云南师范大学附属中学2020届高考适应性月考卷(四) 文科数学附答案与详解

西南名校联盟高考适应性月考卷
文科数学试卷
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{}
2|10A x x =->，{}|0,1,2,3B x =，则()R C A B =I （ ） A. {}2,3 B. {}0,1
C. []1,1-
D. ()(),11,-∞-+∞U
2. 复数z 满足()12z i i ⋅-=，则z =（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i --
D. 1i -+
3. 《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.如果经过n 天，该木锤剩余的长度为n a （尺），则n a 与n 的关系为（ ）
A. 1
2n n a =
B. 112n n a =-
C. 1
n a n
=
D. 1
1n a n
=-
4. 若关于x 的不等式210ax ax ++≥的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A. []0,4 B. ()0,4 C. [)4,0-
D. []4,0-
5. 已知命题p ：0x ∀≥，1x
e ≥或sin 1x ≤，则p ∀为（ ）
A. 0x ∃<，1x
e <且sin 1x > B. 0x ∃<，1x
e ≥或sin 1x ≤
C. 0x ∃≥，1x
e <或sin 1x > D. 0x ∃≥，1x
e <且sin 1x >
6. 两个红球与两个黑球随机排成一行，从左到右依次在球上标记1，2，3，4，则红球上的数字之和小于黑球上的数字之和的概率为（ ）
A.
16 B.
14 C. 13
D. 12
7. 定义在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为（ ）
A.
2
3
B.
C.
D.
56
8. 某多面体的三视图如图所示，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长棱的长为（ ）
A.
B. C. 3
D. 9. 如图是函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫
=+><<
⎪⎝
⎭
的部分图象，则34
f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（ ）
A. -2
B.
C. 2
D.
10. 已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r
，
O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）
A. 1
B.
C.
1
D.
1l. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（ ） A. (),2-∞- B. ()2,+∞
C. ()(),11,-∞-+∞U
D. ()(),22,-∞-+∞U
12. 在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成曲边三角形，作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块，阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，他称此为“皮匠刀定理”，如图，若2AC CB =，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）
A.
10
81
B.
2081
C.
49
D.
89
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知狄利克雷函数()1,0,R x Q
D x x C Q
∈⎧=⎨
∈⎩，则()()D D x =______.
14. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
且l α⊂，m β⊂.给出下列三个论断：①l m ⊥；②l β⊥；③αβ⊥.以其中一个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出一个真命题：______.（用论断序号和推出符号“⇒”作答）
15. 双曲线S ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以线段12F F 为直径的圆与S 的
渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，则S 的离心率为______. 16. 已知数列{}n a
满足112n a +=
+134
a =，则2020a =______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知三角形ABC
，56A π=
，D 在边BC 上，6
CAD π
∠=，2BD DC =，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求a ，b ，c .
18. 2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到
6.46
万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP总量y（万亿元）的折线图.
注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP的总量.
附注：
参考数据：
7
1
492.01 i
i
y =
=
∑，70.29
y=，
7
1
2131.99 i i
i
t y =
=
∑
165.15≈.
参考公式：相关系数
()()
n
i i
t t y y r
--=
∑
回归方程$$
y a bt
=+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
()()
()
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
--
=
-
∑
∑
$，$a y bt
=-$.
19. 如图，楔形几何体EF ABCD
-由一个三棱柱截去部分后所得，底面ADE⊥侧面ABCD，90
AED
∠=︒，楔面BCF是边长为2的正三角形，点F在侧面ABCD的射影是矩形ABCD的中心O，
点M在CD上，且CM DM
=.
（1）证明：BF ⊥平面AMF ； （2）求楔形几何体EF ABCD -的体积. 20. 已知函数()1
sin ln 12
f x x x x =
+--，()'f x 为()f x 的导数. （1）证明：()f x 在定义域上存在唯一的极大值点； （2）若存在12x x ≠，使()()12f x f x =，证明：124x x <.
21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>的一个焦点为()
1F .
（1）求C 的标准方程；
（2）若动点M 为C 外一点，且M 到C 的两条切线相互垂直，求M 的轨迹D 的方程；
（3）设C 的另一个焦点为2F ，自直线l ：7
x =上任意一点P 引（2）所求轨迹D 的一条切线，切点为Q ，求证：2PQ PF =.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是曲线段C ：2
x t y t
=⎧⎨=-⎩（t 是参数，11
22t -≤≤）的左、右端点，P 是C 上异于A ，B 的动点，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .
（1）建立适当的极坐标系，写出点Q 轨迹的极坐标方程； （2）求PA PQ ⋅的最大值. 23.【选修4-5：不等式选讲】
已知()()()2f x x x a a R =--∈，若关于x 的不等式()6f x >的解集为()()4,58,+∞U . （1）求a ；
（2）关于x 的方程()f x b =的方程有三个相异实根1x ，2x ，3x ，求123x x x ++的取值范围.
云南师大附中2020届高考适应性月考卷（四）
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5：BDAAD 6-10：CACBC
11-12：BB
【解析】
1. (){}{}{}|110,1,2,30,1R C A B x x =-≤≤=I I ，故选B.
2. ()()()
2121111i i i z i i i i +=
==-+--+，故选D. 3. {}n a 是一个首项为
12，公比为12的等比数列，所以1
2
n n a =，故选A. 4. 当0a =时，不等式为10≥，恒成立，满足题意；当0a ≠时，则2
40
a a a >⎧⎨
-≤⎩，解得04a <≤，或0a ≠时，()f x 有最小值，且最小值大于或等于0，即0102a f >⎧⎪
⎨⎛⎫-≥ ⎪
⎪⎝
⎭⎩，解得04a <≤.综上，实数a 的取值范围
是[]0,4，故选A.
5. 全称命题的否定为特称命题，()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝，()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝，故选D.
6. 红球与黑球上标记数字情况用表格列举如下：
共6种情况，其中红球与黑球上数字之和相等的情况有两种，其余4种情况中红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于黑球上数字之和是“对等”的，各占一半，故所求概率为
21
63
=，故选C. 7. 如图，从6cos 5tan 02x x x π⎛⎫
=<<
⎪⎝
⎭
中解出sin x 的值为
2
3
，即为所求线段12P P 的长，故选A.
8. 多面体的直观图如图所示，111AE A E ==，111112AD AA EE A D DD DC ======，
11CE D E ==，1CD =13CE =，最长棱为1CE ，其长为3，故选C.
9. 根据图象，可得()2sin 24x f x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以332sin 424f πππ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选B. 10. 法一：将A ，C 视为定点，OA OC ⊥，O 视为以AC 为直径的圆上的动点，AC 的中点为M ，当BO
过圆心M ，且O 在BM 的延长线上时，OB 1，故选C.
法二：设(),B x y ，则224a c +=，()2
21x y c +-=，()2
22251x a y x y ax cy
-+=⇒+=++
11≤+
=+取等号条件：ay cx =，
令d B O ==，则212d d ≤+，
得1d ≤
，故选C.
1l. 设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，
对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，得()()112211f x x f x x --<--，即()()12F x F x <，所以()F x 在R 上是增
函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->，所以11x ->，2x >，故选B.
12. 设2BC r =，则4AC r =，6AB r =，建立如图所示的坐标系，()0,0C ，()12,0O r -，(),0O r -，
()
2,0O r ，设()3,O a t -，()4,O b v ，则()()2
2
222r a r a t +--=，得t =所以(3O a -，
由圆O与圆3O
3r a
=-，解得
2
3
a r
=.同理()()
22
2
r b r b v
+--=，得
v=O与圆
4
O
3r b
=-，解得
2
3
b r
=，于是阿基米德“皮匠刀定理”得证.()()
2
222
1112
322
2223
r
r r r
Sππππ⎛⎫
⋅-⋅--⋅⋅ ⎪
⎝
=
⎭
阴影
2
10
9
r
π
=，所以
2
2
10
20
9
981
2
S
r
r
S
π
π
=
=
阴影
大半圆
，故选B.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 1 14. ②⇒①③
15. 2 16.
2
4
+
【解析】
13. ()0
D x=或1，()
()1
D D
x=.
14. ②⇒①③.
15. tan60
b
a
=︒=
22
2
3
c a
a
-
=，
2
2
4
c
a
=，所以2
c
e
a
==.
16.
由题意，
1
1
2n
a
≤≤，
2
2
11
11
22
n n n n
a a a a
++
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
22
11
1
4
n n n n
a a a a
++
⇒-+=-
-①，
于是22
2211
1
4
n n n n
a a a a
++++
-+-=-②，②-①得()()
22
10
n n n n
a a a a
++
-+-=，因为
1
3
4
a=，所以2
10
n n
a a
+
+-≠，所以
2
n n
a a
+
=，所以数列{}n a是周期数列
，周期为2
，所以20202
12
24
a a
==
+=.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解：如图，2sin
sin 32sin sin 6
ABD ACD c S BD c BAD S DC b CAD b π
π∆∆∠==⇒=
∠2==，①
1151
sin sin 2264
ABC S bc A bc bc π∆====
联立①，②，解得b =
c =在ABC ∆
中，由余弦定理，得22252cos 682266
a b c bc A π
=+-=+-=，
所以a =
18. 解：（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，
()
7
2
1
28i
i t
t
=-=∑，
()()7
77
1
1
1
i
i
i i
i
i i i t
t
y y t y t y
===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，
所以163.95
0.99165.15
r =
≈，
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.
（2）由70.29y =及（1）得()()
()
7
1
7
2
1
163.95
5.8628
i
i
i i
i t
t
y y b
t
t
===
≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85a
y bt ≈-⨯==-$， 所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.
将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元.
19.（1）证明：如图，连接MO 交AB 于N ，连接FN ，MB . 则N 是AB 的中点，2AD NM BC ===.
因为FO ⊥平面ABCD ，所以平面FMN ⊥平面ABCD ，
又平面ADE ⊥平面ABCD ，所以平面//ADE 平面FMN ， 根据题意，四边形ABFE 和DCFE 是全等的直角梯形， 三角形ADE 和NMF 是全等的等腰直角三角形，
所以NF MF ==
1OF =，
在直角三角形BFN 中，NB ==
所以AB =2AF =，MB =
于是222AF BF AB +=，222MF BF MB +=，所以BF AF ⊥，BF MF ⊥. 因为,AF MF ⊂平面AMF ，AF MF F =I ， 所以BF ⊥平面AMF .
（2）解：据（1）可知，楔形几何体EF ABCD -由直三棱柱ADE NMF -和四棱锥F BCMN -组成，
直三棱柱ADE NMF -的体积为ADE NMF ADE V S AN -∆=⋅1
2
==
四棱锥F BCMN -的体积为1
3
F BCMN BCMN V S FO -=
⋅12133=⨯=
，
所以楔形几何体EF ABCD -的体积为3
ADE NMF F BCMN V V --+=. 20. 证明：（1）()11
'cos 12f x x x =
+-， 当2x ≥时，1102x <≤，11112x -<-≤-，()11111
cos 1cos cos 102222
x x x x +-≤-=-≤，
“=”不能同时取到，所以()'0f x <；
当02x <<时，()2
1
1
''sin 02
f x x x =--
<，所以()'f x 在()0,2上递减， 因为()1'1cos102f =>，()11
'2cos 2022
f =-<，
所以在定义域()0,+∞存在唯一0x ，使()0'0f x =且()01,2x ∈；
当00x x <<时，()'0f x >；当0x x >时，()'0f x <，
所以0x 是()f x 在定义域()0,+∞上的唯一极值点且是极大值点.
（2）存在12x x ≠，使()()12f x f x =，即
11122211sin ln 1sin ln 122x x x x x x +--=+--， 得()1212121sin sin ln ln 2
x x x x x x ---=-. 设()sin g x x x =-，则()'1cos 0g x x =-≥，()g x 在()0,+∞上递增， 不妨设120x x >>，则()()12g x g x >，即1122sin sin x x x x ->-，1212sin sin x x x x ->-， 所以()()()()1212121211sin sin 22
x x x x x x x x ---<---12ln ln x x =-，得12122ln ln x x x x -<-，
121212ln ln 2x x x x x x -+<
<-
2<，124x x <. 21.（1）解：设()2220a b c c -=>，
由题设，得c =
4
c a =，所以4a =，29b =， 所以C 的标准方程为22
1169
x y +=. （2）解：设(),M m n ，切点分别为1P ，2P ，
当4m ≠±时，设切线方程为()y n k x m -=-，
联立方程，得()221169
y n k x m x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，得()()()2
2216932161440k x k n km x n km ++-+--=，① 关于x 的方程①的判别式()()()222221324169161440k n km k n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦， 化简，得()22216290m k mnk n -++-=，②
关于k 的方程②的判别式()()2222244169m n m n ∆=---()224916144m n =+-，
因为M 在椭圆22
1169
x y +=外，
所以22
1169
m n +>，即229161440m n +->，所以20∆>， 关于k 的方程②有两个实根1k ，2k 分别是切线1MP ，2MP 的斜率.
因为12MP MP ⊥，所以121k k =-，即2
29116n m
-=--，化简为2225m n +=. 当4m =±时，可得3n =±，满足2225m n +=，
所以M 的轨迹方程为2225x y +=.
（3）证明：如图，)
2F ，设0P y ⎫⎪⎪⎝⎭，
2202022256812577y PQ OP Q y O ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝=⎭
-， 2
2
22200817PF y y =+=+⎝， 所以222PQ PF =，即2PQ PF =.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（1）如图，曲线段C 即为抛物线上一段2112
2y x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭， 端点11,24A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，11,24B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 在A 处的切线斜率为1212⎛⎫-⨯-
= ⎪⎝⎭，与y 轴的交点坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为QA QB ⊥，所以Q 的轨迹是以线段AB 为直径的圆弧（不含端点），
以线段AB 的中点10,4M ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
为极点，射线MB 为极轴，建立极坐标系， 则Q 点轨迹的极坐标方程为1022πρθ⎛⎫=
<< ⎪⎝⎭.
（2）设直线PM 与以10,4M ⎛⎫-
⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆交于两点E ，F ， 则12
ME MF ==, 由相交弦定理，得PA PQ PE PF ⋅=⋅()()214ME PM MF PM
PM =+⋅-=-
2222211114444t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 当0t =，即()0,0P 时，PA PQ ⋅最大，最大值为
316。

23.【选修4-5：不等式选讲】
解：（1）当2a =时，()()()222,22,2x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩； 当2a >时，()()()()()2,2,x x a x a f x x x a x a
--≥⎧⎪=⎨---<⎪⎩；
当2a <时，()()()(
)()2,2,x x a x a f x x x a x a --≥⎧⎪=⎨---<⎪⎩， 若关于x 的不等式()6f x >的解集为()()4,58,+∞U ，
观察上述三种情况的图象如图，
可知2a >，且4，5是x a <时，()()26x x a ---=的两根，得7a =， 检验：当7a =时，不等式()6f x >，
即()()7276x x x ≥⎧⎪⎨-->⎪⎩或()()7276x x x <⎧⎪⎨--->⎪⎩
， 即得45x <<或8x >，符合题意.
（2）不妨设123x x x <<，据（1）得()()()()()27,727,7
x x x f x x x x --≥⎧⎪=⎨---<⎪⎩，图象如图，
()()()277y x x x =---<的顶点为925,
24⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2504
b <<， 1x ，2x 关于抛物线()()27y x x =---的对称轴92x =
对称，所以129x x +=， 由()()()252774
x x x --=>
，得92x +=，
所以3972
x +<<
所以12327162x x x +<++<
， 即123x x x ++
的取值范围为⎛
⎝⎭
.。