x≤0或x≥1} D．{x|x≤－3}
D[全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－3＜x＜1}，∴A∪B＝{x|x＞－3}，
∴∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}，故选D.]
2．已知复数z＝
4
－1－i
，则复数z在复平面内对应点的坐标为()
A．(－2，－2) B．(－2,2) C．(2,2) D．(2，－2)
B[z＝
4
－1－i
＝－
4
1＋i
＝－
4(1－i)
(1＋i)(1－i)
＝－
4－4i
2＝－2＋2i，对应点的坐标
为(－2，2)，故选B.]
3．若双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x－3y＋1＝0垂直，
则该双曲线的离心率为()
A．2 B. 5 C.10 D．2 3
C[∵双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x－3y＋1＝0垂直．
∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴b
a＝3，得b
2＝9a2，c2－a2＝9a2，此时，
离心率e＝c
a＝10.故选C.]
4．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，…，x100，它们的平均数为x，方差为s2；其中扫码支付使用的人数分别为3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2，它们的平均数为x′，方差为s′2，则x′，s′2分别为()
A ．3x ＋2,3s 2＋2
B ．3x ，3s 2
C ．3x ＋2,9s 2
D ．3x ＋2,9s 2＋2
C [∵数据x 1，x 2，…，x 100的平均数为x ，方差为s 2，
根据平均数及方差的性质可知，3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x 100＋2，它们的平均数x ′＝3x ＋2，方差s ′2＝9s 2，故选C.]
5．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 的中点，则三棱锥A -BC 1M 的体积VA -BC 1M ＝( )
A.12
B.14
C.16
D.112
C [VA -BC 1M ＝VC 1-ABM ＝13S △ABM ·C 1C ＝13×12AB ×A
D ×C 1C ＝1
6.故选C.] 6．已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 2＋b 3＋b 4＝9，则a 5＝( )
A ．8
B ．16
C ．32
D ．64
C [设等比数列{a n }的公比为q ，首项a 1＝2， ∴a n ＝2q n －1，∴b n ＝log 2a n ＝1＋(n －1)log 2q ， ∴数列{b n }为等差数列． ∵b 2＋b 3＋b 4＝9， ∴3b 3＝9，
解得b 3＝3.∴a 3＝23＝8.
∴2×q 2＝8，解得q 2＝4.∴a 5＝2×42＝32.故选C.]
7．已知x ＝1
e 为函数
f (x )＝x ln(ax )＋1的极值点，则a ＝( )
A.12 B ．1 C.1
e D ．2
B [f ′(x )＝ln(ax )＋1，∵x ＝1
e 为函数
f (x )＝x ln(ax )＋1的极值点， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ·1e ＋1＝0，解得a ＝1，经验证a ＝1时，x ＝
1e 为函数f (x )＝x ln(ax )＋1的极值点，故选B.]
8．(2019·全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 2
5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )
A.32
B.52
C.72
D.92
B [由F 是双曲线x 24－y 2
5＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3. 不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0＞0，y 0＞0，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 20＋y 20＝3，x 204－y 20
5
＝1，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 20＝569，
y 20＝259，
所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2143
，53，
所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝5
2.故选B.]
9．已知x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的值域为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12 B ．(0,22) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，2 D.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤1，32 D [由f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ， 设sin x ＝t ，∵x ∈(0，π)， ∴t ∈(0,1]．
∴g (t )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122
＋3
2，
∴g (t )∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤1，32.
即f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的值域为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1，32 .故选D.]
10.某市召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．设其中直角三角形中较小的锐角为θ，且tan 2θ＝4
3，如果在弦图内随机抛掷1 000
粒黑芝麻(大小差别忽略不计)，则落在小正方形内的黑芝麻数大约为( )
A ．350
B ．300
C ．250
D ．200
D[由tan 2θ＝4
3，得
2tan θ
1－tan2θ
＝
4
3，解得tan θ＝
1
2.设大
正方形为ABCD，小正方形为EFGH，如图，
则tan θ＝BF
AF＝
1
2，
设小正方形边长为a，则AF－a
AF＝
1
2，即AF＝2a，
∴大正方形边长为5a，则小正方形与大正方形面积比为a2
5a2＝1
5.∴在弦图内
随机抛掷1 000粒黑芝麻，则落在小正方形内的黑芝麻数大约为1 000×1
5＝200.
故选D.]
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2 018＞0，S2 019＜0，则下列说法正确的是()
A．S1 009最大B．|a1 009|＞|a1 010|
C．a1 010＞0 D．S2 018＋S2 019＜0
ABD[∵S2 018＞0，S2 019＜0，
∴2 018(a1＋a2 018)
2＞0，
2 019(a1＋a2 019)
2＝2 019a1 010＜0，∴a1 009＋a1 010＞0，
a1 010＜0，可得a1 009＞0，a1 010＜0，|a1 009|＞|a1 010|，故A，B都正确，C错误；由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为a1 010，故D正确，故选ABD.]
12．已知函数g(x)＝(e2x－1)x2
e x，若实数m满足g(log5m)－g(log1
5
m)≤2g(2)，
则()
A．g(x)是奇函数
B．g(x)是(0，＋∞)上的增函数
C．实数m的取值范围为(0,25]
D．实数m的取值范围为[5,25]
ABC [∵g (x )＝(e 2x －1)x 2
e x
＝x 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫e x －1e x ，
∴g (－x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e x －e x ＝－g (x )，
∴g (x )为奇函数．
由g (log 5m )－g (log 15
m )≤2g (2)得g (log 5m )≤g (2)．
又当x ＞0时，y ＝x 2
＞0，y ＝e x
－1
e
x ＞0，且在(0，＋∞)上均为增函数，故g (x )
在(0，＋∞)上为增函数，
又g (x )为奇函数，所以g (x )在R 上为增函数，
所以g (log 5m )≤g (2)转化为log 5m ≤2，解得0＜m ≤25，故选ABC.] 13.如图，一张矩形白纸ABCD 中，AB ＝10，AD ＝102，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，现分别将△ABE ，△CDF 沿BE ，DF 折起，且A 、C 在平面BFDE 同侧，则下列命题正确的序号有( )
①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE ； ②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE ∥CD ； ③当A 、C 重合于点P 时，PG ⊥PD ；
④当A 、C 重合于点P 时，三棱锥P -DEF 的外接球的表面积为150π. A ．① B ．② C ．③ D ．④
AD [在△ABE 中，tan ∠ABE ＝22，在△ACD 中，tan ∠CAD ＝2
2，所以∠ABE ＝∠DAC ，由题意，将△ABE ，△DCF 沿BE ，DF 折起，且A ，C 在平面BEDF 同侧，此时A 、C 、G 、H 四点在同一平面内，平面ABE ∩平面AGHC ＝AG ，平面CDF ∩平面AGHC ＝CH ，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG ∥CH ，显然AG ＝CH ，所以四边形AGHC 为平行四边形，所以AC ∥GH ，进而可得AC ∥平面BFDE ，故①正确；由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，所以AE 与CD 不平行，故②不正确；当A 、C 重合于点P 时，可得PG ＝103
3，PD ＝10，
又GD ＝10，
∴PG 2＋PD 2≠GD 2，所以PG 与PD 不垂直，故③不正确；当A ，C 重合于点P 时，在三棱锥P -DEF 中，△EFD 与△FCD 均为直角三角形，所以DF 为三棱锥P -DEF 的外接球的直径，即R ＝DF 2＝56
2，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝
⎛⎭
⎪⎫
5622
＝150π，故④正确．综上，正确命题的序号为①④，故选AD.] 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
14．已知m ＞0，若(1＋mx )5的展开式中x 2的系数比x 的系数大30，则m ＝________.
2 [∵m ＞0，若(1＋mx )5的展开式中x 2的系数比x 的系数大30，∴C 25m 2
－
C 15
m ＝30，求得m ＝－32(舍去)，或m ＝2.]
15．已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则a ·b ＝________，a ＋b 在b 方向上的投影为________．
－12 12 [∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝120°，∴a ·b ＝－12，b 2＝1. ∴(a ＋b )·b ＝a·b ＋b 2＝12. ∴a ＋b 在b 方向上的投影为： |a ＋b |cos 〈a ＋b ，b 〉＝|a ＋b |
(a ＋b )·b |a ＋b ||b |＝1
2
.]
16．已知函数f (x )＝ax 2－1的图象在点A (1，f (1))处的切线与直线x ＋8y ＝0
垂直，若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S n ＝________.
n
2n ＋1 [函数f (x )＝ax 2－1的导数为f ′(x )＝2ax ，可得f (x )在x ＝1处的切线斜率为2a ，
切线与直线x ＋8y ＝0垂直，可得2a ＝8，即a ＝4， 则f (x )＝4x 2－1，
1f (n )＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1，
可得S n ＝121－13＋13－1
5＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1
.] 17.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝3，点M 在棱CC 1上，当MD 1＋MA 取得最小值时，MD 1⊥MA ，则棱CC 1的长为________．
32
2 [∵AB ＝1，BC ＝3，∴AC ＝2，
延长DC 到N 使得CN ＝AC ＝2，则MA ＝MN ，
设CC 1＝h ，连接D 1N 交CC 1于M ′，则MD 1＋MA 的最小值为D 1N ＝h 2＋9. ∵M ′C DD 1＝CN DN ＝23，∴CM ′＝2h 3，C 1M ′＝h 3.
∴D 1M ′＝
D 1C 21＋C 1M ′2
＝
1＋h 2
9，AM ′＝4＋4h 2
9，
又AD 1＝3＋h 2，M ′A ⊥M ′D 1，
∴AD 2
1＝M ′A 2＋M ′D 21，即
3＋h 2
＝1＋h 29＋4＋4h 2
9，
解得h ＝32
2. ]。