不定方程(初二)及答案

2010年2月希望杯数学冬令营上课材料初二

不定方程

一、赛点分析

1、两个变量的不定方程ax by c +=，其中,,a b c 为整数，且,a b 都不为0，则有以下性质：

（1）不定方程有整数解的充要条件是(,)|a b c ；

（2）设不定方程有整数解00(,)x y ，则所有整数解有：00(,)(,)b x x t a b a y y t a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

（t 为整数）。 2、解不定方程（组）需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用一下知识与

方法：奇数偶数、整数的整除性、整系数分离法、因式分解、配方利用非负数性质、乘法公式、不等分析等。

二、例题精讲

例1、求方程4521x y +=的整数解。

解：设x 、y 是已知方程的整数解，由x,y 之中较小的系数4去除各项得21544x y =

-， 把214和544中的整数分离出来，得154y x y -=-+， 因为5y -和x 都是整数，则14y -也是整数，设14

y k -=，k 为整数，则14y k =-，把14y k =-代入已知方程得5(14)45x k k k =--+=+。

所以4514x k y k =+⎧⎨=-⎩

（k 为整数）是方程的整数解， 并且当k 取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。

变式1、求方程74100x y +=的正整数解。

解：通过观察得方程的一个特解：418x y =⎧⎨=⎩

，∴方程的通解是44187x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为整数）， ∵x 、y 为正整数，∴4411871

t t +≥⎧⎨-≥⎩，∴31747t -≤≤， ∵t 为整数，∴0t =，1或2，将它们分别代入通解，

得原方程的正整数解为：418x y =⎧⎨=⎩，811x y =⎧⎨=⎩，124

x y =⎧⎨=⎩。

变式2：求方程719213x y +=的所有正整数解。

解：方程的一个特解：252x y =⎧⎨=⎩，方程的特解是251927x t y t =+⎧⎨=-⎩

（t 为整数）， ∵x 、y 为正整数，∴25190270

t t +>⎧⎨->⎩，∴252197t -<<， ∴1t =-或0，∴原方程的正整数解为252x y =⎧⎨

=⎩，69x y =⎧⎨=⎩。 例2、（2005年希望杯）小纪念册每本5元，大纪念册每本7元。小明买这两种纪念册

共花了142元，问两种纪念册最少共买了多少本？

解：设小明买了x 本小纪念册，y 本大纪念册，则有57142x y +=，

再设x y a +=，∴52142a y +=，14225

y a -= ∵a 是正整数，y 的值越大，a 的值越小，020y <≤，

∴依次取y =20，19，18，17代入14225

y a -=试算，a 都不是正整数。 当16y =时，22a =，所以两种纪念册最少共买了22本。

变式1：小燕付出了14.85元买了A 、B 两种卡片，A 卡片的单价是2.16元，B 卡片的单价

是4.23元。问小燕共买了多少张卡片？

解：设小燕买了A 、B 两种卡片的张数分别为x 、y ，则2.16 4.2314.85x y +=，

∴2447165x y +=，可知：y 是奇数，y 是3的倍数；

∴当3y =时，1x =；当9y =时，显然不合题意；

∴小燕共买了4张卡片.

例3、（中国百鸡问题）鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，

问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

解：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x 、y 、z ，则有：

100531003x y z z x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩

，消去z 得：74100x y +=， 显然0x =，25y =是方程的一个特解，∴通解为4257x t y t =-⎧⎨=+⎩

（t 为整数）， 于是有1001004(257)753z x y t t t =--=+-+=-，由,,0x y z ≥，

即4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩

，且t 为整数可得0t =，1-，2-，3-，将t 的值代入通解得：

（,,x y z ）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）。

变式1：旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其

中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅行团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？

解：三人间、二人间、单人间分别为x 、y 、z 间，则有

203250x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，得10102x z y z

=+⎧⎨=-⎩，这里x 、y 、z 都是非负数，

由于1020y z =-≥，∴05z ≤≤，∴z 只能取0，1，2，3，4，5.

∴（,,x y z ）=（10，10，0），（11，8，1），（12，6，2），

（13，4，3），（14，2，4），（15，0，5）。

∵50人住宿的总消费为606050120010W x y z z =++=-，

∴当5z =时，即（,,x y z ）=（15，0，5），总消费最低。

变式2、（2003年全国初中数学竞赛题）若4360x y z --=，270x y z +-=（0xyz ≠），

则代数式222

222

522310x y z x y z +---的值等于（ ） A 、12- B 、192

- C 、15- D 、13- 解：∵4360270x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，∴32x z y z =⎧⎨=⎩

，代入得：原式=222

22245813181210z z z z z z +-=---，选D 。 例4、求方程22

105x y -=的正整数解。

解：∵22105x y -=，∴()()357x y x y +-=⨯⨯，