幂级数解方程(偏微分方程)
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sl本征值问题中的kxqx和x在开区间akxqxyxynnnnkykyxqyxbkyykyykyhyyhky同理可得无论在哪种边界条件下都有因此有693相应于不同本征值在区间ab上带权重x正交即d0yxyxxxnmkyqykyqy第二式可得70kyyymnmnykyykyxyyxnmmnmnmnkyykyyxyyxnmmnmnnmmnxakyykyyynmmnxbkyykyy如果在端点xb是第一类奇次条件yb0第二类奇次条件y?b0或自然边界条件kb0则nmmnxbkyykyyxbkyyhykyyhynmmnxakyykyy72因此有所以d0yxyxxxnm如果x1则是我们以前学过的函数正交关系734本征函数族y这是说如果函数fx具有连续一阶导数和分段连续二阶导数且满足本征函数族所满足的边界条件则其可以展开为绝对且一致收敛的级证明超出我们的范围略
k(k 1)ak xk k(k 1)ak xk2 2kak xk
k 2
k 2
k 1
l(l 1)ak xk 0 k 0
将各求和号内k的起点统一化：
k(k 1)ak xk2 2a2 6a3x k(k 1)ak xk2
1
k
k
因此，级数解 pl(x) 和 ql(x) 收敛于|x|<1而发散于 |x|>1；但勒让德方程中的x=cosθ定义于[-1,1]上， 因此还要考虑级数解在x=±1处的收敛性。
高斯判别法：
对于正项级数 uk ， 当 k 1 lim uk 1 u k k 1
时，若前后邻项之比可表示为：
（1） 任选某个点z0，在其邻域上把待求的解 表为系数待定的幂级数；
（2） 将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定幂级数系数。
说明：
(1) 级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无 特殊的要求；
(2) 既然是级数，就存在是否收敛和收敛范围的问 题；
(3) 级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。
题就根本不存在了。
考察 pl(x)：
pl
(x)
a0
1
(l)(l 2!
1)
x2
(2
l)(l)(l 4!
1)(l
3)
x4
L
(2k 2 l)(2k 4 l)L (2 l)(l)(l 1)(l 3)L (l 2k 1) x2k (2k )!
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的 常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解 析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解 析，则称点z0为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称 为方程的非正则奇点。
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
u(r, ,) R(r)Y ( ,)
Y ( ,) ( )()
r2 d2R 2r dR l(l 1)R 0
dr 2
dr
0
可直接求解 可直接求解
sin
4 l)L
(2 l)(l)(l 1)(l (2k )!
3)L
(l
2k
1) a0
a3
(1
l)(l 3!
2)
a1
a5
(3
l)(l 54
4)
a3
(3
l)(1
l)(l 5!
2)(l
4)
a1
…………….
a2k 1
(2k
1 l)(2k
3 l)L (1 l)(l (2k 1)!
k 0
k 2
因此合并x的同幂次项后有：
2a2 l(l 1)a0 6a3 2a1 l(l 1)a1 x
k(k 1)ak (k 2)(k 1)ak2 2kak l(l 1)ak xk 0
k 2
要使上述方程对任意的x都成立(=0)，则要求x各幂
y( x) ak xk a0 a1x a2x2 L ak xk L k 0
根据此解的形式，于是有：
y( x) kak xk1 k 1
a1 2a2 x 3a3x2 L kak xk1 L
y( x) k(k 1)ak xk2 k 2
dx2
dx
为 l 阶勒让德方程，不可直接求解
2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1
u
1
2
2u
2
2u z 2
0
u(,, z) R()()Z(z)
0
Z Z 0
d2R
d 2
1
dR
d
(
m2
2
)R
0
可直接求解 可直接求解 μ =0可直接求解
对第3个方程：
(1) 若 μ>0 ，作变换 x
x2
d2R dx2
x
dR dx
x2 m2
R0
为 m 贝塞尔方程，不可直接求解
(2) 若 μ<0 ，作变换 k 2, x k
x2 d2R x dR x2 m2 R 0 dx2 dx 为虚宗量贝塞尔方程，不可直接求解
次前的系数必须为0，即：
2a2 l(l 1)a0 0
6a3 l(l 1) 2a1 0
(k
2)(k
1)ak2
l(l
1)
k2
k ak
0
(k 2,3, 4,L )
解得系数间的递推关系：
ak 2
(k l)(l k 1) (k 2)(k 1)
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为
点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。
定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为
(2k 3)(2k 2) (2k 1 l)(l 2k 2)
1
1 k
1 k2
(l
1)(l
2)(1
1) k
4
6 k
(l
1)(l k2
2)
有界
根据高斯判别法，λ=1，级数ql(x)发散。
如果级数解 pl(x) 和 ql(x) 退化为有限项，即多 项式，则它们在x=±1处取有限数值，那么发散问
(2k
l)(2k
2 l)L
(2 l)(l)(l (2k 2)!
1)(l
3)L
(l
2k
1)
x2k2
L
如果l是某个偶数，l=2n(n是正整数)，则 pl(x)只到 x2n项为止，从x2n+2项起（上式彩色项），系数都含 有因子(2n-l)从而都为0。这样pl(x)不再是无穷级数 ，而是2n次多项式，并且只含偶次幂。至于pl(x)因 其系数不含(2n-l)，仍是无穷级数，且在x=±1处发 散。
uk uk 1
1
k
B(k) k2
其中B(k)是当k→∞时为k的有界函数，则当λ>1时级 数收敛，当λ≤ 1时级数发散。
对于足够大的k， pl(x)和ql(x) 均为正项级数。
对于pl(x)：
uk ak
(2k 2)!
(2k 2)(2k 1)
uk1 ak2 (2k )!(2k l)(l 2k 1) (2k l)(l 2k 1)
2)(l
4)L
(l 2k) a1
勒让德方程的解为：
y(x)
a0
1
(l)(l 2!
1)
x2
(2
l)(l)(l 4!
1)(l
3)
x4
L
(2k
2 l)(2k
4 l)L
(2 l)(l)(l (2k )!
1)(l
3)L
(l
2k
1)
2a2 3 2a3x 4 3a4 x2 L k(k 1)ak xk2 L
代入勒让德方程，可得：
(1 x2 ) k(k 1)ak xk2 2x kak xk1
k 2
k 1
l(l 1) ak xk 0 k 0
合并整理后可得：
d
d
sin
d
d
[l(l
1) sin2
]
0
对第3个方程作变量替换 x cos
(1
x
2
)
d2 dx2
2
x
d dx
l
(l
1)
1
m2 x
2
0
为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解
若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0
(1 x2 ) d2 2x d l(l 1) 0
1
1 k
1 k2
l(l
4
1)(1 1 ) k
2 k
l(l k2
1)
有界
根据高斯判别法，λ=1，级数pl(x)发散。
对于ql(x)：
uk ak
(2k 3)!
uk1 ak2 (2k 1)!(2k 1 l)(l 2k 2)
dx2
dx
d2 y 2x dy l(l 1) y 0 dx2 (1 x2 ) dx (1 x2 )
方程的系数：
p(x) 2x (1 x2 )
q(x) l(l 1) (1 x2 )
在 x0=0 ， 方 程 的 系 数 p(x0)=0 ， q(x0)=l(l+1) 单 值 且 为 有限值，因此它们必然在x0=0处解析，故x0=0为方 程的常点，根据常点邻域上解的定理11.1.2，解具有 泰勒级数形式：
x2k
L
a1
x
(1
l)(l 3!
2)
x3
(3
l)(1
l)(l 5!
2)(l
4)
x5
L
(2k
1 l)(2k
3 l)L (1 l)(l (2k 1)!
2)(l
4)L
(l
2k)
x 2 k 1
L
pl ( x) ql ( x)
d 2( z )
dz 2
p(z)
d( z)
dz
q( z )( z )
0
(11.1.1)
(z0 ) C0 (z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数， 称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选 定的点，C0和C1为复常数。
这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次 幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法) 为：
R lim ak a k
k2
lim k
(k 2)(k 1) (k l)(l k 1)
lim k
(1 2 )(1 1 ) kk
(1 l )(1 l 1)
(z) ak (z z0 )k a00(z) a11(z)
k 0
(11.1.2)
其中a0和a1为任意常数， ω0(z)和ω1(z)为在点z0解 析的两个线性独立的函数。
三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）
在x0=0的邻域求解 l 阶勒让德方程：
(1 x2 ) d2 y 2x dy l(l 1) y 0
k 2
k 4
2a2 6a3x (k 2)(k 1)ak2xk k 2
2kak xk 2a1x 2kak xk
k 1
k 2
l(l 1)ak xk l(l 1)a0 l(l 1)a1x l(l 1)ak xk
ak
(k 0,1, 2,L )
因此，若知道级数系数a0、a1，则可由上述递推公 式计算出任一系数ak(k=2,3,…)。
系数递推：
a2
(l)(l 1) 2!
a0
a4
(2
l)(l 43
3)
a2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
a0
…………….
a2k
(2k
2 l)(2k
第十一章 幂级数解法—本征值问题
王建东
沙河校区计算机楼东206 jdwang@
11.1二阶常微分方程的幂级数解法
11.1.1幂级数解法理论概述
一、分离变量法求解偏微分方程： 1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 r2
r
2
r
u r
rBiblioteka 21sin
…………………………..
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波 动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让 德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程 等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏 微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊 函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向 我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定 解问题。 不失一般性，我们讨论复变函数ω(z)的 线性二阶常微分方程：
k(k 1)ak xk k(k 1)ak xk2 2kak xk
k 2
k 2
k 1
l(l 1)ak xk 0 k 0
将各求和号内k的起点统一化：
k(k 1)ak xk2 2a2 6a3x k(k 1)ak xk2
1
k
k
因此，级数解 pl(x) 和 ql(x) 收敛于|x|<1而发散于 |x|>1；但勒让德方程中的x=cosθ定义于[-1,1]上， 因此还要考虑级数解在x=±1处的收敛性。
高斯判别法：
对于正项级数 uk ， 当 k 1 lim uk 1 u k k 1
时，若前后邻项之比可表示为：
（1） 任选某个点z0，在其邻域上把待求的解 表为系数待定的幂级数；
（2） 将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定幂级数系数。
说明：
(1) 级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无 特殊的要求；
(2) 既然是级数，就存在是否收敛和收敛范围的问 题；
(3) 级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。
题就根本不存在了。
考察 pl(x)：
pl
(x)
a0
1
(l)(l 2!
1)
x2
(2
l)(l)(l 4!
1)(l
3)
x4
L
(2k 2 l)(2k 4 l)L (2 l)(l)(l 1)(l 3)L (l 2k 1) x2k (2k )!
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的 常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解 析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解 析，则称点z0为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称 为方程的非正则奇点。
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
u(r, ,) R(r)Y ( ,)
Y ( ,) ( )()
r2 d2R 2r dR l(l 1)R 0
dr 2
dr
0
可直接求解 可直接求解
sin
4 l)L
(2 l)(l)(l 1)(l (2k )!
3)L
(l
2k
1) a0
a3
(1
l)(l 3!
2)
a1
a5
(3
l)(l 54
4)
a3
(3
l)(1
l)(l 5!
2)(l
4)
a1
…………….
a2k 1
(2k
1 l)(2k
3 l)L (1 l)(l (2k 1)!
k 0
k 2
因此合并x的同幂次项后有：
2a2 l(l 1)a0 6a3 2a1 l(l 1)a1 x
k(k 1)ak (k 2)(k 1)ak2 2kak l(l 1)ak xk 0
k 2
要使上述方程对任意的x都成立(=0)，则要求x各幂
y( x) ak xk a0 a1x a2x2 L ak xk L k 0
根据此解的形式，于是有：
y( x) kak xk1 k 1
a1 2a2 x 3a3x2 L kak xk1 L
y( x) k(k 1)ak xk2 k 2
dx2
dx
为 l 阶勒让德方程，不可直接求解
2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1
u
1
2
2u
2
2u z 2
0
u(,, z) R()()Z(z)
0
Z Z 0
d2R
d 2
1
dR
d
(
m2
2
)R
0
可直接求解 可直接求解 μ =0可直接求解
对第3个方程：
(1) 若 μ>0 ，作变换 x
x2
d2R dx2
x
dR dx
x2 m2
R0
为 m 贝塞尔方程，不可直接求解
(2) 若 μ<0 ，作变换 k 2, x k
x2 d2R x dR x2 m2 R 0 dx2 dx 为虚宗量贝塞尔方程，不可直接求解
次前的系数必须为0，即：
2a2 l(l 1)a0 0
6a3 l(l 1) 2a1 0
(k
2)(k
1)ak2
l(l
1)
k2
k ak
0
(k 2,3, 4,L )
解得系数间的递推关系：
ak 2
(k l)(l k 1) (k 2)(k 1)
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为
点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。
定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为
(2k 3)(2k 2) (2k 1 l)(l 2k 2)
1
1 k
1 k2
(l
1)(l
2)(1
1) k
4
6 k
(l
1)(l k2
2)
有界
根据高斯判别法，λ=1，级数ql(x)发散。
如果级数解 pl(x) 和 ql(x) 退化为有限项，即多 项式，则它们在x=±1处取有限数值，那么发散问
(2k
l)(2k
2 l)L
(2 l)(l)(l (2k 2)!
1)(l
3)L
(l
2k
1)
x2k2
L
如果l是某个偶数，l=2n(n是正整数)，则 pl(x)只到 x2n项为止，从x2n+2项起（上式彩色项），系数都含 有因子(2n-l)从而都为0。这样pl(x)不再是无穷级数 ，而是2n次多项式，并且只含偶次幂。至于pl(x)因 其系数不含(2n-l)，仍是无穷级数，且在x=±1处发 散。
uk uk 1
1
k
B(k) k2
其中B(k)是当k→∞时为k的有界函数，则当λ>1时级 数收敛，当λ≤ 1时级数发散。
对于足够大的k， pl(x)和ql(x) 均为正项级数。
对于pl(x)：
uk ak
(2k 2)!
(2k 2)(2k 1)
uk1 ak2 (2k )!(2k l)(l 2k 1) (2k l)(l 2k 1)
2)(l
4)L
(l 2k) a1
勒让德方程的解为：
y(x)
a0
1
(l)(l 2!
1)
x2
(2
l)(l)(l 4!
1)(l
3)
x4
L
(2k
2 l)(2k
4 l)L
(2 l)(l)(l (2k )!
1)(l
3)L
(l
2k
1)
2a2 3 2a3x 4 3a4 x2 L k(k 1)ak xk2 L
代入勒让德方程，可得：
(1 x2 ) k(k 1)ak xk2 2x kak xk1
k 2
k 1
l(l 1) ak xk 0 k 0
合并整理后可得：
d
d
sin
d
d
[l(l
1) sin2
]
0
对第3个方程作变量替换 x cos
(1
x
2
)
d2 dx2
2
x
d dx
l
(l
1)
1
m2 x
2
0
为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解
若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0
(1 x2 ) d2 2x d l(l 1) 0
1
1 k
1 k2
l(l
4
1)(1 1 ) k
2 k
l(l k2
1)
有界
根据高斯判别法，λ=1，级数pl(x)发散。
对于ql(x)：
uk ak
(2k 3)!
uk1 ak2 (2k 1)!(2k 1 l)(l 2k 2)
dx2
dx
d2 y 2x dy l(l 1) y 0 dx2 (1 x2 ) dx (1 x2 )
方程的系数：
p(x) 2x (1 x2 )
q(x) l(l 1) (1 x2 )
在 x0=0 ， 方 程 的 系 数 p(x0)=0 ， q(x0)=l(l+1) 单 值 且 为 有限值，因此它们必然在x0=0处解析，故x0=0为方 程的常点，根据常点邻域上解的定理11.1.2，解具有 泰勒级数形式：
x2k
L
a1
x
(1
l)(l 3!
2)
x3
(3
l)(1
l)(l 5!
2)(l
4)
x5
L
(2k
1 l)(2k
3 l)L (1 l)(l (2k 1)!
2)(l
4)L
(l
2k)
x 2 k 1
L
pl ( x) ql ( x)
d 2( z )
dz 2
p(z)
d( z)
dz
q( z )( z )
0
(11.1.1)
(z0 ) C0 (z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数， 称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选 定的点，C0和C1为复常数。
这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次 幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法) 为：
R lim ak a k
k2
lim k
(k 2)(k 1) (k l)(l k 1)
lim k
(1 2 )(1 1 ) kk
(1 l )(1 l 1)
(z) ak (z z0 )k a00(z) a11(z)
k 0
(11.1.2)
其中a0和a1为任意常数， ω0(z)和ω1(z)为在点z0解 析的两个线性独立的函数。
三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）
在x0=0的邻域求解 l 阶勒让德方程：
(1 x2 ) d2 y 2x dy l(l 1) y 0
k 2
k 4
2a2 6a3x (k 2)(k 1)ak2xk k 2
2kak xk 2a1x 2kak xk
k 1
k 2
l(l 1)ak xk l(l 1)a0 l(l 1)a1x l(l 1)ak xk
ak
(k 0,1, 2,L )
因此，若知道级数系数a0、a1，则可由上述递推公 式计算出任一系数ak(k=2,3,…)。
系数递推：
a2
(l)(l 1) 2!
a0
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(2
l)(l 43
3)
a2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
a0
…………….
a2k
(2k
2 l)(2k
第十一章 幂级数解法—本征值问题
王建东
沙河校区计算机楼东206 jdwang@
11.1二阶常微分方程的幂级数解法
11.1.1幂级数解法理论概述
一、分离变量法求解偏微分方程： 1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 r2
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2
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用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波 动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让 德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程 等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏 微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊 函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向 我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定 解问题。 不失一般性，我们讨论复变函数ω(z)的 线性二阶常微分方程：