2024届天津市河西区环湖中学九年级数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2024届天津市河西区环湖中学九年级数学第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列各点在抛物线2
44y x x =-+上的是（ ） A ．()0,4
B ．()3,1-
C ．()2,3--
D ．17,24⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ 2．某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择： 方案一：是12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元（第一年年薪20000元）；
方案二：是6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元（第6个月末发薪水10000元）；
但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，认为哪种方案对员工更有利？（ ） A ．方案一 B ．方案二
C ．两种方案一样
D ．工龄短的选方案一，工龄长的选方案二
3．已知二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为 ( ) A ．a>b B ．a<b C ．a ＝b
D ．不能确定
4．如图，ABC ∆中，70CAB ∠=，在同一平面内，将ABC ∆绕点A 旋转到AED ∆的位置，使得//DC AB ，则旋转角等于（ ）
A ．30
B ．40
C ．50
D ．60
5．将抛物线 的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．在△ABC 中，∠C＝90°，sinA ＝
4
5
，则tanB 等于( )
A ．
43
B ．
34
C ．
35
D ．
45
7．已知如图，ABC 中，AB AC =，点D 在AB 边上，且AD BD BC ==，则A ∠的度数是（ ）．
A ．18︒
B ．36︒
C ．54︒
D ．72︒
8．若0ab >，则一次函数y ax b =-与反比例函数ab
y x
=
在同一坐标系数中的大致图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
9．下列运算正确的是（ ） A ．a •a 1＝a
B ．（2a ）3＝6a 3
C ．a 6÷a 2＝a 3
D ．2a 2﹣a 2＝a 2
10．关于x 的一元二次方程2430x x +-=根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根
D ．没有实数根
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为__________． 12．在平面直角坐标系中，反比例函数k
y x
=
的图象经过点(),4A m ，(6,6B -，则m 的值是__________． 1310_____1．（填“＞”、“=”或“＜”）
14．方程22x x =的根是________．
15．请写出一个位于第一、三象限的反比例函数表达式，y = ．
16．等腰三角形的底角为15°，腰长为20cm ，则此三角形的面积为 ．
17．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 是AB 上的任意一点，作PD AC ⊥于点D ，PE CB ⊥于点E ，连结DE ，则DE 的最小值为________．
18．如图，在⊙O 内有折线DABC ，点B ，C 在⊙O 上，DA 过圆心O ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC ＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数abc （百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ），若满足a+c=b ，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F （abc ）=ac ．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F （374）=3×
4=1． （1）对于“欢喜数abc ”，若满足b 能被9整除，求证：“欢喜数abc ”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m ，n （m ＞n ），若F （m ）﹣F （n ）=3，求m ﹣n 的值．
20．（6分）如图，在ABCD 中，,M N 分别是,AD BC 的中点，90AND ∠=︒，连接CM 交DM 于点O ．
（1）求证：ABN CDM ≌；
（2）过点C 作CE MN ⊥于点E ，交DN 于点P ，若1,12PE =∠=∠，求AN 的长．
21．（6分）如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，1BO =，3CO =，3
2
AO =
，92
DO =
.
(1)求证：.A D ∠=∠
(2)若AE BE =，求证：.CF DF =
22．（8分）已知函数21(2)23y x m x m =-+++，22y nx k n =+-(m ，n ，k 为常数且≠0) (1)若函数1y 的图像经过点A (2,5)，B (-1,3)两个点中的其中一个点，求该函数的表达式. (2)若函数1y ，2y 的图像始终经过同一个定点M . ①求点M 的坐标和k 的取值
②若m ≤2，当-1≤x ≤2时，总有1y ≤2y ，求m +n 的取值范围.
23．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． （1）△ABC 绕着点C 顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1； （2）求△ABC 旋转到△A 1B 1C 时，1BB 的长．
24．（8分）如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m 在第一象限交于点P(6，2)，A 、B 为直线上的两点，点A 的
横坐标为2，点B的横坐标为1．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．
(1) 求反比例函数y=与直线y=x+m的函数关系式
(2)求梯形ABCD的面积．
25．（10分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图1摆放，点D为AB边的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC=2.
（1）求证：△ADC∽△APD；
（2）求△APD的面积；
（3）如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．
26．（10分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外其余完全相同．王颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 480 600 1800
摸到白球的频率m
n
0.65 0.62 0.593 0.604 0.6 0.6 0.6
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）（2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分) 1、A
【分析】确定点是否在抛物线上，分别把x=0 , 3，-2，12
-代入2
44y x x =-+中计算出对应的函数值，再进行判断即可.
【题目详解】解：当0x =时，2
04044y =-⨯+=, 当3x =时,2
34341y =-⨯+= ,
当2x =-时，()()2
242416y =--⨯-+=, 当12x =-时，2112344224y x ⎛⎫⎛⎫=--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 所以点()0, 4在抛物线2
44y x x =-+上．
故选:A ． 2、B
【分析】根据题意分别计算出方案一和方案二的第n 年的年收入，进行大小比较，从而得出选项. 【题目详解】解：第n 年：
方案一： 12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元， 第一年：20000元 第二年：20500元 第三年：21000元
第n 年：20000+500（n-1）=500n+19500元，
方案二：6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元， 第一年：20125元 第二年：20375元 第三年：20625元
第n 年：10000+250（n-1）+10000+250（n-1）+125=500n+19625元， 由此可以看出方案二年收入永远比方案一，故选方案二更划算； 故选B. 【题目点拨】
本题考查方案选择，解题关键是准确理解题意根据题意列式比较方案间的优劣进行分析. 3、D
【解题分析】∵二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a≠0)有最小值，∴a>0，∵无论b 为何值，此函数均有最小值，∴a 、b 大小无法确定． 4、B
【分析】由平行线的性质得出DCA CAB ∠=∠,由旋转的性质可知AC AD =,则有DCA ADC ∠=∠,然后利用三角形内角和定理即可求出旋转角CAD ∠的度数． 【题目详解】
//DC AB
70DCA CAB ∴∠=∠=︒
由旋转的性质可知AC AD =
70DCA ADC ∴∠=∠=︒
180180707040CAD DCA ADC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
所以旋转角等于40° 故选：B ． 【题目点拨】
本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质和旋转的性质，掌握旋转角的概念及平行线的性质，等腰三角形的性质和旋转的性质是解题的关键． 5、B
【解题分析】根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可.
【题目详解】y =2x 2向右平移2个单位得y=2（x ﹣2）2，再向上平移3个单位得y =2（x ﹣2）2+3. 故选B. 【题目点拨】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k （a ，b ，c 为常数，a ≠0），确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 6、B
【解题分析】法一，依题意△ABC 为直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=
4
5
，∵22cos sin 1B B +=，
∴sinB=3
5
,∵tanB=
sin
cos
B
B
=
3
4
故选B
法2，依题意可设a=4,b=3,则c=5，∵tanb=
3
4
b
a
故选B
7、B
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可列出方程求解.
【题目详解】设∠A=x．
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x；
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x，
∴∠DBC=x；
∵x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=36°
故选：B
【题目点拨】
考核知识点：等腰三角形性质.熟练运用等腰三角形基本性质是关键.
8、C
【分析】根据ab>0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．
【题目详解】解：.A.根据一次函数可判断a>0，b<0，即ab<0，故不符合题意，
B. 根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意，
C. 根据一次函数可判断a<0，b<0，即ab>0，根据反比例函数可判断ab>0，故符合题意，
D.根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意．
故选：C．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质是解决问题的关键．
9、D
【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．【题目详解】A．a•a1＝a2，故本选项不合题意；
B ．（2a ）3＝8a 3，故本选项不合题意；
C ．a 6÷a 2＝a 4，故本选项不合题意；
D .2a 2﹣a 2＝a 2，正确，故本选项符合题意． 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查的是幂的运算，比较简单，需要牢记幂的运算公式. 10、A
【分析】先写出a b c ，，的值，计算24b ac -的值进行判断. 【题目详解】
143a b c ===-，，
224441(3)1612280=b ac -=⨯⨯-=+=∴∆>- ∴方程有两个不相等的实数根
故选A 【题目点拨】
本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当>0∆时，方程有两个不相等的实数根；当=0∆时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根，熟记公式并灵活应用公式是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共24分) 11、
14
【分析】采用列表法列举所有的可能性，找出数字和为4的倍数的情况数，再根据概率公式求解. 【题目详解】由题意，列表如下：
总共的可能性由36种，其中和为4的倍数的情况有9种，
所以数字之和为4的倍数的概率P=9361=4
， 故答案为
14
. 【题目点拨】
本题考查简单概率的计算，熟练掌握列表法求概率是解题的关键. 12、32
-
【分析】将点B 的坐标代入反比例函数求出k ，再将点A 的坐标代入计算即可；
【题目详解】（1）将(B 代入k
y x
=
得，k ＝=-6， 所以，反比例函数解析式为6y x =-， 将点(),4A m 的坐标代入得6
4m
=-
所以m ＝3
2-，
故填：3
2
-.
【题目点拨】
此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法求解析式. 13、＞．
【解题分析】先求出 【题目详解】∵12=9＜10，
＞1， 故答案为＞．
【题目点拨】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
14、x 1＝0，x 1＝1
【分析】先移项，再用因式分解法求解即可． 【题目详解】解：∵22x x =， ∴22=0x x -， ∴x(x-1)=0， x 1＝0，x 1＝1．
故答案为：x 1＝0，x 1＝1．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
15、2y x =（答案不唯一）. 【题目详解】设反比例函数解析式为k y x =
， ∵图象位于第一、三象限，∴k ＞0，
∴可写解析式为2y x
=（答案不唯一）. 考点：1.开放型；2.反比例函数的性质．
16、100
【解题分析】试题分析：先作出图象，根据含30°角的直角三角形的性质求出腰上的高，再根据三角形的面积公式即可求解．
如图，
∵∠B=∠C=15°
∴∠CAD=30°
∴CD=AC=10
∴三角形的面积
考点：本题考查的是三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；30°角的所对的直角边等于斜边的一半．
17、4.8
【分析】连接CP ，根据矩形的性质可知：DE CP =，当DE 最小时，则CP 最小，根据垂线段最短可知当CP AB ⊥时，则CP 最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP 的长．
【题目详解】Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，
10AB ∴=，
连接CP ，
PD AC ⊥于点D ，
PE CB ⊥于点E ， ∴四边形DPEC 是矩形，
DE CP ∴=，
当DE 最小时，则CP 最小，根据垂线段最短可知当CP AB ⊥时，则CP 最小， 68 4.810
DE CP ⨯∴===．
故答案为：4.8．
【题目点拨】
本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE 的最小值转化为其相等线段CP 的最小值．
18、1
【分析】作OE ⊥BC 于E ，连接OB ，根据∠A 、∠B 的度数易证得△ABD 是等边三角形，由此可求出OD 、BD 的长，设垂足为E ，在Rt △ODE 中，根据OD 的长及∠ODE 的度数易求得DE 的长，进而可求出BE 的长，由垂径定理知BC =2BE 即可得出答案．
【题目详解】作OE ⊥BC 于E ，连接OB ．
∵∠A ＝∠B ＝60°，
∴∠ADB ＝60°，
∴△ADB 为等边三角形，
∴BD ＝AD ＝AB ＝12，
∵OA ＝8，
∴OD ＝4，
又∵∠ADB ＝60°，
∴DE ＝12
OD ＝2， ∴BE ＝12﹣2＝10，
由垂径定理得BC =2BE =1
故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查了圆中的弦长计算，熟练掌握垂径定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）99或2．
【解题分析】（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；
（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.
【题目详解】（1）证明：∵abc 为欢喜数，
∴a +c =b ． ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除，
∴11b 能被99整除，99a 能被99整除，
∴“欢喜数abc ”能被99整除；
（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），
∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数， ∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．
∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2），
∴m ﹣n =99或m ﹣n =2．
∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或2．
【题目点拨】
做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.
20、（1）见解析；（2）AN 的长为．
【分析】(1)利用平行四边形的性质及中点的性质即可证得结论；
(2)先判定四边形CDMN 是平行四边形，再判断其为菱形，利用菱形的性质，判断△MNC 为等边三角形，从而求得
∠1=∠2=∠MND=30°，在Rt PEN 中，利用特殊角，求出EN ，进而求出线段AN 的长．
【题目详解】(1)在平行四边形ABCD 中，∠B=∠ADC ，AB=CD ，
∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，
∴BN=12BC=12
AD=DM ， ∴△ABN ≌△CDM ；
(2)∵在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，
∴//CN DM ，CN DM ，
∴四边形CDMN 为平行四边形，
∵在Rt AND 中，M 为AD 中点，
∴ MN=MD ，
∴平行四边形CDMN 为菱形；
∴∠MND=∠DNC=∠1=∠2，
∵CE ⊥MN ，∠MND+∠DNC+∠2=90°，
∴∠MND=∠DNC=∠2=30°，
在Rt PEN 中，∵PE=1，∠ENP =30°，
∴，
在Rt NEC 中，∵2=30°，
∵∠MNC=∠MND+∠DNC ＝60°，
∴△MNC 为等边三角形，又由(1)可得，MC=AN ，
∴
∴AN 的长为
【题目点拨】
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定与性质、直角三角形的斜边中线与斜边的关系、等边三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半是求解的关键．
21、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△AOB ∽△COD,从而可证∠A=∠D ； （2）证明△AOE ∽△DOF, △BOE ∽△COF,然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
【题目详解】证明：（1）∵1BO =，3CO =，32AO =，92DO =, ∴13
BO AO CO OD ==, ∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB ∽△COD,
∴∠A=∠D ；
（2）∵∠A=∠D ，
∴AB ∥CD,
∴△AOE ∽△DOF, △BOE ∽△COF,
∴
AE OE DF OF =,BE OE CF OF
=, ∴AE BE DF CF =, ∵AE BE =，
∴.CF DF =
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何证明．
22、 (1)2
1y x x =-+；(2)①M (2,3)，k =3；②1m n +≤-
【分析】（1）将两点代入解析式即可得出结果；
（2）①二次函数过某定点，则函数表达式与字母系数无关，以此解决问题；②根据二次函数的性质解题
【题目详解】解：(1)①若函数1y 图象经过点A (2,5)，将A (2,5)代入1y 得
42(2)235m m -+++=，不成立 ②若函数1y 图象经过点B (-1,3)，将B (-1,3)代入1y 得
1(2)233m m ++++=，解得1m =-.
∴2
1y x x =-+.
(2)①1y 过定点M ，21(2)23y x x m x =+--+
与m 无关，故2x =，代入1y ，得点M 为(2,3)，
2y 也过点M ，代入2y 得322n k n =+-，解得k =3.
②在12x -≤≤时，
22132(2)23y y nx n x m x m ⎡⎤-=+---+++⎣⎦2(2)22x m n x m n =-+++--.
12y y ≤，则210y y -≥，
∴2(2)220x m n x m n -++++≤，即(2)()0x x m n ---≤.
∵12x -≤≤，
∴20x -≤，
∴0x m n --≥，m n x +≤，
∴1m n +≤-.
【题目点拨】
此题考查含字母系数的二次函数综合题，掌握二次函数的图像与性质是解题的基础.
23、（1）见解析；（2）32
π 【分析】（1）依据△ABC 绕着点C 顺时针旋转90°，即可画出旋转后对应的△A 1B 1C 1；
（2）依据弧长计算公式，即可得到弧BB 1的长．
【题目详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；
（2）弧BB 1的长为：
903180π⨯⨯＝32
π． 【题目点拨】
本题主要考查作图-旋转变换，以及弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质及弧长公式．
24、（1）y=,y=x-4
（2）s=6.5
【解题分析】考点：反比例函数综合题．
分析：（1）由于反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），则把A（6，2）分别代入两个解析式可求出k与b的值，从而确定反比例函数y=与直线y=x+m的函数关系式；
（2）先把点A的横坐标为2，点B的横坐标为1代入y=x-4中得到对应的纵坐标，则可确定A点坐标为（2，-2），点
B的坐标为（1，-1），由AD、BC平行于y轴可得点D的横坐标为2，点C的横坐标为1，然后把它们分别代入y=12 x
中，可确定D点坐标为（2，6），点C的坐标为（1，4），然后根据梯形的面积公式计算即可．解：（1）∵点P（6，2）在反比例函数y=的图象上，
∴k=6×2=12，
∴反比例函数的解析式为y=12
x
；
∵点P（6，2）在直线y=x+m上，
∴6+m=2，解得m=-4，
∴直线的解析式为y=x-4；
（2）∵点A、B在直线y=x-4上，
∴当x=2时，y=2-4=-2，当x=1时，y=1-4=-1，∴A点坐标为（2，-2），点B的坐标为（1，-1），又∵AD、BC平行于y轴，
∴点D的横坐标为2，点C的横坐标为1，
而点D、C为反比例函数y=12
x
的图象上，
∴当x=2，则y=6，当x=1，则y=4，
∴D点坐标为（2，6），点C的坐标为（1，4），∴DA=6-（-2）=8，CB=4-（-1）=5，
∴梯形ABCD的面积=1
2
×（8+5）×1=
13
2
．
25、(1)见解析;(2);(3)不会随着α的变化而变化
【解题分析】（1）先判断出△BCD是等边三角形，进而求出∠ADP=∠ACD，即可得出结论；
（2）求出PH，最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明．【题目详解】（1）证明：∵△ABC是直角三角形，点D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∵在△BCD中，BC=BD且∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴∠ACD=90°－∠BCD=30°，
∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=30°，
在△ADC与△APD中，∠A=∠A，∠ACD=∠ADP，
∴△ADC∽△APD.
（2）由（1）已得△BCD是等边三角形，∴BD=BC=AD=2，
过点P作PH⊥AD于点H，
∵∠ADP=30°=90°－∠B=∠A，
∴AH=DH=1，tan A=，
∴PH=.
∴△APD的面积=AD·PH=
（3）的值不会随着α的变化而变化.
∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°，
在△MPD与△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，
∴△MPD∽△NCD，∴，
由（1）知AD=CD，∴，
由（2）可知PD=2AH，∴PD=，
∴．
∴的值不会随着α的变化而变化.
【题目点拨】
属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积等，综合性比较强，对学生综合能力要求较高.
26、（1）0.6；（2）0.6；（3）盒子里黑颜色的球有20只，盒子白颜色的球有30只
【分析】（1）观察表格找到逐渐稳定到的常数即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）白球个数＝球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数，问题得解．
【题目详解】（1）∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6；
（3）黑白球共有20只，
白球为：50×0.6＝30（只），
黑球为：50﹣30＝20（只）．
答：盒子里黑颜色的球有20只，盒子白颜色的球有30只．
【题目点拨】
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．。