07级数理方程试题答案

07级数理方程试题答案
07801-808数学物理方法期中测验试题
一填空题（每题5分，共20分）
1 现有一长度为l 的均匀细弦，弦的0x =端固定，x l =端受迫作简谐振动sin A t ω，弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数(),u x t 所满足的定解问题是（）。

2000(0,0),0,sin (0),0,0(0).
tt xx
x x l t t t u a u x l t u u A t t u u x l ω====?=<<>??
==>??==≤≤?? 2 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温0u ，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（）。

000
0(0,0),0,0
(0),0,(0).x x y y x x x x a y y b u u x a y b u u y b u u u x b ====?+=<<<<??
=<<
(,)u u f M t n αβ
Ω
+=?），当（0β= ）就是第一
类边界条件；当（0α= ）时，就是第二类边界条件。

4 积分()30x J x dx =?（）。

解利用递推公式1[()]()m m
m m d x J x x J x dx
-=和分部积分法，得
3
2
002
3
2
1113
2
12()[()][()]()2()()2().
x J x dx x xJ x dx
x d xJ x x J x x J x dx
x J x x J x C ==
=-
=-+?
二求解下列本征值问题的本征值和本征函数（每题10分，共20分）
（1） ()()0,(0)0,()0.
X x X x
X X l λ''+=??
'=
=? （2）
2'''2()()(9)()0,
()0,
|(0)|.
r R r r R r r R r R a R μ?++-=?
=<∞?
解（1）因为我们已经知道，本征值0λ≥。

设0λ=，方程（1）中方程的通解是 ()X x Ax B =+.
由边界条件得A =B =0，即X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。

设0λ>，此时（1）中方程的通解是
()cos sin
X x A B =+.
0,
cos
0B A ==.
由于0A ≠（否则()0X x ≡），故 cos 0=，所以有
()()2
2121;
cos
1,2,.22n n n n x
X A n l l
ππλ++??
===
（2） 3阶Bessel 方程的通解是
()))
3
3
R r CJ DY =+，由(0)R <+∞
知0D =, ()0R a =，得 )30J = 由此得到本征值为()
()2
32
1,2,,
n n x n a
μ== 其中()
3n x 是函数()3J x 的第n 个零点。

相应的本征函数是
()()()333,
1,2,.n n x R r C J r n a ??
== ? ???
三试在球坐标系(),,r θ?下将Laplace 方程
2
2
222222
111sin 0sin sin u u u
u r r r r r r θθθθθ?
=++= ? ??????????
分离变量，即得到各个单变量函数所满足的常微分方程。

（20分）解设(,,)()()()u r R r θ?θ?=ΘΦ, 代入方程中，得
2
222222
sin 0sin sin d dR R d d R d r r dr dr r d d r d θθθθθ?
ΘΦΦΘΘΦ
++= ? ?????，将变量?和变量,r θ分离。

为此，用22
sin r R θΘΦ
遍乘上式，并适当移
项，可得
2
22
sin sin sin d dR d d r m R dr dr d d θθθθθ''ΘΦ+=-= ? ?
ΘΦ
, 其中2m 是分离常数。

由此可得两个微分方程
2
0m ''Φ+Φ=,
（1）
和
22
11sin 0sin sin d dR d d m
r R dr dr d d θθθθθ
Θ+-= ? ?Θ.
对上面第二个方程，再将变量,r θ分离
2
22
1
1sin (1)sin sin d d m d dR r l l d d R dr dr θθθθθΘ
-=-=-+ ? ?Θ,
其中(1)l l +是第二次分离变量引入的常数，它可以用一个实数λ表示，为了以后讨论方便，令(1)l l λ=+[可以证明任意一个实数λ都可表为(1)l l +，其中l 为另一任意实数或复数]。

由此再得两个常微分方程
2(1)0d dR r l l R dr dr ??
-+=
, (2a)
将式中的导数求出，得到
2()2()
(1)()0r R r r R r l l R r '''+-+=,
(2b)
以及
2
2
1
sin (1)0sin sin d d m
l l d d θθθθθ??Θ??++-Θ=
. (3a)
对方程（3a ）作变换cos x θ=以后，可以改写成
22(1)(1)01d d m x l l dx dx x
Θ??
-++-Θ= -
, (3b)
将其中的导数求出就有
2
2
2
(1)()2()(1)()01m
x x x x l l x x ??
'''-Θ-Θ++-Θ=??-?
(3c)
至此球坐标系下的Laplace 方程分离变量的结果是得到三个常微分方程（1）、(2)和(3).
四（本题20分）均匀薄板占据的区域为带状区域（0x a ≤≤，0y ≤<+∞
），边界上的温度分布为0||0====a x x u u ,
)1(|0a
x A u y -
== ，lim 0y u →∞
=。

试用分离变量法求解板的稳定温度
分布，即求解定解问题：
2222
000||0|(1),
lim 0.
x x a y y u u
x y u u x
u A u a ===→∞
+=
==??
=-=??
解令)()(),(y Y x X y x u =，代入原方程得''()()0X x X x μ+=
''()()0Y y Y y μ-=
0x x a ==由和边界上的条件，有
0)()0(==a X X
解本征值问题''()()0(0)()0
X x X x X X a μ+=??
==?，得本征值和本征函数为
22
2
,
()sin
n n n n x X x C a
a
ππμ=
=
解关于)(y Y 的方程得
a
y n n a
y
n n n e
B e
A y Y ππ-
+=)(
从而有
(,)()sin
n y a
a
n n n n x u x y A e
B e
n a
πππ-
=+=
∑
∞
=-
+=
1
sin
)(),(n a
y n n a
y
n n a
x n e
B e
A y x u πππ
0y y b ==由和边界上的条件，有)1(sin
)(1a
x A a
x n B A n n n -
=+∑∞
=π
0sin
)(1
=∞
-∞
n n n a
x n e
B e
A π
由此得
),3,2,1(,
0 ==n A n )1(sin 1
a
x A a
x n B n n -=∑
∞
=π
),3,2,1(,2sin
)1(20
==
-
=
n n A dx a
x n a
x A a
B a
n π
π
∑
∞
=-
=
∴1
sin
12),(n a
y n a
x n e
n
A
y x u ππ
π。

五（本题20分）半径为a 高为h 的圆柱体，上底的电势分布为()2
f ρρ=，下底和侧面的电势保持为零，求圆柱体内的电势分布。

即求解定解问题
()
22
22
220010,,00,,0,.z z h a u u u
u a z h z
u u u u ρρρρρρρ=====++=<<
=<+∞
解分离变量，即令()()(),u u z R Z z ρρ==代入方程得
()()()()()()''
2
2
''
'
2
0,
Z
z k
Z z R
R k R ρρρρρρ-=++-=
()()
12
其中2k -是分离常数，方程(1)和(2)解依次是
()()()()000
0,
0;kz
kz
Z z A z B k Z z A e
B e
k -=+==+> (3)
()()()()()()00000ln 0,
0.
R C D k
R C J k D Y k k ρρ
ρρρ=+==+> (4)
由边界条件 0
0a
u u
ρρ==<+∞=和
得
000,C D D === 及
()00.J ka = (5) 可见对应k =0问题没有非零解。

由(4)得本征值为()
()01,
2,
n x k n a
== （6）
相应的本征函数为
()()()
001,2,.n n n x R C J n a ρρ??
== ?
(7)
将本征值代入到（3）的第二个式子得到()()
()
00.n n
x x z
z
a
a
n n n Z z A e
B e
-
=+
由边界条件0
0,z u
== 得
0,n n n n A B B A +==-即，于是()()
()
()
0002.2
n n
x x z
z
a
a
n n
n n
n e
e x Z z A a sh
z a
-
-== （8）
组合、叠加，得问题的一般解为()()()
000
1,.n n n n x x u z C sh z J a a ρρ∞=??
= ? ? ?
∑ （9）
由边界条件2
z h
u
ρ==代入，得
()
()
002
01.n n n n x x C sh h J a a ρρ∞== ? ? ? ?
∑ 右边的级数是右边函数的Fourier-Bessel 级数，由展开式的系数公式，并考虑此时的边界条件，有
()
()()
()
()
()(
)()
(
)
()
()
()
()
003
0020
0213
0004
04
00
002211
2
2
,n
a n n n n
x n n n n n
n
x C J d a x a sh h J x a x x x a
J d a a a x x sh h a J x a ρρρ
ρρρ??=
=
令
()
0,n
x x a
ρ= 应用分部积分法和递推公式，得()()
()
(
)
()
(
)
()
(
)
()
(
)()()()
()
()
(
()
03
2
00000
3
0101
2
0001244,
n x n
n
n
n
n
n
n n
n x J x dx x J x x J x x J x x J x x =+-?? =-
因此
()
(
)
()
(
)
()
(
)
2
02
03
00124
,n
n n n
n
a x C x x J x sh h a ??
-
=
将上式代入到(9), 的原定解问题的解为()()()
()
()
()()
()
()
(
)
002
012
3
0000
14
,2.n n n n n n
n
x x sh z J x a a u z a
x J x x sh h a ρρ∞=?????? ? ?-???
=?? ???
∑。