2020-2021学年河南省郑州市郊县高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试卷（理科）
试题数：23，总分：150
1.（单选题，5分）| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=（）
A.1
B. $\sqrt{5}$
C. $\frac{5}{3}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
2.（单选题，5分）若f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$），则f′（ $\frac{π}{6}$）=（）
A.1
B.-1
C.- $\frac{1}{2}$
D.0
3.（单选题，5分）新型冠状病毒的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布N（7，σ2），若P（X≤3）=0.128，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为（）
A.0.372
B.0.256
C.0.128
D.0.744
4.（单选题，5分）给出下列说法：
① 若某大学中女大学生的体重y（单位：kg关于身高x（单位：cm）的线性回归方程为
$\hat{y}$ =0.849x-85，则当某女大学生身高为172cm时，其体重一定是61.028kg；
② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ，$\overline{y}$ ）；
③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1；
④ 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，且带
状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高；
⑤ 在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．
其中正确的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
5.（单选题，5分）从分别标有0，1，2，…，9的10张卡片中不放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是（）
A. $\frac{5}{18}$
B. $\frac{5}{9}$
C. $\frac{4}{9}$
D. $\frac{7}{9}$
6.（单选题，5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，且排课时“射”必须在“御”的后面，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）
A.120种
B.240种
C.480种
D.360种
7.（单选题，5分）若（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，则x2的系数为（）
A.15
B.20
C.30
D.35
8.（单选题，5分）下列说法中正确的是（）
A.哥德巴赫猜想属于类比推理
B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是归纳推理
C.演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，若大前提正确则结论必然正确
D.反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同
9.（单选题，5分）用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}＞\frac{n}{2}-1$ （n∈N*，n＞1）时，以下说法正确的是（）
A.第一步应该验证当n=1时不等式成立
B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$
C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加（2k-1-1）项
D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项
10.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2021项为
（）
A. ${C}_{63}^{3}$
B. ${C}_{63}^{4}$
C. ${C}_{64}^{3}$
D. ${C}_{64}^{4}$
11.（单选题，5分）已知函数f（x）=
$\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx}，x＞1\\{x}^{3}-3x+1，
x≤1\end{array}\right.$ ，若方程f（x）=k至少有三个不同的实
根，则实数k的取值范围为（）
A.（e，3）
B.（e，3]
C.[e，3]
D.[e，3）
12.（单选题，5分）函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）
A.（-∞，-1）∪（0，1）
B.（0，1）∪（1，+∞）
C.（-∞，-1）∪（-1，0）
D.（-1，0）∪（1，+∞）
13.（填空题，5分）已知a＞0，则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ ．
14.（填空题，5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派4名，每人去1个社区，每个社区至少有1名志愿者，则不同的选派方案有 ___ 种．
15.（填空题，5分）在圆内画1条直线，将圆分割成两部分；画2条相交直线，将圆分割成4部分；画3条直线，将圆最多分割成7部分；画4条直线，将圆最多分割成11部分；…；那么在圆内画10条直线，将圆最多分割成 ___ 部分．
16.（填空题，5分）若函数f（x）=2x3-ax2+b在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，则
a+b=___ ．
17.（问答题，12分）已知曲线f（x）= $\frac{2}{x}$ ．求：
（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线方程；
（2）过点Q（-3，2）的曲线f（x）的切线方程．
18.（问答题，12分）已知函数f（x）=x3-12x+6．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-5，5]上有三个不同的零点，求实数a的取值范围．19.（问答题，12分）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到如表及相关数据．
i
（1）请从相关系数的角度，分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型；
（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程（计算结果精确到0.01）；
（3）在（2）的条件下，设z=y-x且x∈[4，+∞），试求z的最大值（计算结果精确到
0.01）．
参考公式：回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中， $\hat{b}$ =
$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-
\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ； $\hat{a}$ =
$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ，相关系数r=
$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-
\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-
\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ ．
20.（问答题，12分）某中学为了促进学生对数学文化的了解，举办了一系列的活动，其中一项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏，且为一一对应的关系，参加连线的同学每连对一个得1分，连错得0分．
（1）假定某学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列和数学期望；
（2）若某同学的得分X≥2，则称这位同学“对数学文化了解较好”；若得分X＜2，则称这位同学“对数学文化了解较差”．某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关，统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况，得到如下2×2列联表，请根据列联表，判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关？
男生女生合计得分X≥2280 120 400
得分X＜2 120 80 200 合计400 200 600
P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828
21.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x-a（x+2），其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．
22.（问答题，10分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（2，0），倾斜角为α，以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
ρ=ρcos2θ+4cosθ．
（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于不同两点A，B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2
$\overrightarrow{MB}$ ，求直线l的直角坐标方程．
23.（问答题，0分）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：
（1） $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ；
（2） $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ ．
2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
试题数：23，总分：150
1.（单选题，5分）| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=（）
A.1
B. $\sqrt{5}$
C. $\frac{5}{3}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
【正确答案】：A
【解析】：根据已知条件，结合复数模的公式，即可求解．
【解答】：解： $|\frac{1+2i}{2-i}|=\frac{|1+2i|}{|2-
i|}=\frac{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}{\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$ ．故选：A．
【点评】：本题考查了复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.（单选题，5分）若f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$），则f′（ $\frac{π}{6}$）=（）
A.1
B.-1
C.- $\frac{1}{2}$
D.0
【正确答案】：B
【解析】：先求f′（x）再把 $\frac{π}{6}$代入即可解决此题．
【解答】：解：∵f′（x）=-sin（x+ $\frac{π}{3}$），∴f′（ $\frac{π}{6}$）=-sin
$\frac{π}{2}$ =-1．
故选：B．
【点评】：本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．
3.（单选题，5分）新型冠状病毒的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布N（7，σ2），若P（X≤3）=0.128，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为（）
A.0.372
B.0.256
C.0.128
D.0.744
【正确答案】：C
【解析】：利用正态分布曲线的对称性分析求解即可．
【解答】：解：因为μ=7，
所以P（X≥11）=P（X≤3）=0.128．
故选：C．
【点评】：本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．
4.（单选题，5分）给出下列说法：
① 若某大学中女大学生的体重y（单位：kg关于身高x（单位：cm）的线性回归方程为
$\hat{y}$ =0.849x-85，则当某女大学生身高为172cm时，其体重一定是61.028kg；
② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ，$\overline{y}$ ）；
③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1；
④ 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，且带
状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高；
⑤ 在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．
其中正确的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【正确答案】：B
【解析】：利用线性回归方程的特点及两个变量的相关性与相关系数的关系判断可得．
【解答】：解：对于① ，把x=172 代入回归方程 $\hat{y}$ =0.849x-85，y′=0.849x-85.712，得到y′=61.028，所以女大学生的体重大约为61.028（kg），不是一定是61.028，故① 错误，对于② ，线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心
（ $\overline{x}$ ， $\overline{y}$ ），故② 正确，
对于③ ，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r，的值越接近于±1，故③ 错误，对于④ ，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，
这样的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故④ 错误，
对于⑤ ，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归
的效果越好，故⑤ 正确．
故选：B．
【点评】：本题主要考查了命题的真假判断，统计基本知识，线性回归方程及两个变量的相关性，属于基础题．
5.（单选题，5分）从分别标有0，1，2，…，9的10张卡片中不放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是
（）
A. $\frac{5}{18}$
B. $\frac{5}{9}$
C. $\frac{4}{9}$
D. $\frac{7}{9}$
【正确答案】：B
【解析】：记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“，记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”，利用古典概型的概率公式先求出P（A），P（B），然后利用条件概率的概率公式求解即可．
【解答】：解：记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“，
记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”，
所以P（A）= $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ ，
P（AB）= $\frac{5}{10}×\frac{5}{9}=\frac{5}{18}$ ，
所以 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{18}}{\frac{1}{2}}$ = $\frac{5}{9}$ ．
故选：B．
【点评】：本题考查了古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
6.（单选题，5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，且排课时“射”必须在“御”的后面，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）
A.120种
B.240种
C.480种
D.360种
【正确答案】：D
【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算全部的安排方法数目，而其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，据此分析可得答案．
【解答】：解：根据题意，每艺安排一节，连排六节，有 ${A}_{6}^{6}$ =720种排法，
其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，
故排课时“射”在“御”的后面的排法有 $\frac{1}{2}$ ×720=360种，
故选：D．
【点评】：本题考查排列组合的应用，注意“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，属于基础题．
7.（单选题，5分）若（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，则x2的系数为（）
A.15
B.20
C.30
D.35
【正确答案】：C
【解析】：直接令x=1即可求得结论．
【解答】：解：（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，
令x=1可得：（1+1）•（1+1）n=128⇒n=6；则x2的系数为：
${C}_{6}^{2}+{C}_{6}^{4}$ =30．
故选：C．
【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
8.（单选题，5分）下列说法中正确的是（）
A.哥德巴赫猜想属于类比推理
B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是归纳推理
C.演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，若大前提正确则结论必然正确
D.反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同
【正确答案】：D
【解析】：由归纳推理和类比推理、演绎推理和反证法的概念，可判断正确结论．
【解答】：解：哥德巴赫猜想属于归纳推理，故A错误；
由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是类比推理，故B错误；
演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，只有大前提和小前提均正确，结论才正确，故C错误；
反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同，故D正确．
故选：D．
【点评】：本题考查推理的几种形式，考查推理能力，属于基础题．
9.（单选题，5分）用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}＞\frac{n}{2}-1$ （n∈N*，n＞1）时，以下说法正确的是（）
A.第一步应该验证当n=1时不等式成立
B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$
C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加（2k-1-1）项
D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项
【正确答案】：D
【解析】：利用数学归纳法的解题方法进行分析，弄清从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式，即可得到答案．
【解答】：解：由于n∈N*，n＞1，
所以第一步应该是验证当n=2时不等式成立，
从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k-1}+1}+\frac{1}{{2}^{k-
1}+2}+\bullet \bullet \bullet +\frac{1}{{2}^{k}}$ ，共2k-1项．
故选：D．
【点评】：本题考查了数学归纳法的理解与应用，要掌握用数学归纳法证明恒等式的步骤，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
10.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2021项为
（）
A. ${C}_{63}^{3}$
B. ${C}_{63}^{4}$
C. ${C}_{64}^{3}$
D. ${C}_{64}^{4}$
【正确答案】：B
【解析】：根据题意，分析可得杨辉三角中，第n行有n项，由
此求出前63行的项数，据此分析可得第2021项是第64行的第
5项，即可得答案．
【解答】：解：根据题意，杨辉三角中，第n行有n项，则前n行共有1+2+……+n=
$\frac{n(n+1)}{2}$ 项，
则前63行共有 $\frac{63×64}{2}$ =2016项，
故第2021项是第64行的第5项，为 ${C}_{63}^{4}$ ，
故选：B．
【点评】：本题考查归纳推理的应用，注意分析每一行中数字的个数，属于基础题．
11.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx}，x＞1\\{x}^{3}-3x+1，x≤1\end{array}\right.$ ，若方程f（x）=k至少有三个不同的实根，则实数k的取值范围为（）
A.（e，3）
B.（e，3]
C.[e，3]
D.[e，3）
【正确答案】：C
【解析】：对f（x）求导分析f（x）单调性，作出函数图象，结合图使得直线y=k与函数f （x）的图象至少有三个交点，即可得出答案．
【解答】：解：当x＞1时，f（x）= $\frac{x}{lnx}$ ，则f′（x）= $\frac{lnx-1}{(lnx)^{2}}$ ，令f′（x）=0，得x=e，
当1＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x=e时，f（x）取得最小值f（e）=e，
当x≤1时，f（x）=x3-3x+1，则f′（x）=3x2-3，
令f′（x）=0，得x=-1或x=1，
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x=-1时，f（x）取得最大值f（-1）=3，
所以f（e3）= $\frac{{e}^{3}}{3}$ ＞3，f（ $\sqrt{e}$ ）=2 $\sqrt{e}$ ＞3，f（0）=1＜e，f （-2）=-1＜e，
作出f（x）的大致图象，如图所示：
由图可知当k∈[e，3]时，直线y=k与函数f（x）的图象至少有三个交点，
从而方程f（x）=k至少有三个不同的实数根．
故选：C．
【点评】：本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．12.（单选题，5分）函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）
A.（-∞，-1）∪（0，1）
B.（0，1）∪（1，+∞）
C.（-∞，-1）∪（-1，0）
D.（-1，0）∪（1，+∞）
【正确答案】：D
【解析】：构造函数F（x）= $\frac{f(x)}{x}$ ，由函数的单调性和奇偶性可得原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F(x)＜0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x ＜0}\\{F(x)＞0}\end{array}\right.$ ，结合图象可得．
【解答】：解：构造函数F（x）= $\frac{f(x)}{x}$ ，则F（x）为偶函数且x≠0，
求导数可得F′（x）= $\frac{f′(x)x-f(x)x′}{{x}^{2}}$ = $\frac{xg(x)-f(x)}{{x}^{2}}$ ，
∵当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，∴F′（x）＜0，
∴函数F（x）在（0，+∞）单调递减，
由函数为偶函数可得F（x）在（-∞，0）单调递增，
由f（1）=0可得F（1）=0，
∴f（x）＜0等价于xF（x）＜0
等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F(x)＜0}\end{array}\right.$ 或
$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F(x)＞0}\end{array}\right.$ ，
解得x∈（1-，0）∪（1，+∞）
故选：D．
【点评】：本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数并利用函数的性质是解决问题的关键，属中档题．
13.（填空题，5分）已知a＞0，则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ ．
【正确答案】：[1] $\frac{π{a}^{2}}{4}$
【解析】：根据已知条件，将原式转化为半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积，即可求解．
【解答】：解：由定积分的几何意义可知， ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ 表示的是半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积，
∴ ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ = $\frac{π{a}^{2}}{4}$．
故答案为： $\frac{π{a}^{2}}{4}$ ．
【点评】：本题考查了定积分的几何含义，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
14.（填空题，5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，
从这6名志愿者中选派4名，每人去1个社区，每个社区至少有1名志愿者，则不同的选派方案有 ___ 种．
【正确答案】：[1]540
【解析】：先从6人中选出4人，再对4人选派即可求解．
【解答】：解：先从这6名志愿者中选派4名有C ${}_{6}^{4}$ 种选法，
这4名志愿者中．有2名去了同一个社区，其他2名志愿者各去一个社区，
故不同的选派方案有C ${}_{6}^{4}{C}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}=540$ ，
故答案为：540．
【点评】：本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在圆内画1条直线，将圆分割成两部分；画2条相交直线，将圆分割成4部分；画3条直线，将圆最多分割成7部分；画4条直线，将圆最多分割成11部分；…；那么在圆内画10条直线，将圆最多分割成 ___ 部分．
【正确答案】：[1]56
【解析】：根据题意，归纳线段的数目与将圆最多分割成多少部分之间的关系，将n=10代入计算可得答案．
【解答】：解：根据题意，在圆内画1条线段，将圆分割成：1+1=2部分；
画2条相交线段，将圆分割成：1+1+2=4部分；
画3条相交线段，将圆最多分割成：1+1+2+3=7部分；
画4条相交线段，将圆最多分割成：1+1+2+3+4=11部分；
由此归纳推理，猜想：
在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成：a n=1+1+2+3+…+n=1+
$\frac{n(n+1)}{2}$ 部分，
故当n=10时，有a10=1+ $\frac{10×11}{2}$ =56，
在圆内画10条直线，将圆最多分割成56部分．
故答案为：56．
【点评】：本题考查归纳推理的应用，注意分析变化的规律，属于基础题．
16.（填空题，5分）若函数f（x）=2x3-ax2+b在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，则
a+b=___ ．
【正确答案】：[1]-1或5
【解析】：先讨论函数f（x）在[0，1]上的单调性，进而确定最大值和最小值在何时取，再建
立关于a，b的方程，解方程即可得答案．
【解答】：解：$f′(x)=6x^{2}-2ax=6x(x-\frac{a}{3})$ ．令f′（x）=0，得x=0或
$x=\frac{a}{3}$ ．
① 当a＜0时，函数f（x）在 $(-∞，\frac{a}{3})$ 和（0，+∞）上单调递增，在
$(\frac{a}{3}，0)$ 上单调递减，
所以f（x）在[0，1]上单调递增，
所以f（0）=-1，f（1）=1，代入解得b=-1，a=0，与 a＜0矛盾．
② 当a=0时，函数f（x）在R上单调递增，所以f（0）=-1，f（1）=1，代入解得
$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ ．
③ 当0＜a⩽3时，函数f（x）在（-∞，0）和 $(\frac{a}{3}，+∞)$上单调递增，在 $(0，
\frac{a}{3})$ 上单调递减，
所以f（x）在[0，1]上最小值为 $f(\frac{a}{3})=-\frac{a^{3}}{27}+b$ ，最大值为f（0）=b
或f（1）=2-a+b．
若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1，b=1$ ，则 $a=3\sqrt[3]{2}$ ，与0＜a⩽3矛盾．
若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1，2-a+b=1$ ，则 $a=3\sqrt{3}$ 或 $a=-3\sqrt{3}$ 或a=0，与0
＜a⩽3矛盾．
④ 当a＞3时，函数f（x）在（-∞，0）和 $(\frac{a}{3}，+∞)$上单调递增，在 $(0，
\frac{a}{3})$ 上单调递减，
所以f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）在[0，1]的上最大值为f（0），最小值为f（1），即 $\left\{\begin{array}{l}b=1\\ 2-a+b=-1\end{array}\right.$ ，解得
$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$
综上，当 $\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ 或
$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$ 时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，所以a+b的值为-1或5．
故答案为：-1或5．
【点评】：本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数学抽象和数学运算的核心素养，属于难题．
17.（问答题，12分）已知曲线f（x）= $\frac{2}{x}$ ．求：
（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线方程；
（2）过点Q（-3，2）的曲线f（x）的切线方程．
【正确答案】：
【解析】：求出原函数的导函数．
（1）求出函数在x=1处的导数，得到求出的斜率，再由直线方程的点斜式得答案；
（2）设切点为（ ${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$ ），求出曲线f（x）在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，可得切点横坐标，进一步可得过点Q的切线方程．
【解答】：解：由f（x）= $\frac{2}{x}$ ，得f′（x）= $-\frac{2}{{x}^{2}}$ ．
（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线的斜率k=f′（1）=-2，
∴所求切线方程为y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0；
（2）设切点为（ ${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$ ），则所求切线的斜率为$f′({x}_{0})=-
\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$ ，
∴所求切线方程为 $y-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(x-{x}_{0})$ ，
由点Q（-3，2）在切线上可知， $2-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(-3-{x}_{0})$ ，整理得： ${{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-3=0$ ，解得x0=3或x0=-1．
故所求的切线方程为2x+9y-12=0或2x+y+4=0．
【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分“在某点处”与“过某点处”，考查运算求解能力，是中档题．
18.（问答题，12分）已知函数f（x）=x3-12x+6．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-5，5]上有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）对f（x）求导，判断f（x）的单调性，再确定f（x）的极值即可；
（2）由条件可知，函数y=f（x）的图像与直线y=a在区间[-5，5]上有3个不同的交点，根
据函数f（x）的图象，结合条件求出a的取值范围．
【解答】：解：（1）f′（x）=3x2-12=3（x-2）（x+2）．
令f′（x）=0，解得x=2或x=-2．
当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上单词递增，在（-2，2）上单调递减，
∴函数f（x）的极大值为f（-2）=22，极小值为f（2）=-10．
（2）由题意知，方程f（x）=a在区间[-5，5]上有3个不同的实数根，
即函数y=f（x）的图像与直线y=a在区间[-5，5]上有3个不同的交点．
∵f（5）=71＞22，f（-5）=-59＜-10，
∴结合（1）及函数f（x）的图象，可知-10＜a＜22，
故实数a的取值范围为（-10，22）．
【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，根据函数的零点求参数的范围，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．
19.（问答题，12分）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到如表及相关数据．
x 0.25 0.5 1 2 4
1
y 16 12 5 2
表中t i= $\frac{1}{{x}_{i}}$ ．
（1）请从相关系数的角度，分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型；
（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程（计算结果精确到0.01）；
（3）在（2）的条件下，设z=y-x且x∈[4，+∞），试求z的最大值（计算结果精确到
0.01）．
参考公式：回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中， $\hat{b}$ =
$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-
\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ； $\hat{a}$ =
$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ，相关系数r=
$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-
\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-
\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ ．
【正确答案】：
【解析】：（1）计算相关系数，利用相关系数绝对值的大小判断；（2）把数据代入公式计算；（3）判断函数单调性求最值．
【解答】：解：（1）令 $t=\frac{1}{x}$ ，数据整理得：
\overline{x})^{2}=9.3$
模型y=a+bx的相关系数 ${r}_{1}=\frac{-32.8}{39.86}≈-0.82$ ；
模型y=c+kt的相关系数 ${r}_{2}=\frac{38.45}{39.86}≈0.96$；
因为|r2|＞|r1|，所以y=c+kx-1适宜作为y关于x的回归方程类型．
（2） $\overline{t}=\overline{x}=1.55，\overline{y}=7.2$ ；
$\hat{k}=\frac{38.45}{9.3}≈4.13，\hat{c}=\hat{y}-\hat{k}\overline{t}≈0.80$
所以y关于x的回归方程为 $y=0.80+\frac{4.13}{x}$ ．
（3） $z=y-x=0.80+\frac{4.13}{x}-x，x≥4$
因为 $z=0.80+\frac{4.13}{x}-x$ 在[4，+∞）上单调递减．
所以z的最大值为 $0.80+\frac{4.13}{4}-4≈-2.17$ ．
【点评】：本题考查非线性回归模型、线性回归模型、函数的最值，属于中档题．
20.（问答题，12分）某中学为了促进学生对数学文化的了解，举办了一系列的活动，其中一
项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏，且为一一对应的关系，参加连线的同学每连对一个得1分，连错得0分．
（1）假定某学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列和数
学期望；
（2）若某同学的得分X≥2，则称这位同学“对数学文化了解较好”；若得分X＜2，则称这位同
学“对数学文化了解较差”．某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关，统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况，得到如下2×2列联表，请根据
列联表，判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关？
男生女生合计得分X≥2280 120 400
得分X＜2 120 80 200 合计400 200 600
P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828
【正确答案】：
【解析】：（1）分别求出X值为0，1，2，4的概率，即可得X的分布列，再结合期望公式，即可求解．
（2）根据已知条件，运用独立性随机检验公式，即可求解．
【解答】：解：（1）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，4，
则P（X=0）= $\frac{3}{8}$ ，P（X=1）= $\frac{1}{3}$ ，P（X=2）= $\frac{1}{4}$ ，P （X=4）= $\frac{1}{24}$ ，
∴X的分布列为
（2）由题意可得，K2的现测值为k= $\frac{600×(280×80-
120×120)^{2}}{400×200×400×200}=6$ ，
∵6＞3.841，
∴有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关．
【点评】：本题考查了离散型随机变量的概率与期望，以及独立性检验公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
21.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x-a（x+2），其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）求导函数，根据导数符号与函数单调性之间的关系分a⩽0和a＞0两种情况分别求出单调性即可；
（2）题意等价于即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0，+∞）上恒成立，当x=0时显然成立，当x＞0时，等价于 $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ ，构造新函数求最值即可求出a的取值范围．
【解答】：解：（1）f′（x）=e x-a．
当a⩽0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna．
当x＞lna时，f′（x）＞0，当x＜lna时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减．
综上所述，当a⩽0时，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减．
（2）由 $f(x)⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ，得 $e^{x}-ax-
2a⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ，
即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0，+∞）上恒成立．
当x=0时，0=0，显然成立．
当x＞0时， $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ ．
令 $g(x)=\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}，x＞0$ ，
则$g′(x)=\frac{(x-1)e^{x}}{x^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{2(x-
1)e^{x}-(x^{3}+x^{2}-2)}{2x^{2}}$ = $\frac{2(x-1)e^{x}-(x-
1)(x^{2}+2x+2)}{2x^{2}}=\frac{2(x-1)[e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1)]}{2x^{2}}$ ．
令 $h(x)=e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1)，x＞0，h′(x)=e^{x}-(x+1)$ ，h′′（x）=e x-1＞0，所以h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
则h′（x）=e x-（x+1）＞h′（0）=0恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞e0-（0+0+1）=0，∴h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
令g′（x）=0，得x=1，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∴ $g(x)_{min}=g(1)=e-\frac{7}{4}$ ，∴ $a⩽e-\frac{7}{4}$ ，
故所求实数a的取值范围为 $(-∞，e-\frac{7}{4}]$ ．
【点评】：本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数单调性和最值，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数在处理恒成立问题中的应用，属于难题．
22.（问答题，10分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（2，0），倾斜角为α，以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
ρ=ρcos2θ+4cosθ．
（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于不同两点A，B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2
$\overrightarrow{MB}$ ，求直线l的直角坐标方程．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据已知条件，结合参数直线方程的定义，以及极坐标公式x=ρcosθ，
y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，即可求解．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 （α≠0），根据韦达定理，可得 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}，{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-
\frac{8}{si{n}^{2}α}$，再结合条件 $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ，可得tan2α=4，即可求解．
【解答】：解：（1）直线l的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数），
∵ρ=ρcos2θ+4cosθ，
∴ρ2=ρ2cos2θ+4ρcosθ，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，
∴x2+y2=x2+4x，即y2=4x，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 （α≠0），
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}，{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-\frac{8}{si{n}^{2}α}$① ，
∵ $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ，
∴t1=-2t2② ，
将② 代入① 可得，tan2α=4，
∴k=±2，
∴直线l的直角坐标方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0．
【点评】：本题考查了直线l的参数方程和曲线的极坐标方程，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
23.（问答题，0分）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：
（1） $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ；
（2） $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ ．。