(完整版)等差数列知识点及类型题

等差数列知识点及类型题
一、数列
由n a 与n S 的关系求n a
由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，
若不能，则用分段函数的形式表示为1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩。

〖例1〗
根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。

n
n n S a a 22
2
,0=+>
分析：
将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。

二、等差数列及其前n 项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；
（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2
n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数
列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例2〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2
n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{
1
n
S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。

【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n
－p (p ∈R)， 则{a n }的通项公式为________．
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：因为
11(1)222n S d d d
n a a n n =+-=+-，故数列{n S n
}是等差数列。

〖例3〗已知数列{n x }的首项1x =3，通项2(,,)n n x p nq n N p q *
=+∈为常数，且1x ，4x ，5x 成等差数列。

求：
（1）,p q 的值；
（2）数列{n x }的前n 项和n S 的公式。

分析：（1）由1x =3与1x ，4x ，5x 成等差数列列出方程组即可求出,p q ；（2）通过n x 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

★2、等差数列的简单性质：
已知数列{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和。

（1）若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+,特别：若m+n=2p ，则2m n p a a a +=。

（2）23,,,,m m k m k m k a a a a +++L 仍是等差数列，公差为kd; （3）数列232,,,m m m m m S S S S S L --也是等差数列； (4)若等差数列的项数为2(
)
+
∈N
n n ，则，奇偶nd S S =-1
+=n n
a a S S 偶奇； （5）若等差数列的项数为()
+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=
-，且n a S S =-偶奇，1
-=
n n S S 偶
奇 （6）{}{}{}{}{}{}也是等差数列。

是等差数列，则数列如果数列n n n n n n n n b q a p b a a c a c b a ⋅+⋅++⋅,,,, （其中c p q 、、均为常数）。

典型例题
1．等差数列{}n a 中, 若100,252==n n S S ，则=n S 3＝________；
2.（厦门）在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ ） A ．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=
4、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
7453n n A n B n +=+，则使得n n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6、已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为1
4
的等差数列，则|m －n |的值等于________．
7、在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．
8.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足73
3n n S n T n +=+，则88
a b = .
★等差数列的最值：
若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时， （1）若a 1>0,d<0,且满足10
n n a a +≥⎧⎨
≤⎩，前n 项和n S 最大；
（2）若a 1<0,d>0，且满足1
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩，前n 项和n S 最小；
（3）除上面方法外，还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函
数的图象或配方法求解，注意n N *∈。

〖例4〗在等差数列{}n a 中，161718936a a a a ++==-，其前n 项和为n S 。

（1）求n S 的最小值，并求出n S 取最小值时n 的值； （2）求12n n T a a a =++L 。

分析：（1）可由已知条件，求出a 1,d,利用10
n n a a +≥⎧⎨
≤⎩求解，亦可用n S 利用二次函数求最值；
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。

〖例5〗已知数列{}n a 是等差数列。

（1）若,(),;m n m n a n a m m n a +==≠求 （2）若,(),.m n m n S n S m m n S +==>求
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，满足关系式2S n ＝3a n －3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝
1
log 3a n ·log 3a n ＋1
，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正整数n ，总有T n <1.
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ） A ．13项 B ．14项 C ．15项 D ．16项
2. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a ，a 为常数，则公差d= （ ）
3. 在等差数列{a n } 中，若a 1+a 2=-18，a 5+a 6=-2，则30是这个数列的（ ） A ．第22项 B ．第21项 C ．第20项 D ．第19项
4. 已知数列a ，-15，b ，c
，45是等差数列，则a+b+c 的值是 （ ） A ．-5 B ．0 C ．5 D ．10
5. 已知等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=-15，a 3+a 4=-16，则a 1= （ ） A ．-1 B ．-3 C ．-5 D ．-7
6. 已知等差数列{a n }满足a 2+a 7=2a 3+a 4，那么这个数列的首项是 （ ）
7. 已知数列{a n }是等差数列，且a 3+a 11=40，则a 6+a 7+a 8等于 （ ） A ．84 B ． 72 C ．60 D ．43
8. 已知等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=3，则a 2+a 4= （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-1
9.已知数列{}n a ：3，7，11，15，19……，则191在此数列{}n a 中应是（ ） A ．第21项 B ．第41项 C ．第48项 D ．第49项
10. 已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1
(1)(1)12
n n S n a =++-
（1）求证：数列{}n a 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式
（3）设数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，
求M 的最小值，若不存在，试说明理由。

等差数列知识点及类型题
一、数列
由n a 与n S 的关系求n a
由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，
若不能，则用分段函数的形式表示为1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩。

〖例1〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。

n
n
n S a
a 22
2
,0=+>
分析：
将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。

解答：
二、等差数列及其前n 项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；
（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2
n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数
列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例2〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2
n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{
1
n
S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。

分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g →1n S 与1
1n S -的关系→结论； （2）由
1
n
S 的关系式→n S 的关系式→n a
解答：（1）等式两边同除以1n n S S -g 得11n S --1n S +2=0，即1n S -11n S -
=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =1
1
a =2为
首项，以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知
1n S =11S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =1
2n
,当n ≥2时，n a =2n S ·1n S -=12(1)n n -。

又∵112a =，不适合上式，故1
(1)
2
1(2)
2(1)
n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨
⎪≥-⎪⎩。

【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n －p (p ∈R)，则{a n }的通项公式为________．
∵a 1＝1，∴2a 1＝2pa 21＋a 1－p ， 即2＝2p ＋1－p ，得p ＝1. 于是2S n ＝2a 2n ＋a n －1.
当n ≥2时，有2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1，两式相减，得2a n ＝2a 2n －2a 2
n －1＋a n －a n －1，
整理，得2(a n ＋a n －1)·(a n －a n －1－1
2
)＝0.
又∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，于是{a n }是等差数列，故a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋1
2
.
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：因为
11(1)222n S d d d
n a a n n =+-=+-，故数列{n S n
}是等差数列。

〖例3〗已知数列{n x }的首项1x =3，通项2(,,)n n x p nq n N p q *
=+∈为常数，且1x ，4x ，5x 成等差数列。

求：
（1）,p q 的值；
（2）数列{n x }的前n 项和n S 的公式。

分析：（1）由1x =3与1x ，4x ，5x 成等差数列列出方程组即可求出,p q ；（2）通过n x 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：（1）由1x =3得23p q +=……………………………………①
又45
4515424,25,2x p q x p q x x x =+=++=且，得55
32528p q p q ++=+…………………②
由①②联立得1,1p q ==。

（2）由（1）得2n n
n x +=，
（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

★2、等差数列的简单性质：
已知数列{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和。

（1）若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+,特别：若m+n=2p ，则2m n p a a a +=。

（2）23,,,,m m k m k m k a a a a +++L 仍是等差数列，公差为kd; （3）数列232,,,m m m m m S S S S S L --也是等差数列； (4)若等差数列的项数为2(
)
+
∈N
n n ，则，
奇偶nd S S =-1
+=n n a a
S S 偶奇； （5）若等差数列的项数为()
+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=
-，且n a S S =-偶奇，1
-=
n n S S 偶
奇 （6）{}{}{}{}{}{}也是等差数列。

是等差数列，则数列如果数列n n n n n n n n b q a p b a a c a c b a ⋅+⋅++⋅,,,, （其中c p q 、、均为常数）。

典型例题
1．等差数列{}n a 中, 若100,252==n n S S ，则=n S 3＝_____225___；
2.（厦门）在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ A ） A ．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 24
4、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
7453n n A n B n +=+，则使得n n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6、已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为1
4的等差数列，则|m －n |的值等于________．
如图所示，易知抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与y ＝x 2－2x ＋n 有相同的对称轴x ＝1，它们与x 轴的四个交点依次为A 、B 、C 、D .
因为x A ＝14，则x D ＝7
4
.
又|AB |＝|BC |＝|CD |，所以x B ＝34，x C ＝5
4
.
故|m －n |＝|14×74－34×54|＝1
2
.
7、在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．
设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，
∴d ＝59.
∴数列{a n }为递增数列．
令a n ≤0，∴－3＋(n －1)·59≤0，∴n ≤32
5
，
∵n ∈N *
.
∴前6项均为负值，∴S n 的最小值为S 6＝－29
3
.
8.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足
73
3n n S n T n +=
+，则88
a b = 6 . ★等差数列的最值：
若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时，
（1）若a 1>0,d<0,且满足1
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩，前n 项和n S 最大；
（2）若a 1<0,d>0，且满足10
n n a a +≤⎧⎨≥⎩，前n 项和n S 最小；
（3）除上面方法外，还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函
数的图象或配方法求解，注意n N *∈。

〖例4〗在等差数列{}n a 中，161718936a a a a ++==-，其前n 项和为n S 。

（1）求n S 的最小值，并求出n S 取最小值时n 的值； （2）求12n n T a a a =++L 。

分析：（1）可由已知条件，求出a 1,d,利用1
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩求解，亦可用n S 利用二次函数求最值；
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。

解答：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，∵
179
1617181717336,12,3,179
a a a a a a a d -++==-∴=-∴=
=-91(9)363,360
n n a a n d n a n +∴=+-=-=-g ，令1
3630
,:2021,3600n n a n n a n +=-≤⎧≤≤⎨
=-≥⎩得 202120[60(3)]
6302
S S ⨯-+-∴===-，∴当n=20或21时，n S 最小且最小值为-630.
（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。

∴2(60363)3123
21.222n n n n n S n n -+-≤=-=-
=-+当时，T
2212122(60363)3123
21221260.
222
3123(21)22
.
31231260(21)22
n n n n n n T S S S n n n n n T n n n -+->=-=-=-+⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩当时，综上， 〖例5〗已知数列{}n a 是等差数列。

（1）若,(),;m n m n a n a m m n a +==≠求 （2）若,(),.m n m n S n S m m n S +==>求 解答：设首项为1a ，公差为d ， （1）由,m n a n a m ==，1n m
d m n
-=
=-- ∴()(1)0.m n
m a a m n m d n n +=++-=+⨯-=
（2）由已知可得11
(1)2,(1)2n n m na d m m n ma d -⎧
=+⎪⎪⎨
-⎪=+⎪⎩解得221.2()
n m mn m n a mn m n d mn ⎧++--=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩
1()(1)
()()2
m n m n m n S m n a d m n +++-∴=++=-+
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，满足关系式2S n ＝3a n －3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1
log 3a n ·log 3a n ＋1
，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正整数n ，总有T n <1.
(1)解 ①当n ＝1时，由2S n ＝3a n －3得，2a 1＝3a 1－3， ∴a 1＝3.
②当n ≥2时，由2S n ＝3a n －3得， 2S n －1＝3a n －1－3.
两式相减得：2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，即2a n ＝3a n －3a n －1， ∴a n ＝3a n －1，又∵a 1＝3≠0，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝3n . 验证：当n ＝1时，a 1＝3也适合a n ＝3n . ∴{a n }的通项公式为a n ＝3n .
(2)证明 ∵b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1
log 33n ·log 33n ＋1
＝1(n ＋1)n ＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)
＝1－1n ＋1
<1.
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ） A ．13项 B ．14项 C ．15项 D ．16项
2. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a ，a 为常数，则公差d= （ ）
3. 在等差数列{a n } 中，若a 1+a 2=-18，a 5+a 6=-2，则30是这个数列的（ ） A ．第22项 B ．第21项 C ．第20项 D ．第19项
4. 已知数列a ，-15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c 的值是 （ ） A ．-5 B ．0 C ．5 D ．10
5. 已知等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=-15，a 3+a 4=-16，则a 1= （ ） A ．-1 B ．-3 C ．-5 D ．-7
6. 已知等差数列{a n }满足a 2+a 7=2a 3+a 4，那么这个数列的首项是 （ ）
7. 已知数列{a n }是等差数列，且a 3+a 11=40，则a 6+a 7+a 8等于 （ ） A ．84 B ． 72 C ．60 D ．43
8. 已知等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=3，则a 2+a 4= （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-1
9.已知数列{}n a ：3，7，11，15，19……，则191在此数列{}n a 中应是（ ） A ．第21项 B ．第41项 C ．第48项 D ．第49项
10. 已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1
(1)(1)12
n n S n a =++-
（1）求证：数列{}n a 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式
（3）设数列
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+1
1
n
n
a
a
的前n项和为
n
T，是否存在实数M，使得M
T
n
≤对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。