初中数学 北师大版九年级下册同步测试(优选5年真题,含解析)3.8圆内接正多边形

3.8 圆内接正多边形
一．选择题（共19小题）
1．（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）
A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2018•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）
A．3 B．C．6 D．3．（2019•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）
A．2 B．4 C．6D．4 4．（2019•宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（）
A．6﹣πB．6﹣πC．12﹣πD．12﹣π5．（2019•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°6．（2019•河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）
A．1 B．C．D．2 7．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）
A．6﹣πB．6﹣2πC．6+πD．6+2π8．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）
A．60°B．70°C．72°D．144°9．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）
A．30°B．36°C．60°D．72°10．（2019•自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）
A．B．C．D．11．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）
A．1 B．C．D．2 12．（2018•广元）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD 的度数是（）
A．30°B．36°C．45°D．72°13．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）
A．2 B．1 C．D．14．（2018•资阳）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝a，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．（）a2C．2D．（）a2 15．（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）
A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π16．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）
A．B．2 C．2D．2 17．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形18．（2017•兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2 19．（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC 和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3﹣；
③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共21小题）
20．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．
21．（2019•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．
22．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为．23．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为．
24．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度．
25．（2019•南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝度．
26．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝．
27．（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．
28．（2019•滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
29．（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．
图2中的图案外轮廓周长是；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．
30．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．
31．（2018•昆明）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和π）．
32．（2018•贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM
＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．
33．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．
34．（2018•玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝．
35．（2018•呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．36．（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝．
37．（2017•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．
38．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．
39．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．40．（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．三．解答题（共3小题）
41．（2019•铜仁市）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
42．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．
（1）∠ABC＝°；
（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．
参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．
43．（2018•无锡）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．
3.8 圆内接正多边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：连接OA，OB，OP，
∵P A，PB分别切圆O于A，B两点，
∴OA⊥P A，OB⊥PB，
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），
∴PB＝P A＝3，
故选B．
2．（2018•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）
A．3 B．C．6 D．
解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选D．
3．（2019•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）
A．2 B．4 C．6D．4
解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM＝60°，
∴OM＝OC•sin∠OCM，
∴OC＝＝．
∵∠OCN＝30°，
∴ON＝OC＝，CN＝2，
∴CE＝2CN＝4，
∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×＝4，
故选D．
4．（2019•宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（）
A．6﹣πB．6﹣πC．12﹣πD．12﹣π
解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的面积是＝6×＝6，∠F AB＝∠EDC＝120°，
∴图中阴影部分的面积是6﹣＝，
故选B．
5．（2019•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选A．
6．（2019•河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）
A．1 B．C．D．2
解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．
正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴AG＝AC＝，
∴GB＝1，AB＝2，
即边长为2．
故选D．
7．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）
A．6﹣πB．6﹣2πC．6+πD．6+2π
解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣6××2×）＝6﹣π，
故选A．
8．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）
A．60°B．70°C．72°D．144°
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，
故选C．
9．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）
A．30°B．36°C．60°D．72°
解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选B．
10．（2019•自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）
A．B．C．D．
解：连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC＝AB＝a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为＝≈，
故选C．
11．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）
A．1 B．C．D．2
解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原
来的纸带宽度，
所以原来的纸带宽度＝×2＝．
故选C．
12．（2018•广元）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD 的度数是（）
A．30°B．36°C．45°D．72°
解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选B．
13．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）
A．2 B．1 C．D．
解：如图（1），
O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD＝30°，
又∵AO＝BO，
∴∠ABO＝∠BAD＝30°，
∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△OBD中，
BO＝2DO，
即AO＝2DO，
∴OD：OA：AD＝1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD•tan60°＝BD＝x．
∵正三角形ABC面积为cm2，
∴BC•AD＝，
∴×2x•x＝，
∴x＝1．
即BD＝1，则AD＝，
∵OD：OA：AD＝1：2：3，
∴AO＝cm．
即这个圆的半径为cm．
所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，
故选B．
14．（2018•资阳）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝a，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．（）a2C．2D．（）a2解：∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2＝πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为×a×a×sin60°＝a2，
∴正六边形面积为a2，
∴阴影面积为（πa2﹣a2）×＝（﹣）a2，
故选B．
15．（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）
A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π
解：作FH⊥BC于H，连接AE，如图，
∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点，
∴BE＝CE＝CH＝FH＝6，
AE＝＝6，
易得Rt△ABE≌△EHF，
∴∠AEB＝∠EFH，
而∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠AEB+∠FEH＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴图中阴影部分的面积＝S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF
＝12×12+•π•62﹣×12×6﹣•6×6
＝18+18π．
故选C．
16．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）
A．B．2 C．2D．2
解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC＝2，
∴⊙O的半径是2，
故选B．
17．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
18．（2017•兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
AD＝＝2，
圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积＝[4π﹣（2）2]＝（π﹣2）cm2．故选D．
19．（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC
和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3﹣；
③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①∵五方形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣＝108°，
∴∠BAC＝∠ACB＝36°，
∴∠ACD＝108°﹣36°＝72°，
同理得∠ADE＝36°，
∵∠BAE＝108°，AB＝AE，
∴∠ABE＝36°，
∴∠CBF＝108°﹣36°＝72°，
∴BC＝FC，
∵BC＝CD，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝＝54°，
∴∠FDG＝∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE＝108°﹣54°﹣36°＝18°；
所以①正确；
②∵∠ABE＝∠ACB＝36°，∠BAC＝∠BAF，
∴△ABF∽△ACB，
∴，
∵BC＝ED，BF＝EG，
∴，
∴AB•ED＝AC•EG，
∵AB＝ED＝2，AC＝BE＝BG+EF﹣FG＝2AB﹣FG＝4﹣FG，EG＝BG﹣FG＝2﹣FG，
∴22＝（2﹣FG）（4﹣FG），
∴FG＝3+＞2（舍），FG＝3﹣；
所以②正确；
③如图1，∵∠EBC＝72°，∠BCD＝108°，
∴∠EBC+∠BCD＝180°，
∴EF∥CD，
∵EF＝CD＝2，
∴四边形CDEF是平行四边形，
过D作DM⊥EG于M，
∵DG＝DE，
∴EM＝MG＝EG＝（EF﹣FG）＝（2﹣3+）＝，由勾股定理得DM＝＝＝，∴（S四边形CDEF）2＝EF2•DM2＝4×＝10+2；
所以③不正确；
④如图2，连接EC，
∵EF＝ED，
∴▱CDEF是菱形，
∴FD⊥EC，
∵EC＝BE＝4﹣FG＝4﹣（3﹣）＝1+，
∴S四边形CDEF＝FD•EC＝2×，
×FD×（1+）＝，
FD2＝10﹣2，
∴DF2﹣DG2＝10﹣2﹣4＝6﹣2，
所以④不正确；
本题正确的有两个，
故选B．
二．填空题（共21小题）
20．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝76°．
解：∵P A，PB是⊙O的切线，
∴P A＝PB，P A⊥OA，
∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为76．
21．（2019•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．
解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴扇形AOB的面积＝＝，
故答案为．
22．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为6．解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，
由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，
∴AD＝2AB＝6，
故答案为6．
23．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为5．
解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，
∵OE⊥BC，
∴OE＝BE＝，
即a＝5．
故答案为5．
24．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣
弧所对的圆心角∠BOD的大小为144度．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故答案为144．
25．（2019•南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝15度．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
在正六边形ABEFGH中，∵AB＝AH，∠BAH＝120°，
∴AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴∠ADH＝∠AHD＝（180°﹣150°）＝15°，
故答案为15．
26．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝15．
解：连接BO，
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正十边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷10＝36°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，
∴n＝360°÷24°＝15；
故答案为15．
27．（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是54°．
解：∵AF是⊙O的直径，
∴＝，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴＝，∠BAE＝108°，
∴＝，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故答案为54．
28．（2019•滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；
则OG＝2，
∵六边形ABCDEF正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴OA＝＝＝，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
故答案为．
29．（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．
图2中的图案外轮廓周长是14；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是21．
解：图2中的图案外轮廓周长是8﹣2+2+8﹣2＝14；
设∠BPC＝2x，
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为＝，
以∠APB为内角的正多边形的边数为，
∴图案外轮廓周长是＝﹣2+﹣2+﹣2＝+﹣6，
根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，
当x越小时，周长越大，
∴当x＝30时，周长最大，此时图案定为会标，
则会标的外轮廓周长是＝+﹣6＝21，
故答案为14，21．
30．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为8cm．
解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，
由题意得∠MNP＝∠NMP＝∠MPN＝60°，
∵小正六边形的面积为cm2，
∴小正六边形的边长为cm，即PM＝7cm，
∴S△MPN＝cm2，
∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，
∴PG＝PM＝cm，OG＝PM＝，
在Rt△OPG中，根据勾股定理得OP＝＝7cm，
设OB＝xcm，
∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，
∴BH＝x，OH＝x，
∴PH＝（5﹣x）cm，
在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2＝（x）2+（5﹣x）2＝49，
解得x＝8（负值舍去），
则该圆的半径为8cm．
故答案为8
31．（2018•昆明）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为﹣（结果保留根号和π）．
解：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，
∠DOE＝＝60°，
∴OD＝OE＝DE＝1，
∴OH＝，
∴正六边形ABCDEF的面积＝×1××6＝，
∠A＝＝120°，
∴扇形ABF的面积＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝﹣，
故答案为﹣．
32．（2018•贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM ＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是72度．
解：连接OA、OB、OC，
∠AOB＝＝72°，
∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBC，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON，
∴∠BON＝∠AOM，
∴∠MON＝∠AOB＝72°，
故答案为72．
33．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为72°．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝∠ABC＝＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠ABE＝36°，
∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°，
故答案为72°．
34．（2018•玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝12+4．
解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A＝＝120°，AF＝AB，
∴∠AFB＝∠ABF＝（180°﹣120°）＝30°，
∴△AFB边BF上的高AM＝AF＝（6+4）＝3+2，FM＝BM＝AM＝3+6，∴BF＝3+6+3+6＝12+6，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB＝++，
∴×（12+6）×（3+2）＝×r+×r+×（12+6）×r，
解得r＝3，
即O1M＝r＝3，
∴O1O2＝2×3+6+4＝12+4，
故答案为12+4．
35．（2018•呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为：1．
解：设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC＝90°，
∵OQ⊥BC，OB＝CO，
∴QC＝BQ，∠COQ＝∠BOQ＝45°，
∴OQ＝OC×cos45°＝R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF＝∠EGF＝30°，
∴OH＝OG×sin30°＝R，
∴OQ：OH＝（R）：（R）＝：1，
故答案为：1．
36．（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．
解：连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝＝120°，
∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，
故答案为48°．
37．（2017•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为3．
解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM＝＝30°，
∴OM＝OB•cos∠BOM＝6×＝3；
故答案为3．
38．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分图形的周长为π+1（结果保留π）．
解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝1，∠A＝∠D＝108°，
∴＝＝•πAB＝π，
∴C阴影＝++BC＝π+1．
故答案为π+1．
39．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线
长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．
解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．
易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE＝30°，
∴∠BCE＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴＝cos30°＝，
∴λ6＝，
故答案为．
40．（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：：．
解：由题意可得，
正三角形的边心距是2×sin30°＝2×＝1，
正四边形的边心距是2×sin45°＝2×，
正六边形的边心距是2×sin60°＝2×，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：：，
故答案为1：：．
三．解答题（共3小题）
41．（2019•铜仁市）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
42．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．
（1）∠ABC＝30°；
（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．
参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．
解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，
∴∠BAF＝＝108°，
∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，
故答案为30；
（2）作CQ⊥AB于Q，
在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，
∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，
在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝2QC＝19.6，
∴GC＝BC﹣BG＝9.6．
43．（2018•无锡）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．
证明：∵正五边形ABCDE中，
∴AB＝AE＝BC＝ED，∠B＝∠E，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC．。