7.1点到直线的距离公式、7.2向量的应用举例训练案知能提升Word练习题含答案

活学巧练跟踪验证

［学生用书单独成册］)

[A.基础达标]

1•一个人骑自行车行驶速度为V I,风速为V2，则逆风行驶的速度的大小为()

A . v i —V2

B • V1 + V2

V i

C. |v i|—|V2| D . V2

解析：选C.根据速度的合成可知.

2若OF i = (2, 2), O F2= (—2, 3)分别表示F i, F2,则|F 1+ F?|为( )

A. (0, 5)

B. 25

C. 2 2

D. 5

解析：选D.因为F i + F2= (0, 5), 所以|F i+ F2= ., 02+ 52= 5.

3. 过点A(2 , 3)且垂直于向量a = (2, i)的直线方程为()

A . 2x+ y—7= 0 B. 2x+ y+ 7 = 0

C. x —2y+ 4 = 0

D. x—2y—4= 0

解析：选A.设所求直线上任一点P(x, y)，则AP丄a. 又因为AP = (x —2, y—3), 所以2(x —2) + (y —3) = 0,

即所求的直线方程为2x+ y—7 = 0.

4. 若A i(i = 1, 2, 3, 4，…，n)是厶AOB所在平面内的点，且OA i • OB = OA • OB.

给出下列说法：

①|OA i|= |O A2|=-= |OA n|= |OA|;

②|OA i|的最小值-

③点A、A i在一条直线上.

其中正确的个数是()

A. 0

B. i

C. 2

D. 3

解析：选 B.由OA i• OB = OA • OB , 可得(OA —OA) OB = 0，即A A i • OB = 0, 所以AA i 丄OB，即点A i在边OB过点A的垂线上.

故三个命题中，只有③正确，故选B.

5. 已知△ ABC 中，A(2 , —i), B(3 , 2), C(—3, —i), BC 边上的高为AD，则AD 等于()

A . (—i , 2)

B . (i , —2)

C. (i , 2)

D. (—i , —2)

解析：选 A.设D(x, y)，则AD = (x —2, y+ i), BD = (x — 3 , y—2) , BC = (—6 , —

3). 因为A D丄B C , B D // B C.

—6 (x —2) —3 ( y+ i )= 0 , x= i, —>

所以｛( ,解得异 ,所以AD = (—i, 2).

—3 (x —3)+ 6 ( y—2)= 0, l y= i,

6. 已知三个力F i = (3 , 4) , F2= (2 , —5) , F3= (x , y),满足F i+ F2+ F3= 0,若F i 与

F 2的合力为F ，则合力F 与力F 1夹角的余弦值为 ____________ .

解析：因为 F i + F 2+ F 3 = 0, F i + F 2= F , 所以F = — F 3,因为F 3的坐标为(-5, 1), 所以 F = — F 3= (5,— 1), 设合力F 与力F i 的夹角为0, 则 eg 0 = Fl —L = —=哑6

则 C0S 0= |F i ||F | = (T 工孑•乜52+(— 1) 2 = 130 . 答案：U_26

:130

7•已知直线的方向向量为 a = (3, 1),且过点A(— 2, 1),则直线方程为 __________________ . 解析：由题意知，直线的斜率为1,设直线方程为x — 3y + e = 0,把(—2, 1)代入得e = 5,

3 故所求直线方程为 x — 3y + 5= 0. 答案：x — 3y + 5 = 0

&已知 |a |=V 3 |b |= 4, |c |= 2翻，且 a + b + c = 0，贝U a b + b c+ c a = _____________ .

解析：(a + b + c )2= |a |2 + |b |2 + |c |2 + 2(a c + b c + a b )= 0,所以 a b + b c + c - a =—乎. 答案：—乎

9.在△ ABC 中，AB - AC = |AB — AC|= 6, M 为BC 边的中点，求中线 AM 的长. 解：因为 |AB — AC|= 6,所以(A B — AC)2= 36.

即 A B 2 + AC 2— 2AB - AC = 36.

又因为 AB - AC = 6，所以 A B 2+ A C 2= 48.

又因为 AM = 1(AB + AC),

所以 A M 2= 2A B 2+A C 2 + 2A B - A C)=1 x (48+12) = 15,

4、 ' 4 所以|AM|= 15,即中线AM 的长为.15.

10.已知点 A( — 1, 0), B(0, 1),点P(x , y)为直线y = x — 1上的一个动点.

(1)求证：/ APB 恒为锐角；

⑵若四边形ABPQ 为菱形，求BQ - AQ 的值.

解：(1)证明：因为点P(x , y)在直线y = x — 1 上,

所以点P(x , x — 1),

所以 PA = (— 1— x , 1 — x), P B = (— x , 2— x),

所以 P A - P B = 2x 2— 2x + 2= 2(x 2— x + 1)

=2 飞-2> + 2> 0

, |PA||PB|

若A , P , B 三点在一条直线上，则 PA // PB , 得到(x + 1)(x — 2) — (x — 1)x = 0,方程无解， 所以/ APB 工0，所以/ APB 恒为锐角.

⑵因为四边形ABPQ 为菱形，所以|AB|=|BP|, 即-』2 = "：J x 2 +( x — 2) 2,

化简得到x 2— 2x + 1 = 0,

所以x = 1,所以P(1 , 0),

所以 cos /APB = P A - P B