高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.2二次函数的性质与图象自我小测新人教B版必修1

2.2.2 二次函数的性质与图象
自我小测
1．函数y＝x2－2x＋m的单调增区间为( )
A.(－∞，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－2，＋∞)
2．函数f(x)＝x2－mx＋4(m＞0)在(－∞，0]上的最小值是( )
A.4 B．－4 C．与m的取值有关 D．不存在
3．已知二次函数y＝6x－2x2－m的值恒小于零，那么实数m的取值范围为( )
A.
9
2
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
B.
9
,
2
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
C．{9} D．(－∞，9)
4．已知一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )
5．已知定义在R上的二次函数f(x)，对任意x∈R，有f(4－x)＝f(x)，且函数在区间(2，＋∞)上是增函数，则( )
A.f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(－25)＜f(80) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为
25
,4
4
⎡⎤
--
⎢⎥
⎣⎦
，则m的取值范围是( )
A.(0,4]
B.
3
,4
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C.
3
,3
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
D.
3
,
2
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为__________．
8．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上是减函数，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是__________．
9．若二次函数f(x)满足下列性质：
(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；
(2)图象关于x＝2对称；
(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)．
请写出函数f(x)的一个解析式__________(只要写出一个即可)．
10．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.
(1)当k＝1时，写出函数图象的对称轴方程、单调区间；
(2)当实数k为何值时，图象经过原点？
(3)当实数k在什么范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
11．定义在R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.
(1)当x＜0时，求f(x)的解析式．
(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．
参考答案
1. 解析：此二次函数的图象开口向上，且对称轴为x ＝1，所以其单调增区间为[1，＋∞)．
答案：B
2. 解析：∵函数f (x )的图象开口向上，且对称轴x ＝2
m
＞0， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝4. 答案：A
3. 解析：由题意，得Δ＝36－4×2m ＜0，则m ＞92
. 答案：B 4. 答案：D
5. 解析：因为对任意x ∈R ，有f (4－x )＝f (x )，所以二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.因为函数在(2，＋∞)上是增函数，所以抛物线开口向上．
又因为11离2最近，80离2最远，所以f (11)最小，f (80)最大． 所以f (11)＜f (－25)＜f (80)． 答案：C
6. 解析：函数y ＝x 2
－3x －4＝32x ⎛⎫-
⎪⎝⎭2－25
4
，作出图象如图所示：
由图象知对称轴为x ＝
32，f (0)＝－4，f 32⎛⎫
⎪⎝⎭
＝－254，f (3)＝－4， 若函数在[0，m ]上有最小值－
25
4
， 所以m ≥
32
. 若函数在[0，m ]上有最大值－4， 因为f (0)＝f (3)＝－4，
所以m≤3.
综上可知，3
2
≤m≤3.
答案：C
7.解析：由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，
所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，
所以S△ABC＝1
2
×4×4＝8.
答案：8
8.解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴为x＝1.
由f(x)在[0,1]上是减函数，可知a＞0，
所以f(m)≤f(0)可化为am2－2am＋c≤c，
即m2－2m≤0，得0≤m≤2.
答案：[0,2]
9.解析：二次函数的最小值为1，图象关于x＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，所以f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)．
答案：f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)
10. 解：(1)当k＝1时，函数y＝x2－2x，函数图象的对称轴方程为x＝1，函数的单调减区间为(－∞，1]，单调增区间为[1，＋∞)．
(2)当k2＋k－2＝0，即k＝－2或k＝1时，函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2的图象经过原点．
(3)因为函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2图象的顶点坐标为(k，k－2)，若函数图象的顶点在
第四象限内，则
20
k
k
>
⎧
⎨
<
⎩
，
－，
解得0＜k＜2.
11. 解：(1)设x＜0，则－x＞0，
f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴x＜0时，f(x)＝－4x2－8x－3.
(2)由(1)知f(x)＝
2
2
4(1)10
4(1)10
x x
x x
⎧≥
⎪
⎨
<
⎪⎩
－－＋，，－＋＋，，
∴y＝f(x)有最大值f(1)＝f(－1)＝1.
函数y＝f(x)的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]；单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)．。