分数指数幂、无理数指数幂 (经典公开课)

1．计算4 163的结果为( A )
A．8
B．4
C．2
D．18
3
3
解析：由题意可得4 163＝164＝(24)4＝23＝8.
2．根式
1 a
1a的分数指数幂的形式为( D )
解析：
题型 2◆利用分数指数幂的运算性质化简与求值
典例 1
A．x C．1
化简 x·3 x2(x>0)的结果是( A ) 6 x B．x2 D． x
a3是否可以写成 这方面的知识．
…呢？今天这一节课我们就要学习
二、提出问题
1．amn，a (a>0)如何写成根式形式？
2．amn，a 中 a≤0 是否有意义？
3．amn (a>0，m，n∈N*，n>1)是否表示mn 个 a 相乘？
[学习目标]
1.通过对有理数幂
am n
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)含义的认识，
11
11
1．化简(a3b2)2÷(a2b4)(a>0，b>0)的结果为( A )
A．a
B．b
C．ab
D．ba
解析：
2．( 2)0－(1－0.5－2)÷28723的值为( D )
A．－13
B．13
C．43
D．73
解析：原式＝1－(1－22)÷322＝1－(－3)×49＝73.
题型 3◆条件求值问题
关于分数指数幂的教学，建议从根式的性质入手，将一些特殊的根式转 化为整数指数幂，再将整数指数转化为分数指数，引出根式与分数指数 幂的互化，对运算性质作进一步推广．对于无理数指数幂及其运算性质 只需给出定义，让学生了解即可．
一、导入新课 我们已经知道 aa，aaa，aaaa，…可以写成 a2，a3，a4，…，那么 a， a2，
没有意义 ．
2．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q). 3．无理数指数幂：无理数指数幂 aα(a>0，α 为无理数)是一个确定的
实数 ．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
1
典例 已知 a2＋a ＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
1
解：(1)将 a2＋a ＝4 两边平方，得 a＋a－1＋2＝16，故 a＋a－1＝14. (2)由(1)知 a＋a－1＝14，两边平方，得 a2＋a－2＋2＝196，故 a2＋a－2＝194.
[题点延伸] 在本典例条件不变的前提下，分别求 a－a－1 和 a2－a－2 的值．
了解指数幂的拓展过程．(数学抽象) 2.掌握指数幂的运算性质．(数学运
算)
1．分数指数幂的概念
(1)前提条件：a>0，m，n∈N*且 n>1.
(2)意义 ①正分数指数幂：amn＝ n am ；②负分数指数幂：a
1
＝
am n
1 ＝ n am .
(3)特殊情况：①0 的正分数指数幂等于 0 ；②0 的负分数指数幂
3
已知 x＋x－1＝3，则 x2＋x A．±4 5 C．4 5
的值为( B ) B．2 5 D．－4 5
解析：因为 x＋x－1＝3，所以 x即(x2＋x )2＝5，所以 x2＋x ＝ 5，
3
1
所以 x2＋x ＝(x2＋x )(x－1＋x－1)＝ 5×(3－1)＝2 5.
第四章
指数函数与对数函数
4.1 指数 课时2 分数指数幂、无理数指数幂
分数指数幂及其运算是初中学习的整数指数幂的延伸，同时又是指数函 数学习的基础，熟练掌握分数指数幂的运算性质对学好指数函数有很好 的促进作用． 教材首先通过正数指数幂，将指数化为分数，从而引出分数指数幂，进 一步推广得出分数指数幂与根式的转化，并将分数指数幂的运算性质扩 充到有理数指数幂，最后引入无理数指数幂并且将运算性质进一步扩充 到实数集．
解析：原式＝x
＝x.
典例 2 计算：0.027 －－16－2＋810.75＋190－3－1＝ －5 .
解析：0.027 －－16－2＋810.75＋190－3－1＝130 －3－1＝130－36＋27＋1－13＝－5.
－－16－2＋3
＋1
指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后 要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
解：令 a－a－1＝t，则两边平方得 a2＋a－2＝t2＋2， 所以 t2＋2＝194，即 t2＝192，所以 t＝±8 3， 即 a－a－1＝±8 3. 故 a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8 3×14＝±112 3.
解决条件求值的思路 (1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先 对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入 法求值． (2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
题型 1◆根式与分数指数幂的互化 典例 1 将根式5 a－3化为分数指数幂是( A )
解析：由于n am＝amn，故5 a－3＝a .
典例 2 3 a· a的分数指数幂表示为( A ) 解析：
根式化为分数指数幂的关键与方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂 的转化式子：amn＝n am和 a ＝a1mn，其中字母 a 要使式子有意义．