2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：直线的方程

跟踪训练2 (1)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的
中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为
√A.5x－2y－5＝0
C.5x－2y＋5＝0
B.2x－5y－5＝0 D.2x－5y＋5＝0
设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，
因为A(5，－2)，B(7，3)，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0. ∴直线方程为4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0； ∴原点到直线的距离 d＝|10k－2＋51k|＝5， 解得 k＝34， ∴所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
思维升华
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式. (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有 待定的系数，再由题设条件求出待定系数.
√D.x＝1
因为直线l的倾斜角为90°， 所以该直线无斜率，与x轴垂直，又因为直线l过点(1,1)， 所以直线l的方程为x＝1.
教材改编题
3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_3_x_－__2_y_＝__0_或__x＋__y_－__5_ _＝__0_.
当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1， 解得a＝5. 所以直线方程为x＋y－5＝0.
思维升华
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间， 因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论.
跟踪训练1 (1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角 3π
的最小值是__4___.
直线可化为 y＝－m21＋1x－m2m＋2 1. ∵m2≥0，∴m2＋1≥1，则 0<m21＋1≤1， ∴－1≤－m21＋1<0. 则所求倾斜角的最小值是34π.
知识梳理
4.直线方程的五种形式
名称
方程
点斜式
__y－__y_0_＝__k_(_x－__x_0_)_
斜截式
__y＝__k_x_＋__b__
两点式 _yy_2－－__yy_11_＝__xx_2－－__xx_11_(_x1_≠__x_2_，__y_1≠__y_2_)
适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0， 故直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋4).
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A， B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
方法一 设直线l的方程为
由题意可得2a＋1b＝1， a＝2b，
解得ab＝ ＝42， ，
∴直线方程为4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0； 综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
(3)直线过点(5,1的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，
因为直线l过点M(2,1)， 所以2a＋1b＝1， 则 1＝2a＋1b≥2 a2b，故 ab≥8， 故 S△AOB 的最小值为12×ab＝12×8＝4， 当且仅当2a＝1b＝12时取等号，
此时 a＝4，b＝2，故直线 l 的方程为4x＋2y＝1， 即x＋2y－4＝0.
延伸探究 1.在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
程为 A.y－3＝－32(x＋4) B.y＋3＝32(x－4)
√C.y－3＝32(x＋4)
D.y＋3＝－32(x－4)
方法一 因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)， 所以直线 l 的斜率 k＝32， 故直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋4). 方法二 设 P(x，y)是直线 l 上的任意一点(不同于 A)，则A→P＝ (x＋4，y－3)，
(2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O 为坐标原点.当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为_x_＋__y_－__2_＝__0_.
所以xy＋ －22 52＝＝0m，
且xy＋ ＋22 73＝＝n0，，
解得 x＝－5，y＝－3，m＝－52，n＝1，
即 C(－5，－3)，M0，－52，N(1,0)，
所以 MN 所在直线的方程为y＋5 52＝1x， 2
即5x－2y－5＝0.
(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方
k>0
90° 不存在
90°<α<180° k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
常用结论
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也 可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况 是否满足题意. 3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A).
倾斜角为θ＋45°， 故 kOA＝tan(θ－45°)＝1t＋antθa－n θttaann4455°°＝21－ ＋12＝13， kOC＝tan(θ＋45°)＝1t－antθa＋n θttaann4455°°＝21＋ －12＝－3.
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点 A(－1，－3)，且斜率为－14；
(2)直线 2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是
A.π6，π3
√B.π4，π3
C.π4，π2
D.π4，23π
直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α. 由于 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23， 因此 k＝2cos α∈[1， 3]. 设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]. 由于θ∈[0，π)， 所以 θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.
y－1＝k(x－2)(k<0)， 则 A2－1k，0，B(0,1－2k)， S△AOB＝12(1－2k)·2－1k ＝124＋－4k＋－1k≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－1k，即 k＝－12时，等号成立. 故直线 l 的方程为 y－1＝－12(x－2)， 即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线 l：ax＋by＝1， 且a>0，b>0，
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 ＝(2a＋b)2a＋1b－5 ＝2ba＋ab≥4， 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
思维升华
直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系， 将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决. (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的 有关知识来解决.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.1 直线的方程
考试要求
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两
点式、截距式及一般式).
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
跟踪训练3 (1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点 _(_1_，__－__4_)_，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是_[_3_，__＋__∞__)_.
直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0， 令xx－＋1y＋＝30＝，0， 解得xy＝＝1－，4， ∴直线l过定点(1，－4)， ∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3， 又直线l不经过第三象限， ∴－ a－a3＋≥10，<0， 解得 a≥3.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1)若直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段
有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
A.[－ 3，1]
C.－
33，1
√B.(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
D.－∞，－
33∪[1，＋∞)
如图，当直线 l 过点 B 时，设直线 l 的斜率为 k1，则 k1＝ 03－－10＝－ 3；当直线 l 过点 A 时， 设直线 l 的斜率为 k2，则 k2＝12－－01＝1，所以 要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的 斜率的取值范围是(－∞，－ 3]∪[1，＋∞).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.( × ) (3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( × ) (4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2).( √ )
教材改编题
1.已知点 A(2,0)，B(3， 3)，则直线 AB 的倾斜角为
∵所求直线过点 A(－1，－3)，且斜率为－14， ∴y＋3＝－14(x＋1)，即 x＋4y＋13＝0.
(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；
当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2,1)， ∴1＝2k，解得 k＝12， ∴直线方程为 y＝12x，即 x－2y＝0； 当横截距与纵截距都不为 0 时，可设直线方程为ax＋by＝1，
知识梳理
3.直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的_正__切__值__叫做这条直线的斜率.斜率常用
小写字母k表示，即k＝_t_a_n_α__(α≠90°).
(2)过两点的直线的斜率公式
y2－y1
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝__x2_－__x_1_.
由本例方法二知，2a＋1b＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a＋1b ＝3＋ab＋2ab≥3＋2 2， 当且仅当 a＝2＋ 2，b＝1＋ 2时，等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线 l 的方程为 x＋ 2y＝2＋ 2.
2.本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.
A.30° C.120°
√B.60°
D.150°
由题意得直线 AB 的斜率 k＝ 33－－20＝ 3， 设直线 AB 的倾斜角为 α，则 tan α＝ 3，∵0°≤α<180°，
∴α＝60°.
教材改编题
2.已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为
A.x＋y＝1
B.x－y＝1
C.y＝1
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 一般式
__ax_＋__by_＝__1__ _A_x_＋__B_y_＋__C__＝__0_(A_2_＋__B_2_≠__0_)_
不含垂直于坐标轴和过原点的 直线 平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α
0°
0°<α<90°
k
0
(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所
1 在直线的斜率分别为__3___，_－__3__.
如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜
率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线
OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的
性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的
落实主干知识
知识梳理
1.直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则__A→_B__就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，_x_轴__正__向_与直线l_向__上__ 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为__0_°≤__α_<_1_8_0_°___.
方法一 由本例方法一知 A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0). 所以|MA|·|MB|＝ k12＋1· 4＋4k2 ＝2×1＋|k|k2＝2－k＋－1k≥4. 当且仅当－k＝－1k， 即k＝－1时取等号.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知 A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a＋1b＝1. 所以|MA|·|MB|＝|M→A|·|M→B| ＝－M→A·M→B ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)