中国矿业大学 大学物理课件2-7

B
T mgcos 1 ' T :T 2 2 cos
'
' T
G
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解：对于小球在任意 H 位置受力分析
2R

N
势能零点
mg
2
v 脱离轨道时N=0 则 : m gcos m (1) R 上页 下页 返回 退出
v

已知：R、m且H=2R 求：小球如何运动 在何处脱离轨道
M r F 大小： Fr sin Fd M
方向：
F
转动 平面 O
F
r
F
Fi 0 , Mi 0
d
M
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Fi 0 , Mi 0
F
F
实验：质量为m的小球系在 轻绳的一端，绳穿过一竖 直的管子，一手握管，另 一手执绳。
2 2
2 1
v2 r2 v1r1
则
mv2r2 mv1r1
角动量保持不变的条件？
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角动量守恒定律
对t求导
dr dr v , p v (mv ) 0 dt dt d L d p d( mv ) 质点的角动量定理 r r r F dt dt dt
1 2 Ze mvs k 2 rs
2
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由于质子在飞行过程中没有能量损失，因此总能量 也守恒，即
1 2 Ze2 1 2 mvs k mv0 2 rs 2 （2）
从式(1)和式(2)中消去vs，得
由此可求得
b 2 Ze 1 2 k mv0 1 rs 2 rs
d 因此 恒量 dt
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例2、质量为m的小球，用轻绳AB、BC连接。 A 剪断绳AB前后的瞬间，绳BC中的张力比 解： 未剪断时，小球所受合力为零

T m T
C
G 剪断瞬间，小球 速度为零，则没有法向加速度， 法向合力为零
2T cos m g
mg T 2 cos
例题2-24 我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨 道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知 地球的平均半径R=6378 km，人造地球卫星距地面 最近距离l1=439 km，最远距离l2=2384 km。若人造 地球卫星在近地点A1的速度v1=8.10 km/s，求人造地 球卫星在远地点v2的速度。 解：因人造地球卫星所受引力 l2 l1 m 指向地球中心，所以 M 0 ， A2 A1 人造卫星的角动量守恒。 对 A1 : L1 mv1 ( R l1 ) 对 A2 : L2 mv2 ( R l2 )
实验发现： 则
v2 r2 v1r1
mv2r2 mv1r1
表明小球对圆心的角动量保持不变。 解释：作用在小球上的有心力对力心的力矩为零， 故小球的角动量守恒。
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行星绕太阳的运动： 作用在行星上的万有引力（有心力）对太阳（力 心）的力矩为零，因此，行星在运动过程中，对太阳 的角动量保持不变。
以地球卫星为系统，只有保守内力作功，故机 械能守恒
近地点： EP小，EK大 远地点： EP大，EK小 EP与EK互相转化！
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例1、对于曲线运动的物体。以下几种说法中哪一种 是正确的：（ ）
B
（A）切向加速度必不为零。 （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）。 （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零。 a （D）若物体做匀速率运动，其加速度必为零。 （E）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作 匀变速率运动。 0i gtj 解：重点为E选项，以平抛为例 d 2 2 2 gj 为恒量 但 0 g t dt
选地球、小球为系统，系统机械能守恒
mg2R mv mgR(1 cos )(2)
1 2 2
由（1）、（2）解得：cos
当 arccos 时小球脱离轨道
2 3
2 3
做斜抛运动
其初速度大小为： v
方向：与水平方向夹角 arccos
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2 3
gR
2 3
如果作用在质点上的外力对某给定点 o 的 力矩 (r F ) 为零，则质点对 o 点的角动量在 运动过程中保持不变。
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dp dL d dr (r P) Pr dt dt dt dt
L r P
力矩
F 对O点的力矩：
1 E K mv 2 2
不变
为什么？ F F 万 F万 d r A外 0 外 2、卫星动量守恒吗？对地球的角动量守恒吗？ 为什么？
v在变 F 0
1 GMm 2 E mv ( ) v r 不变 2 r 系统内只有保守内力作功
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3、卫星机械能守恒吗？ 为什么？
mv0b mvs rs
（） 1
式中m是质子的质量；v0是质子在无限远处的初速；vs 是质子在离原子核最近处的速度；b是初速度的方向线 与原子核间的垂直距离。
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当在无限远处，质子的动能为 零，所以，这时的总能量为
1 2 mv0 ，而电势能取为 2
1 2 mv0 2
1 2 在离原子核最近处，质子的动能为 mvs ，而电势能 2 2 为 k Ze ．所以，这时的总能量为 rs
§2-5 质点系的功能原理
机械能守恒定律
§2-6 碰撞
§2-7 质点的角动量和角动量守恒定律
*§2-8
对称性和守恒定律
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§2-7 质点的角动量与角动量守恒定律
1. 角动量
质点对圆心的角动量
p
o
r
m
pr
L pr mvr
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行星在公转轨道上的角动量
p

r
d
O
L pd pr sin
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定义：质点对点的角动量为
L r P r ( mv )
mv1 ( R l1 ) mv2 ( R l2 )
v2 6.30km/s
R l1 v2 v1 R l2
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例题2-25 当质子以初速v0通过质量较大的原子核时， 原子核可看作不动，质子受到原子核斥力的作用引起 了散射，它运行的轨迹将是一双曲线，如图所示。试 求质子和原子核最接近的距离rs。 解：将质量比质子大得多 的原子核看作不动，并取 原子核所在处为坐标的原 点O。由角动量守恒，得
实际上卫星运行轨道是一椭圆，地球在椭圆 的一个焦点上。问：
1、卫星动能守恒吗？
F
A外= 0？
Fn Fn
F外
Fn en d r 不作功
F外
F
F F 作功
近地点v 最大，远地点v 最小
动能不守恒 2、卫星动量守恒吗？对地球的角动量守恒吗？
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3、卫星机械能守恒吗？
1 2 GMm E mv ( ) 2 r
r p 常矢量
pd 常量
在有心力场中，关于力心的角动量守恒。
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动量定理 时间积累 牛顿第二定律 空间积累 动能定理
动量守恒定律
功能原理
机械能守恒定律
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讨论：人造地球卫星绕地球运动，为简便计，设卫星 作匀速率圆周运动。问：
1、卫星动能守恒吗？
2
Ze Ze rs 2k 2k 4b2 mv0 mv0
2 2
2
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选择进入下一节 §2-0 教学基本要求
§2-1 质点系的内力和外力
§2-2 动量定理 §2-3 功 动能 §2-4 保守力 动能定理 成对力的功
量大小L rmv sin
L
角动量方向
L
v
O
r m
v
r 上页 下页 返回 退出

v

r
L
2. 角动量守恒定律
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实验：质量为m的小球系在 轻绳的一端，绳穿过一竖 直的管子，一手握管，另 一手执绳。
实验发现：
r2 r1