第一讲 一 平面直角坐标系

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[证明] 如图，以 A 为坐标原点，AB 所 在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系．
设 B(a,0)，C(b，c)， 则 AC 的中点 E 的坐标为b2，2c，由对称性知 D(b－a，c)， 所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， 所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
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一
平面直角坐标系
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1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 (有序 实数对)、曲线与 方程 建立了联系，从而实现 数与形的结合．
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(2)坐标法解决几何问题的三步骤： 第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉 及的 几何 元素，将几何问题转化为 代数 问题； 第二步：通过代数运算解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成 几何结论．
立平面直角坐标系(如图所示)，则点
C
的轨迹方程为x2＋y2＝ 43
1(y≠0)．
易知点 D 也在此椭圆上，要使平行四边形 ACBD 的面积最
大，则 C，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积 S＝12×2 3×2 ＝2 3 km2.
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(2)因
为
修
建农
艺
园的
可
能范
围
在
椭圆
x2 4
＋y32
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5．求 4x2－9y2＝1 经过伸缩变换yx′′＝＝32yx， 后的图形所对应
的方程． 解：由伸缩变换xy′′＝＝32yx，， 得yx＝＝1312yx′′，，
将其代入 4x2－9y2＝1，得 4·12x′2－9·13y′2＝1. 整理得 x′2－y′2＝1.
∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法
研究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点
P(x ， y) 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 ， 在 变 换 φ ：
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“应用创新演练”见“课时跟踪检测(一)” (单击进入电子文档)
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[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为 C，D，由围墙总长
为 8 km，得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，
由椭圆的定义知，点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长
2a＝4，焦距 2c＝2 的椭圆(去除落在直线 AB 上的两点)．
以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建
x′＝λ·xλ＞0 y′＝μ·yμ＞0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称
伸缩变换．
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用坐标法解决几何问题
[例 1] 在平行四边形 ABCD 中，求证：|AC|2＋|BD|2＝ 2(|AB|2＋|AD|2)．
[ 思路点拨] 首先在平行四边形 ABCD 所在的平面内建 立平面直角坐标系，找出点 A，B，C，D 的坐标，再依据两 点间的距离公式即可证得结论．
故曲线 C 的方程为 x2＋y2＝1.
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坐标伸缩变换 φ：xy′′＝＝μλxyλμ＞＞00， 注意变换中的系数 均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在 同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变 换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线 方程也可求伸缩变换 φ.
＝1(y≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直
线 l：y＝ 33(x＋1)被椭圆截得的弦长，如图所示．
由yx4＝2＋3y332＝x＋1 1，
得 13x2＋8x－32＝0，
则 x1＋x2＝－183，x1x2＝－3123，那么弦长 L＝
＝ 1＋ 332· －1832－4×－3123＝4183， 故暂不加固的部分长为4183 km.
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用坐标法解决几何问题
[例 3] 伸缩变换的坐标表达式为yx′′＝＝4xy，， 曲
线 C 在此变换下变为椭圆 x′2＋y1′62＝1，求曲线 C 的 方程．
[解] 设 P(x，y)为曲线 C 上的Biblioteka Baidu意一点．
把xy′′＝＝4xy， 代入 x′2＋y1′62＝1，得 x2＋y2＝1，
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6．若函数 y＝f(x)的图象在伸缩变换 φ：xy′′＝＝32yx， 的作用 下得到曲线的方程为 y′＝3sinx′＋π6，求函数 y＝f(x) 的最小正周期．
解：由题意，把变换公式代入方程 y′＝3sinx′＋π6得 3y＝ 3sin2x＋π6，整理得 y＝sin2x＋π6，故 f(x)＝sin2x＋π6.所以 y ＝f(x)的最小正周期为22π＝π.
1＋k2|x1－x2|
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运用解析法解决实际问题的步骤 (1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用 已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已 知点和已知直线作为原点和坐标轴． (2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的 点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．
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根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则 (1)如果图形有对称中心，选对称中心为原点； (2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
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用平面直角坐标系解决实际问题 [例 2] 已知某荒漠上有两个定点 A，B，它们相距 2 km， 现准备在荒漠上围垦一片以 AB 为一条对角线的平行四边形 区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为 8 km. (1)问农艺园的最大面积能达到多少； (2)该荒漠上有一条水沟 l 恰好经过点 A，且与 AB 成 30° 的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的 水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加 固，问暂不加固的部分有多长．