2021-2022学年广东省佛山市顺德区高三(上)质检数学试卷(一)(10月份)(学生版+解析版)

2021-2022学年广东省佛山市顺德区高三（上）质检数学试卷（一）
（10月份）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合2{|20}A x Z x x =∈--，{|1}B x x =<，则(A B = )
A ．(1,1)-
B ．{1-，0}
C ．[1-，2]
D ．{1-，0，1，2}
2．（5分）已知i 为虚数单位，复数112i
z i
+=
+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（5分）cos1875(︒= ) A ．
62
2
- B ．
26
4
+ C ．
26
4
- D ．
62
4
- 4．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S kn n =+，511a =，则k 的值为( ) A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1-
5．（5分）已知函数21()(1)f x ln x x x
=+-+，则函数()f x 的大致图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2
2
EF =
，则三棱锥A BEF -的体积为( )
A ．
112
B ．
14
C 2
D ．不确定
7．（5分）已知正实数a ，b 满足12
1a b
+=，则23ab a b --的最小值为( ) A ．22B ．322+C ．6 D ．无最小值
8．（5分）已知函数()3sin()(0f x x ωϕω=+>，||
)2π
ϕ，且有()()03
f x f x π
+-=，
()()33
f x f x ππ
+=-，则()f x 在区间(0,4)π内至少有( )个零点．
A ．4
B ．8
C ．10
D ．12
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）下列说法正确的是( )
A ．命题：(1x ∀∈-，1]，2230x x +-<的否定是：(1x ∃∈-，1]，2230x x +-
B ．26
k π
απ=
+，k Z ∈是1
sin 2
α=
的充要条件
C ．1a >是
1
1a
<的充分非必要条件
D ．[2a ∈-，2]是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的充分非必要条件
10．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，设过点E ，F ，1D 的平面为α，则下列说法正确的是( )
A ．1EFD ∆为等边三角形
B ．平面α交正方体1111ABCD A B
C
D -的截面为五边形
C ．在正方体1111ABC
D A B C D -中，存在棱与平面α平行 D ．在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面α垂直
11．（5分）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，设BC 边上的中点为M ，ABC ∆的面积为S ，其中23a =，2224b c +=，下列选项正确的是( ) A ．若3
A π
=
，则33S = B ．S 的最大值为33
C ．3AM =
D ．角A 的最小值为
3
π
12．（5分）如图，已知圆锥OP 的底面半径3r =，侧面积为23π，内切球的球心为1O ，外接球的球心为2O ，则下列说法正确的是( )
A ．外接球2O 的表面积为16π
B ．设内切球1O 的半径为1r ，外接球2O 的半径为2r ，则213r r =
C ．过点P 作平面α截圆锥OP 3
D ．设长方体1AC 为圆锥OP 的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为89
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分． 13．（5分）已知函数141,0
(),0
x lnx x f x e x -->⎧=⎨⎩，则((2))f f -= ．
14．（5分）已知向量(1,1)a =-，(2,3)b =，(2)a a kb ⊥+，则实数k 的值为 ． 15．（5分）已知数列{}n a ，11a =，22a =，且22(1)n n n a a +=+⨯-，则数列{}n a 的前100项
的和为 ．
16．（5分）已知函数2
2
()22x x x f x axe e
-=++，当a =()f x 的零点个数为 ；
若函数()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<
．从下面的两个条件中任选其中
一个：①2()2sin cos 1f x x x x =-++；②若1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为
4
π
，(0)1f =，求解下列问题： （Ⅰ）化简()f x 的表达式并求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）已知α，(6πβ∈，)2
π
，()f α=，sin()αβ-=，求cos β的值．
18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，sin()sin sin A B C B -=-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，5c =． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求线段AD 的长．
19．（12分）已知数列{}n a ，{}n b 的各项均为正数．在等差数列{}n a 中，69133a a a +=+，
2
25a a =；在数列{}n b 中，11b =，22
11320n n n n b b b b +++-=．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ．
20．（12分）已知函数32()f x ax bx cx d =+++的两个极值点为1-，2，且在0x =处的切线方程为210x y +-=． （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；
（Ⅱ）当1[3x ∈-，3]时，5
()6
f x kx >+恒成立，求实数k 的取值范围．
21．（12分）某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，
AE AF =BE DF ==．将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E ，F ，M ，
N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
（Ⅰ）证明：PA ⊥底面ABCD ；
（Ⅱ）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --的正弦值为21
14
，试求PC 与平面PAT 所成角的正弦值.
22．（12分）设函数1
()f x x alnx x
=
-+． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）对任意正实数1x ，2x ，当122x x +=时，试判断12()()f x f x +与21
(2)2
a --的大小关
系并证明．
2021-2022学年广东省佛山市顺德区高三（上）质检数学试卷（一）
（10月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合2{|20}A x Z x x =∈--，{|1}B x x =<，则(A B = )
A ．(1,1)-
B ．{1-，0}
C ．[1-，2]
D ．{1-，0，1，2}
【解答】解：集合2{|20}{|12}{1A x Z x x x Z x =∈--=∈-=-，0，1，2}，
{|1}B x x =<，
{1A
B ∴=-，0}．
故选：B ．
2．（5分）已知i 为虚数单位，复数112i
z i
+=
+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：
1(1)(12)12231
12(12)(12)555
i i i i i z i i i i ++--++=
===-+-+， ∴31
55
z i =
+， z ∴的共轭复数z 在复平面内对应的点31(,)55
，位于第一象限．
故选：A ．
3．（5分）cos1875(︒= )
A B C D 【解答】解：cos1875cos(536075)cos75︒=⨯︒+︒=︒，
cos75cos(3045)cos30cos45sin30sin 45︒=︒+︒=︒︒-︒︒
12=-
=
， 故选：D ．
4．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S kn n =+，511a =，则k 的值为( ) A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1-
【解答】解：根据题意554(2510)(168)9211a S S k k k =-=+-+=+=， 解得1k =． 故选：C ．
5．（5分）已知函数21()(1)f x ln x x x
=+-+，则函数()f x 的大致图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：函数()f x 为奇函数，故选项A ，C 错误； 因为1171
()404f -=>，故选项B 正确，选项D 错误．
故选：B ．
6．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且
2
2
EF =
，则三棱锥A BEF -的体积为( )
A ．
112
B ．
14
C ．
212
D ．不确定
【解答】解：因为11//B D 平面ABCD ， 又E ，F 在直线11D B 上运动， 所以//EF 平面ABCD ，
因为点B 到平面11B D 的距离不变，且2EF =
所以11122
122BEF S EF BB ∆=⨯⨯==
因为点A 到平面BEF 的距离为
2
2
， 所以121221
3312
A BEF BEF V S -∆=⨯==．
故选：A ．
7．（5分）已知正实数a ，b 满足12
1a b
+=，则23ab a b --的最小值为( ) A ．22B ．322+C ．6 D ．无最小值
【解答】解：由
121a b +=，得21b a ab
+=，即2ab a b =+， 所以122223423()()332322b a b a
ab a b a b a b a b a b a b a b a b
--=+--=+=++=+++⋅=+，
当且仅当
2b a
a b
=，即2b a 时等号成立， 所以23ab a b --的最小值为322+ 故选：B ．
8．（5分）已知函数()3sin()(0f x x ωϕω=+>，||
)2π
ϕ，且有()()03
f x f x π
+-=，
()()33
f x f x ππ
+=-，则()f x 在区间(0,4)π内至少有( )个零点．
A ．4
B ．8
C ．10
D ．12
【解答】解：由题意()()33
f x f x ππ
+=-，
则()f x 关于3
x π
=对称，
所以1()3
2
k k Z π
π
ωϕπ⨯
+=+
∈，①
由()()03f x f x π
+-=，
得()()3f x f x π
=--，
所以()f x 关于(6
π
，0)对称， 所以
26
k πω
ϕπ+=，2k Z ∈，②
由①②得
12()6
2
k k πω
π
π=
+-，1k ，2k Z ∈，
即36()k k Z ω=+∈，
要使()f x 在区间(0,4)π内的零点最少， 则周期T 最大，所以ω的值最小， 又因为0ω>，所以3min ω=， 把3ω=代入②，得实136
k π
ϕπ+=，1k Z ∈， 即12
k π
ϕπ=-
+，1k Z ∈，
又因为||2
π
ϕ，所以2
2
π
π
ϕϕ=
=-
或，
当2π
ϕ=
时，()3sin(3)3cos32
f x x x π
=+=，此时()f x 在(0,4)π内零点个数为12； 当2π
ϕ=-
，()3sin(3)3cos32
f x x x π
=-=-，此时()f x 在(0,4)π内零点个数为12． 故选：D ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）下列说法正确的是( )
A ．命题：(1x ∀∈-，1]，2230x x +-<的否定是：(1x ∃∈-，1]，2230x x +-
B ．26
k π
απ=
+，k Z ∈是1
sin 2
α=
的充要条件
C ．1a >是
1
1a
<的充分非必要条件
D ．[2a ∈-，2]是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的充分非必要条件
【解答】解：根据全称量词命题否定的方法可知，A 正确； 因为1sin 2α=
，则26k παπ=+，或526k ππ+，k Z ∈，故26
k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充分不必要条件，故B 错误； 由
11a <得0a <，或1a >，故1a >是1
1a
<的充分非必要条件，故C 正确； 命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立，则△240a =-<，解得22a -<<，故[2a ∈-，2]是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的必要非充分条件，故D 错误． 故选：AC ．
10．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，设过点E ，F ，1D 的平面为α，则下列说法正确的是( )
A ．1EFD ∆为等边三角形
B ．平面α交正方体1111ABCD A B
C
D -的截面为五边形
C ．在正方体1111ABC
D A B C D -中，存在棱与平面α平行 D ．在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面α垂直 【解答】解：逐一考查所给的选项：
对A ，设正方体棱长为2，则易得115,6,3ED EF D F ===，故1EFD ∆不是等边三角形，故A 错误；
对B ，如图，取AB 中点G ，易得1//D E DG ，取CD 中点H ， 连接BH ，则易得//BH DG ，
再取CH 中点M ，连接FM ，则//FM BH ，
所以1//FM D E ，所以FM 是平面α与正方体底面ABCD 的交线， 延长MF ，与AB 的延长线交于N ，连接EN ，交1BB 于P ，
则可得五边形1D EPFM 即为平面α交正方体1111ABCD A B C D -的截面，故B 正确；
对C ，因为BC F α=，BC α⊂/，所以BC ，AD ，11A D ，11B C 都不与α平行，
又11A B E α=，11A B α⊂/，所以11A B ，AB ，CD ，11C D 都不与α平行，
因为1
1DD D α=，1DD α⊂/，所以1DD ，1CC ，1BB ，1AA 都不与α平行，
故不存在棱与平面α平行，故C 错误；
对D ，显然11A B 与1D E 不垂直，所以11A B 与α不垂直，则AB ，CD ，11C D 都不与α垂直； 因为1DD 与1D F 不垂直，所以1DD 与α不垂直，则1CC ，1BB ，1AA 都不与α垂直； 因为11A D 与1D E 不垂直，所以11A D 与α不垂直，则BC ，AD ，11B C 都不与α垂直； 所以不存在棱与平面α垂直，故D 正确． 故选：BD ．
11．（5分）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，设BC 边上的中点为M ，ABC ∆的面积为S ，其中23a =2224b c +=，下列选项正确的是( ) A ．若3
A π
=
，则33S =B ．S 的最大值为33
C ．3AM =
D ．角A 的最小值为
3
π
【解答】解：对于A ，若3
A π
=
，23a =2224b c +=，
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得221224b c bc bc =+-=-，可得12bc =， 所以ABC ∆的面积为113
sin 123322S bc A ==⨯=A 正确；
对于B ，因为22242b c bc =+，可得12bc ，当且仅当23b c ==时等号成立，此时a b c ==，可得3
A π
=
，
所以ABC ∆的面积为113
sin 123322S bc A =⨯=B 正确；
对于C ，因为BC 边上的中点为M ，可得2AM AB AC =+，
所以两边平方，可得222
42AM AB AC AB AC =++⋅， 可
得
222
2
2
2
2
2
2224||2cos 22()22412362b c a AM c b bc A c b bc b c a bc +-=++=++⋅=+-=⨯-=，解
得||3AM =，故C 正确；
对于D ，因为22242b c bc =+，可得12bc ，当且仅当23b c ==时等号成立，
所以222
24121
cos 22122
b c a A bc
+--=
=⨯， 因为(0,)A π∈，可得(0A ∈，]3π
，
所以A 的最大值为3
π
，故D 错误． 故选：ABC ．
12．（5分）如图，已知圆锥OP 的底面半径3r =，侧面积为23π，内切球的球心为1O ，外接球的球心为2O ，则下列说法正确的是( )
A ．外接球2O 的表面积为16π
B ．设内切球1O 的半径为1r ，外接球2O 的半径为2r ，则213r r =
C ．过点P 作平面α截圆锥OP 3
D ．设长方体1AC 为圆锥OP 的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为89
【解答】解：由底面半径3r =23π可得侧面积：S rl π=，求得2l =， 即圆锥母线长为2，则高1h =，
设圆锥外接球半径为2r ，则对2AOO ∆由勾股定理得22222AO AO OO =+， 即22222(3)(1)r r =+-，22r =，
外接球面积为21416S r ππ==，故A 正确；
设内切球1O 的半径为1r ，1O 垂直于交PA 于点D ， 则对1PDO ∆，22211PO DO PD =+，
即22211(1)(23)r r -=+-，解得1233r =-， 故B 项错误；
过点P 作平面α截圆锥OP 的截面面积的最大时， 因为h r <，故恰好PAC ∆为等腰直角三角形时取到， 点C 在圆锥底面上，1
2222
PAC S ∆=⨯⨯=，
故C 项错误；
设圆锥OP 有一内接长方体，其中一个上顶点为E ，上平面中心为3O ，33EO r =， 则333PO =
，3331OO =， 当长方形上平面为正方形时，上平面面积最大， 长方体体积为23313
(2)(1)2V r =⋅-，233423V r r '=-，
当3)3r ∈时，0V '>，3()3
r ∈+∞时，0V '<，
故2138
()(12933max V =⋅=， 故D 正确，
故选：AD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分． 13．（5分）已知函数141,0
(),0x lnx x f x e x -->⎧=⎨⎩，则((2))f f -= 13- ．
【解答】解：函数141,0
(),0x lnx x f x e x -->⎧=⎨⎩，3(2)f e -∴-=，
33((2))()4112113f f f e lne --∴-==-=--=-，
故答案为：13-．
14．（5分）已知向量(1,1)a =-，(2,3)b =，(2)a a kb ⊥+，则实数k 的值为 4- ． 【解答】解：因为(1,1)a =-，(2,3)b =， 所以2(22,32)a kb k k +=-+， 因为(2)a a kb ⊥+，
所以(2)22320a a kb k k ⋅+=-++=， 解得4k =-．
故答案为：4-．
15．（5分）已知数列{}n a ，11a =，22a =，且22(1)n n n a a +=+⨯-，则数列{}n a 的前100项的和为 150 ．
【解答】解：数列{}n a ，11a =，22a =，且22(1)n n n a a +=+⨯-， 当n 为奇数时，22n n a a +-=-（常数）， 当n 为偶数时，22n n a a +-=（常数）， 所以10050495049
501(2)250215022
S ⨯⨯=⨯+⨯-+⨯+⨯=． 故答案为：150．
16．（5分）已知函数2
2()22x
x x f x axe e
-=++，当a =函数()f x 的零点个数为 1 ；
若函数()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为 ．
【解答】解：当a 2222222
()2()2(x
x x x x x x
f x e
e e e -=++=++=，
令2
2
()(
0x
x f x e
=+=，则
2
0x x e
+=，即2
x e =，
由于函数2
x x
y e ==与
y x =的图象有且仅有一个交点，
故方程2
x e x =有且仅有
一个实数根，
∴当a ()f x 只有一个零点；
若函数()f x 有两个零点，则关于x 的方程2
2
220x
x x axe e
-++=，即222
()220x x x x a e e +⋅+=有两
个不同的实数根， 设
2
x
x t e
=，则2220t at ++=，
考察关于t 的方程2220t at ++=，△248a =-，
①当△0<，即a <时，关于t 的方程无实数根；
②当△0=，即a =t 的方程有且仅有一个实数根，且当a t =；
当a =t =
③当△0>
，即a <
a >t 的方程有两个不同的实数根； 考察关于x 的方程
2
x x t e
=，
()i
当a =
t =x 的方程只有一个实数根，不合题意； ()ii
当a =
t =，显然0x >，由不等式2
1
22
x x e
e
⋅
>可知，2
x x e <
x 的方程无实数根，不合题意；
()iii 当a >t 的方程有两个不同的负实数根1t ，2t ，
研究函数2
2
12(),()x x
x
x g x g x e
e -
'=
=
，令()0g x '=，解得2x =， 易知当(,2)x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，
∴2()(2)max g x g e
==
， 又(0)0g =，
∴当0x <时，()0g x <，且当x →-∞时，()g x →-∞，当0x >时，()0g x >，且当x →+∞
时，()0g x →， 直线1y t =与函数2
()x x g x e
=的图象有且仅有一个交点，关于x 的方程
12
x x t e
=有且仅有一个实
数根，
直线2y t =与函数2
()x x g x e
=的图象有且仅有一个交点，关于x 的方程
22
x
x t e
=有且仅有一个实
数根，
∴当a x 的方程22
2
(
)220x
x
x
x a e e
+⋅+=有两个不同的实数根，即函数()
f x 有两
个不同的零点；
()iiii 当a <t 的方程有两个不同的正实数根3t ，434()t t t <，
要使函数()f x 有两个不同的零点，必须342
t t e
<
<，
直线3y t =与函数2
()x x g x e
=的图象有且仅有两个交点，关于x 的方程
32
x
x t e
=有且仅有两个实
数根， 由342t t e <
<，可知关于t 的方程2220t at ++=有一个根小于2e ，有一个根大于2e
， 设2
()22h t t at =++，则2244
()20h a e e e
=++<，解得222e e a e +<-．
综上，当2a =时，函数()f x 的零点个数为1；若函数()f x 有两个零点，则实数a 的取值
范围为22(,)
(2,)2e e
e
+-∞+∞．
故答案为：1；22(,)
(2,)2e e
e
+-∞+∞．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<
．从下面的两个条件中任选其中
一个：①2()2sin 23cos 1f x x x x =-++；②若1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为
4
π
，(0)1f =，求解下列问题： （Ⅰ）化简()f x 的表达式并求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）已知α，(6πβ∈，)2
π
，()3f α=，2sin()αβ-=，求cos β的值．
【解答】解：()I 若选择条件①2()2sin 23cos 1f x x x x =-++； (cos21)3sin 21223
6
x x k x
k π
π
ππ=-+-++
cos 23x =+2x
2sin(2)6
x π
=+，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
++
+，
得23
6
k x
k π
π
ππ-
++，
所以()f x 的单调递增区间为[,
]3
6
k k π
π
ππ-
++．
若选择条件②，若1()2f x =，2()0f x =，即1x 是()f x 的最大值点，2x 是()f x 的零点且12||x x -的最小值为
4
π， 设()f x 的周期为T ， 由此可得
4
4
T
π
=
，即有T π=，2ω∴= 由(0)1f =，可得(0)2sin 1f ϕ==，即有1sin 2
ϕ= 可得26
k π
ϕπ=
+或52()6
k k z π
ϕπ=
+∈， 再结合||2
π
ϕ<
，可得6
π
ϕ=
，
综上可得：()2sin(2)6f
x x π
=+，
()()2sin(2)6
II f π
αα=
+=，
可得sin(2)6πα+=，
(,),
62
72(,),6
26
ππ
απ
ππ
α∈∴+
∈
从而可得226
3π
πα+
=
，即有4
πα=， (,)62
ππ
β∈
(,)412
ππ
αβ∴-∈-
，
由sin()αβ-=
， 可得cos()αβ-=
， 故4cos cos[()]cos cos()sin sin()5
βααβααβααβ=--=-+-=
． 18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，sin()sin sin A B C B -=-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，5c =． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求线段AD 的长．
【解答】解：（Ⅰ）因为sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+， 又sin()sin sin A B C B -=-，
所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B B A A B B A B -=+-， 所以2sin cos sin 0B A B -=， 又sin 0B ≠， 所以1
cos 2
A =
， 又(0,)A π∈， 所以3
A π
=
．
（Ⅱ）因为AD 为角A 的角平分线， 所以30BAD CAD ∠=∠=︒，
由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，可得111
35sin605sin303sin30222
AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，
解得AD =
． 19．（12分）已知数列{}n a ，{}n b 的各项均为正数．在等差数列{}n a 中，69133a a a +=+，
225a a =；在数列{}n b 中，11b =，22
11320n n n n b b b b +++-=．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ．
【解答】解：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d ，
由于69133a a a +=+，2
2
5a a =； 所以1
1121158123
()4a d a d a d a d a d +++=++⎧⎨+=+⎩，
解得1
1
2
a d =⎧⎨=⎩，
故21n a n =-．
数列{}n b 中，11b =，22
11320n n n n b b b b +++-=．
整理得：11(3)()0n n n n b b b b ++-+=，即有11
3n n b b +=，或1n n b b +=-（舍去）；
故数列{}n b 是以1为首项，1
3
为公比的等比数列；
所以1
13n n b -=
； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：1
21
3n n n n a b --=， 所以011
1321
...333n n n T --=
+++
①， 1211321
(3333)
n n n T -=+++②， ①-②得：2121112112(...)33333
n n n n T --=++++-=
整理得：111
(1)
221331213313
n n n n T -⨯--=+⨯--，
化简得：1
1
33n n n T -+=-
． 20．（12分）已知函数32()f x ax bx cx d =+++的两个极值点为1-，2，且在0x =处的切线方程为210x y +-=． （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；
（Ⅱ）当1[3x ∈-，3]时，5
()6
f x kx >+恒成立，求实数k 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）32()f x ax bx cx d =+++，则2()32f x ax bx c '=++， 结合题意得：(1)320
(*)(2)1240f a b c f a b c '-=-+=⎧⎨
'-=++=⎩
， ()f x 在0x =处的切线方程为210x y +-=， (0)1f d ∴==，(0)2f c '==-，
代入(*)式解得：13a =，1
2b =-，
故3211
()2132
f x x x x =--+；
（Ⅱ）①当0x =时，5
()6
f x kx >+
恒成立，此时k R ∈， ②当(0x ∈，3]时，由5()6f x kx >+
，分离参数得21112326k x x x
<--+，
设2111()2326g x x x x =--+， 则222211(1)(41)()3266x x x g x x x x
-++'=--=， 故()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,1)单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 故当(0x ∈，3]时，()g x 的最小值是g （1）2=-， 此时：2k <-，
③当1[3x ∈-，0)时，由5()6
f x kx >+， 分离参数可得21112326k x x x
>--+， 由上述过程知()g x 在1[3
-，0)上单调递减， 故()g x 的最大值是162()327
g -=-， 此时：6227
k >-， 综上，k 的取值范围是62(27-
，2)-． 21．（12分）某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，
3AE AF ==，23BE DF ==．将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E ，F ，M ，
N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
（Ⅰ）证明：PA ⊥底面ABCD ；
（Ⅱ）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --的正弦值为
2114
，试求PC 与平面PAT 所成角的正弦值.
【解答】解：()I 由菱形ABCD 的边长为3，3AE AF ==23BE DF ==， 可得222BE AB AE +，即有AB AE ⊥，同理222DF AD AF =+，即有AD AF ⊥， 在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD A =，
所以PA ⊥底面ABCD ；
()II 如图，以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 作AB 的垂线为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，
由第()I 问可得PA ⊥底面ABCD ，则PA AB ⊥，PA AT ⊥， 则BAT ∠为二面角B PA T --的平面角，由题意可得21sin 14BAT ∠=， 考虑BAT ∆，60ABT ∠=︒，可得321sin sin(60)14
ATB ABT ∠=∠+︒=， 利用正弦定理sin AB BT ATB Sin BTA =∠∠，可得1BT =， 所以点T 的坐标为5(2
，32，0)，点(0P ，0，3)，(0A ，0，0)，3(2C ，332，0)， 设面PAT 的一个法向为量(m x =，y ，)z ，
则有00m AP m AT ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30530
z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，
令3x =，则有(3m =，53-，0)，3(2
PC =，332，3)-， 所以cos m <，3714
m PC
PC m PC ⋅>==-， 所以PC 与面PAT 所成角的正弦值为3714
．
22．（12分）设函数1()f x x alnx x
=-+． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）对任意正实数1x ，2x ，当122x x +=时，试判断12()()f x f x +与21(2)2
a --的大小关系并证明．
【解答】解：（Ⅰ）1()3(0)f x x lnx x x
=-+>， 222
1331()1x x f x x x x -+'∴=--+=-， 令()0f x '>3535x -+<<；令()0f x '<得350x -<<或35x +>，
()f x ∴
的递增区间为
，递减区间为
，)+∞． （Ⅱ）结论：2121()()(2)2
f x f x a +--，证明如下： 1211221211()()()()f x f x x alnx x alnx x x +=-++-+ 12121212()()x x x x aln x x x x +=
-++ 1212
22()aln x x x x =-+， 设12t x x =，由1x ，2x 均为正数且21212()12x x x x +=得01t <， 设2()2(01)g t alnt t t =-+<，则2222()a at g t t t t -'=-+=， ①当2a 时，由01t <得20at -，即()0g t '<， ()g t ∴
单调递减， ()g t g ∴（1）0=，
又21(2)02
a --， 2121()()(2)2
f x f x a ∴+--， ②当2a >时，()
g t 在2(0,)a 上单调递减，在2(a
，1)上单调递增， ()g t ∴的最小值为22()2g a aln a a
=-+， 此时只需证2212(2)2a aln a a -+--，化简后即证21102
ln a a +-， 设h （a ）211(2)2ln a a a =+->，2()02a h x a
-'=>， h ∴（a ）单调递增，h ∴（a ）h >（2）0=，
即证得21102
ln a a +-， 综上所述，不等式得证．。