3自由度并联机器人的运动学与动力学分析_刘善增
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本文基于一种空间自由度并联机器人3rrs并联机器人的运动学特性分析了此并联机构的约束方程与位姿关系给出了个位姿变量之间的显示表达式并利用lagrange方程推导了3rrs并联机器人的动力学方程进而对此并联机器人的动力学特性进行了分析
第 45 卷第 8 期 2009 年 8 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vo l . 4 5 N o . 8 Aug. 2009
DOI：10.3901/JME.2009.08.011
3 自由度并联机器人的运动学与动力学分析*
刘善增 1, 2 余跃庆 1 佀国宁 1 杨建新 1 苏丽颖 1
(1. 北京工业大学机械工程与应用电子技术学院 北京 100124； 2. 中国矿业大学机电学院 徐州 221116)
1 3-RRS 并联机器人的运动学分析
一种空间 3 自由度并联机器人的结构简图，如 图 1 所示。它由一个动平台 P1P2P3，三条支链 BiCiPi(i=1, 2, 3)和一个静平台(基座)B1B2B3 组成。其 中，动平台通过球面副(S 副)与各支链连接，静平台 通过转动副(R 副)与各支链连接，且 Bi 处转动副的 轴线与 Ci(i=1, 2, 3)处转动副的轴线对应平行。分别 建立与动平台固结的局部(动)坐标系 Pxyz 和系统 (固定)坐标系 OXYZ，如图 1 所示，坐标系的原点 P 和 O 分别位于动平台和静平台的几何中心，轴 z 和 Z 分别垂直于动、静平台向上，轴 x、y 与 X、Y 分 别平行和垂直于上、下平台的边 P2P3 与 B2B3。局部 定坐标系 Bixiyizi (i=1, 2, 3)的 xi 轴与 Bi 处转动副轴线 一致，zi 垂直于静平台 B1B2B3 向上，yi 轴同时垂直 于 xi 和 zi 轴。
Kinematic and Dynamic Analysis of a Three-degree-of-freedom Parallel Manipulator
LIU Shanzeng1, 2 YU Yueqing1 SI Guoning1 YANG Jianxin1 SU Liying1
(1. College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124;
12
机械工程学报
第 45 卷第 8 期期
点：可以满足大多数工业操作的需要，机构的复杂 度和成本较低，运动学和动力学模型较简单，控制 较容易。因此，3 自由度并联机器人具有广阔的应 用前景。如 1983 年，HUNT[1]提出的 3-RPS 机构， 由于它能实现两个转动和一个移动而得到广泛的应 用。LEE 等[2-3]对 3-RPS 机构作了运动学和动力学 分析，并将此机构直接作为了 3 自由度机器人操作 器的主臂。GOSSELIN 等[4]分析了平面 3 自由度并 联机器人运动学最优设计问题。FANG 等[5-6]研究了 3-RPS 并联机构的微分运动学问题，并采用螺旋理 论分析了 3-RPS、3-RRS 和 3-TPT 等并联机构的瞬 时运动特性。FANG 等[7]研究了基于 3-RSR 并联机 器人对称结构的 3 自由度机构的位置显示解析正 解 。 李 剑 锋 [8] 基 于 系 统 微 分 运 动 关 系 ， 分 析 了 3-RPS、3-RRS、3-RSR 等并联机构的运动学和动力 学问题。CARRETERO 等[9]分析了 3-PRS 并联机器 人的运动学问题，并利用非线性优化方法对系统的有 关参数进行了优化分析。WANG 等[10]通过添加配重 和弹簧研究了 3-RRS 并联机器人的静平衡问题。然而， 由于少自由度并联机构的种类和数目很多，对少自由 度并联机构运动学和动力学特性的认识还很不足。
本文基于一种空间 3 自由度并联机器人(3-RRS 并联机器人)的运动学特性，分析了此并联机构的约 束方程与位姿关系，给出了 6 个位姿变量之间的显 示表达式，并利用 Lagrange 方程推导了 3-RRS 并联 机器人的动力学方程，进而对此并联机器人的动力 学特性进行了分析。这些研究内容对深刻认识 3-RRS 并联机器人的动态特性具有重要意义，对研 究其他少自由度并联机器人的运动学和动力学问题 也具有重要的参考价值。
摘要：对一种空间 3 自由度并联机器人(3-RRS 并联机器人)进行运动学和动力学分析。此并联机器人的机构由一个动平台和 一个静平台通过 3 个同样的转动副—转动副—球面副的支链组成。完全描述此并联机器人动平台的位置和姿态需要 6 个变量， 即平台上一参考点的 3 个位移和 3 个转角。由于此并联机器人拥有 2 个转动自由度和 1 个移动自由度，所以，在动平台的 6 个位 姿变量中只有 3 个变量是独立的。首先，推导此种并联机器人动平台的 6 个位姿参数之间的约束关系，给出这些变量之间的解析 表达式。然后，基于 Lagrange 方程建立此并联机器人的动力学模型。在此基础上，通过算例分析驱动构件角速度、驱动力/力矩和 能耗的变化规律。这些内容为进一步研究此种空间并联机器人的动态性能、机构优化设计和系统控制等都有非常重要的意义。 关键词：并联机器人 运动学 动力学 Lagrange 方程 位姿 中图分类号：TH112 TP24
0 前言*
并联机器人结构的特殊性，使它具有串联机器
* 国家自然科学基金(50575002, 60705036, 50875002)、北京市教委科技 发展计划(KM200610005003)和北京市自然科学基金(3062004) 资助 项目。20080823 收到初稿，20090201 收到修改稿
人所不具有的优点，这引起了国际学术界的广泛关 注。大多数 6-DOF 并联机器人以 Stewart 平台结构 为基础，然而，在许多场合应用的机器人只需要部 分自由度(2～5 自由度)就可以满足使用要求。所以， 近年来少自由度并联机器人，尤其是 3 自由度并联 机构成为了机器人技术研究的新热点。3 自由度并 联机器人与 6 自由度并联机器人相比具有如下优
月 2009 年 8 月
刘善增等：3 自由度并联机器人的运动学与动力学分析
13
⎛ ⎜ ⎝
Pi 1
⎞ ⎟ ⎠ XYZ
=
T
⎛ ⎜
⎝
pi 1
⎞ ⎟ ⎠ xyz
(4)
式中，Pi 和 pi 分别表示动平台 P1P2P3 上球铰中心处 点 Pi(i=1, 2, 3) 在系统坐标系 OXYZ 和局部动坐标 系 Pxyz 中的位置矢量。
图 1 3-RRS 并联机器人示意图
设此 3-RRS 并联机器人的动平台和静平台均为 等边三角形，并且动、静平台的几何中心到各个顶 点的距离分别为 lppi =r，lOBi =R(i=1, 2, 3)。那么，在 系统坐标系 OXYZ 下，静平台上转动副 Bi(i=1, 2, 3) 处的坐标
⎛ ⎜−
3
R
⎞ ⎟
⎛ ⎜
3
R
⎞ ⎟
⎛0⎞
B1
=
⎜ ⎜
R
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜2⎟
⎜
⎟
B2
=⎜ ⎜ ⎜
−1R 2
⎟ ⎟ ⎟
⎜2 ⎟
⎜⎟
B3
=
⎜ ⎜ ⎜
−
1 2
R
⎟ ⎟ ⎟
(1)
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
同理，在局部(动)坐标系 Pxyz 下，动平台上球
面副 Pi(i=1, 2, 3)处的坐标
⎛ ⎜−
3
oi oj ok
ai aj ak
Xp Yp
⎞ ⎟ ⎟
Z
p
⎟ ⎟
(3)
⎝0 0 0 1表示坐标系 Pxyz 中
x、y 和 z 轴的三个单位主矢相对于坐标系 OXYZ 的
方向余弦，(Xp Yp Zp)T 是 P 点在系统坐标系 OXYZ
下的位置坐标。
那么，在系统坐标系 OXYZ 下，动平台上球铰 中心处 Pi(i=1, 2, 3)点的坐标可以表示为
2. School of Mechanical and Electrical Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116)
Abstract：The primary goal is the kinematic and dynamic analysis of a spatial 3 degree-of-freedom parallel manipulator (a 3-RRS parallel manipulator). The architecture of the mechanism is comprised of a moving platform attached to a fixed platform through three identical revolute-revolute-spherical jointed serial linkages. A complete description of the position and orientation of the moving platform with respect to the reference frame requires six variables, i.e., the three Cartesian coordinates of a reference point on the moving platform and three angles. However, since the parallel manipulator has two degrees of orientation freedom and one degree of translatory freedom, which implies that only three variables can be specified independently. Firstly, the constraint equations describing the inter-relationship between the six motion coordinates of the moving platform are derived. Closed form solutions to the constraint equations are found which provide the constrained variables as functions of the unconstrained (specified) variables. Some significant conclusions are drawn from the closed form solutions. Then, the dynamic equations of the parallel manipulator are presented on the basis of Lagrange equation. Based on the dynamic model, the angular velocities, the driving force or torque and consumed energy of the actuators are analyzed through an example. The analysis provides necessary information for dynamic performance analysis, optimal design and control of the parallel mechanism. Key words：Parallel manipulator Kinematics Dynamics Lagrange equation Position and orientation
r
⎞ ⎟
⎛ ⎜
3
r
⎞ ⎟
⎛0⎞
p1
=
⎜ ⎜
r
⎟ ⎟
⎜⎝ 0⎟⎠
⎜ 2⎟
⎜
⎟
p2
=⎜ ⎜ ⎜
−1r 2
⎟ ⎟ ⎟
⎜2 ⎟
⎜⎟
p3
=
⎜ ⎜
−
⎜
1 2
r
⎟ ⎟ ⎟
(2)
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
设从局部动坐标系 Pxyz 到系统(固定)坐标系
OXYZ 的变换矩阵
T
=
⎛ ⎜ ⎜
ni nj
⎜ ⎜
nk
第 45 卷第 8 期 2009 年 8 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vo l . 4 5 N o . 8 Aug. 2009
DOI：10.3901/JME.2009.08.011
3 自由度并联机器人的运动学与动力学分析*
刘善增 1, 2 余跃庆 1 佀国宁 1 杨建新 1 苏丽颖 1
(1. 北京工业大学机械工程与应用电子技术学院 北京 100124； 2. 中国矿业大学机电学院 徐州 221116)
1 3-RRS 并联机器人的运动学分析
一种空间 3 自由度并联机器人的结构简图，如 图 1 所示。它由一个动平台 P1P2P3，三条支链 BiCiPi(i=1, 2, 3)和一个静平台(基座)B1B2B3 组成。其 中，动平台通过球面副(S 副)与各支链连接，静平台 通过转动副(R 副)与各支链连接，且 Bi 处转动副的 轴线与 Ci(i=1, 2, 3)处转动副的轴线对应平行。分别 建立与动平台固结的局部(动)坐标系 Pxyz 和系统 (固定)坐标系 OXYZ，如图 1 所示，坐标系的原点 P 和 O 分别位于动平台和静平台的几何中心，轴 z 和 Z 分别垂直于动、静平台向上，轴 x、y 与 X、Y 分 别平行和垂直于上、下平台的边 P2P3 与 B2B3。局部 定坐标系 Bixiyizi (i=1, 2, 3)的 xi 轴与 Bi 处转动副轴线 一致，zi 垂直于静平台 B1B2B3 向上，yi 轴同时垂直 于 xi 和 zi 轴。
Kinematic and Dynamic Analysis of a Three-degree-of-freedom Parallel Manipulator
LIU Shanzeng1, 2 YU Yueqing1 SI Guoning1 YANG Jianxin1 SU Liying1
(1. College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124;
12
机械工程学报
第 45 卷第 8 期期
点：可以满足大多数工业操作的需要，机构的复杂 度和成本较低，运动学和动力学模型较简单，控制 较容易。因此，3 自由度并联机器人具有广阔的应 用前景。如 1983 年，HUNT[1]提出的 3-RPS 机构， 由于它能实现两个转动和一个移动而得到广泛的应 用。LEE 等[2-3]对 3-RPS 机构作了运动学和动力学 分析，并将此机构直接作为了 3 自由度机器人操作 器的主臂。GOSSELIN 等[4]分析了平面 3 自由度并 联机器人运动学最优设计问题。FANG 等[5-6]研究了 3-RPS 并联机构的微分运动学问题，并采用螺旋理 论分析了 3-RPS、3-RRS 和 3-TPT 等并联机构的瞬 时运动特性。FANG 等[7]研究了基于 3-RSR 并联机 器人对称结构的 3 自由度机构的位置显示解析正 解 。 李 剑 锋 [8] 基 于 系 统 微 分 运 动 关 系 ， 分 析 了 3-RPS、3-RRS、3-RSR 等并联机构的运动学和动力 学问题。CARRETERO 等[9]分析了 3-PRS 并联机器 人的运动学问题，并利用非线性优化方法对系统的有 关参数进行了优化分析。WANG 等[10]通过添加配重 和弹簧研究了 3-RRS 并联机器人的静平衡问题。然而， 由于少自由度并联机构的种类和数目很多，对少自由 度并联机构运动学和动力学特性的认识还很不足。
本文基于一种空间 3 自由度并联机器人(3-RRS 并联机器人)的运动学特性，分析了此并联机构的约 束方程与位姿关系，给出了 6 个位姿变量之间的显 示表达式，并利用 Lagrange 方程推导了 3-RRS 并联 机器人的动力学方程，进而对此并联机器人的动力 学特性进行了分析。这些研究内容对深刻认识 3-RRS 并联机器人的动态特性具有重要意义，对研 究其他少自由度并联机器人的运动学和动力学问题 也具有重要的参考价值。
摘要：对一种空间 3 自由度并联机器人(3-RRS 并联机器人)进行运动学和动力学分析。此并联机器人的机构由一个动平台和 一个静平台通过 3 个同样的转动副—转动副—球面副的支链组成。完全描述此并联机器人动平台的位置和姿态需要 6 个变量， 即平台上一参考点的 3 个位移和 3 个转角。由于此并联机器人拥有 2 个转动自由度和 1 个移动自由度，所以，在动平台的 6 个位 姿变量中只有 3 个变量是独立的。首先，推导此种并联机器人动平台的 6 个位姿参数之间的约束关系，给出这些变量之间的解析 表达式。然后，基于 Lagrange 方程建立此并联机器人的动力学模型。在此基础上，通过算例分析驱动构件角速度、驱动力/力矩和 能耗的变化规律。这些内容为进一步研究此种空间并联机器人的动态性能、机构优化设计和系统控制等都有非常重要的意义。 关键词：并联机器人 运动学 动力学 Lagrange 方程 位姿 中图分类号：TH112 TP24
0 前言*
并联机器人结构的特殊性，使它具有串联机器
* 国家自然科学基金(50575002, 60705036, 50875002)、北京市教委科技 发展计划(KM200610005003)和北京市自然科学基金(3062004) 资助 项目。20080823 收到初稿，20090201 收到修改稿
人所不具有的优点，这引起了国际学术界的广泛关 注。大多数 6-DOF 并联机器人以 Stewart 平台结构 为基础，然而，在许多场合应用的机器人只需要部 分自由度(2～5 自由度)就可以满足使用要求。所以， 近年来少自由度并联机器人，尤其是 3 自由度并联 机构成为了机器人技术研究的新热点。3 自由度并 联机器人与 6 自由度并联机器人相比具有如下优
月 2009 年 8 月
刘善增等：3 自由度并联机器人的运动学与动力学分析
13
⎛ ⎜ ⎝
Pi 1
⎞ ⎟ ⎠ XYZ
=
T
⎛ ⎜
⎝
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(4)
式中，Pi 和 pi 分别表示动平台 P1P2P3 上球铰中心处 点 Pi(i=1, 2, 3) 在系统坐标系 OXYZ 和局部动坐标 系 Pxyz 中的位置矢量。
图 1 3-RRS 并联机器人示意图
设此 3-RRS 并联机器人的动平台和静平台均为 等边三角形，并且动、静平台的几何中心到各个顶 点的距离分别为 lppi =r，lOBi =R(i=1, 2, 3)。那么，在 系统坐标系 OXYZ 下，静平台上转动副 Bi(i=1, 2, 3) 处的坐标
⎛ ⎜−
3
R
⎞ ⎟
⎛ ⎜
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⎛0⎞
B1
=
⎜ ⎜
R
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜2⎟
⎜
⎟
B2
=⎜ ⎜ ⎜
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⎟ ⎟ ⎟
⎜2 ⎟
⎜⎟
B3
=
⎜ ⎜ ⎜
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1 2
R
⎟ ⎟ ⎟
(1)
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
同理，在局部(动)坐标系 Pxyz 下，动平台上球
面副 Pi(i=1, 2, 3)处的坐标
⎛ ⎜−
3
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Z
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⎟ ⎟
(3)
⎝0 0 0 1表示坐标系 Pxyz 中
x、y 和 z 轴的三个单位主矢相对于坐标系 OXYZ 的
方向余弦，(Xp Yp Zp)T 是 P 点在系统坐标系 OXYZ
下的位置坐标。
那么，在系统坐标系 OXYZ 下，动平台上球铰 中心处 Pi(i=1, 2, 3)点的坐标可以表示为
2. School of Mechanical and Electrical Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116)
Abstract：The primary goal is the kinematic and dynamic analysis of a spatial 3 degree-of-freedom parallel manipulator (a 3-RRS parallel manipulator). The architecture of the mechanism is comprised of a moving platform attached to a fixed platform through three identical revolute-revolute-spherical jointed serial linkages. A complete description of the position and orientation of the moving platform with respect to the reference frame requires six variables, i.e., the three Cartesian coordinates of a reference point on the moving platform and three angles. However, since the parallel manipulator has two degrees of orientation freedom and one degree of translatory freedom, which implies that only three variables can be specified independently. Firstly, the constraint equations describing the inter-relationship between the six motion coordinates of the moving platform are derived. Closed form solutions to the constraint equations are found which provide the constrained variables as functions of the unconstrained (specified) variables. Some significant conclusions are drawn from the closed form solutions. Then, the dynamic equations of the parallel manipulator are presented on the basis of Lagrange equation. Based on the dynamic model, the angular velocities, the driving force or torque and consumed energy of the actuators are analyzed through an example. The analysis provides necessary information for dynamic performance analysis, optimal design and control of the parallel mechanism. Key words：Parallel manipulator Kinematics Dynamics Lagrange equation Position and orientation
r
⎞ ⎟
⎛ ⎜
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⎛0⎞
p1
=
⎜ ⎜
r
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⎜⎝ 0⎟⎠
⎜ 2⎟
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−1r 2
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设从局部动坐标系 Pxyz 到系统(固定)坐标系
OXYZ 的变换矩阵
T
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⎛ ⎜ ⎜
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