培优拔高 中考数学《整式与分式》题型汇编

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整式题型汇编

【知识梳理】

1、余式定理：多项式()x f 除以a x -所得的商式为()x Q ，余式为()a f ，即()()()()a f a x x Q x f +-=。

2、因式定理：如果多项式()x f 含有因式a x -，那么()0=a f ，反之亦然。我们称a 为多项式()x f 的零点。

3、乘法公式：

（1）立方和公式：()(

)3

322b a b ab a b a +=+-+

（2）立方差公式：()()33

2

2

b a

b ab a

b a -=++-

（3）三数和平方公式：()()ac bc ab c b a c b a +++++=++22

222

（4）两数和立方公式：()3

2233

33b ab b a a b a +++=+

（5）两数差立方公式：()3

2233

33b ab b a a b a -+-=-

4、拆添项法：把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。

5、试根法：整系数多项式01a x a x a n

n +++ ，若

s

r

是它的有理根（s r 、互素），那么s 整除n a ，r 整除0a 。 一些比较复杂的因式分解也可以利用试根法来解决（试根法使用于整系数多项式的因式分解）

6、常见数学思想与方法：整体思想、降次法、消元法、待定系数法、赋值法等。除了常规的因式分解法，还有拆添项法、双十字相乘法、待定系数法、试根法等。

【题型分析】

例1：已知012=-+a a ，求2014223++a a 的值。

【解法一】（整体代入）：由012=-+a a 得023=-+a a a

所以201520151201420142222323=+-+=+++-+=++a a a a a a a a a

【解法二】（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。 由012=-+a a 得a a -=12，

所以()201520151201420142120142201422222223=+-+=++=++⋅-=++⋅=++a a a a a a a a a a a a 【解法三】（降次、消元）：12=+a a （消元、减项）

()

2015201412014201420142014222222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a

说明：本题常用的方法是降次法，通过降次最后使2014223++a a 化为一个常数，但是用降次法，变形过程较为复杂且容易出错，而用零代换只要掌握变形的技巧，计算比较简便。

例2：已知32()4538f x x x x =+--,求()f x 除以2()21g x x x =++的商式()Q x 和余式()R x 。

【解析】（长除法）：2324 3 ()

()214538 ()x Q x g x x x x x x f x -+++--…………

32)484x x x -++ 2378x x --- 2)368x x ----

5 ()x R x --…… 所以()f x 除以()g x 的商式为()43Q x x =-，余式为()5R x x =--。

例3：若()f x 除以23x -的余数为4，试求多项式()

()712

++x f x 除以23x -的余数。

【解析】由余式定理可知3

()42f =，设()()

()712++=x f x x F ，则()F x 除以23x -的余数为

207441372314923=+⨯=+⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f F

例4：若2+x 整除多项式8623-+++k kx x x ，则k =

【解析】设()8623-+++=k kx x x x f ，由题意得()0822482=-+-+-=-k k f ，所以8=k

例5：求一个二次多项式()f x ，使它满足：(1)(3)0f f ==且(2)4f =-。

【解析】设()(1)(3)f x a x x =--，由于(2)4f =-，则4a =所以()()()121643142+-=--=x x x x x f

例6：已知32()6f x x px qx =+++含有因式(3)(1)x x --，试求

p 、q 的值及()f x 的另一个因式。

【解法一】设()(3)(1)()f x x x ax b =--+，于是326(3)(1)()x px qx x x ax b +++=--+， 整理得：32326(4)(3)3x px qx ax a b x a b x b +++=+-++-+ 由待定系数法可求得：1a =，2b =，2p =-，5q =- 所以()f x 的另一个因式为2x +。

3

【解法二】设()(3)(1)()f x x x ax b =--+，由因式定理得

()()06392730611=+++==+++=q p f q p f ，，解得52=-=q p ，。

因为当0=x 时，b 36=，所以2=b 。

当1-=x 时，()286521+-=++--a ，所以1=a 。

【总结】根据因式定理可求出原多项式，再代入不同的数值，可求得剩下的未知数。

例7：分解因式：abc c b a 3333-++

【解析】因为()()b a ab b a b a +++=+3333，所以()()b a ab b a b a +-+=+33

33 于是原式=()()()[]

()c b a ab c b a abc c b a ab b a ++-++=-++-+33333

33

=()()()[]

()()

ca bc ab c b a c b a ab c b a c b a c b a ---++++=-++-+++2

2222

3

【总结】该因式分解应用很广泛，用它可以推出很多有用的公式和结论。例如：

()()()()[]

2223332

1

3a c c b b a c b a abc c b a -+-+-++=

-++； 当0=++c b a 时，abc c b a 3333=++。

例，分解因式：()()()3

332321x x x -+-+-。由于()()()02321=-+-+-x x x ，所以由上结论得

()()()()()()x x x x x x 232132321333---=-+-+-

例8：分解因式：()()()y x z x z y z y x

-+-+-222

【解析】原式=()()()()[]()()()()z y z x z z x z y z y x z y x z z x z y z y x -----+-=----+-+-2222222

()()()()

()()()()()()x y x z z y z y x z x z z y z y x z z x z y ---=++----=--+--=2222

【总结】()()()x z z y y x ---、、

三个形式比较像，且之间有和为0的关系，所以经常用两个替代另一个的做 法。比如()()z y x z y x ----=-，这种变形比较常见。

例9：若c b a 、、满足92

22=++c b a ，那么代数式()()()2

22a c c b b a -+-+-的最大值是多少？

【解析】()()()2222222

22222c ac a c bc b b ab a a c c b b a +-++-++-=-+-+-

()()

()272722232222222≤++-=+++++-++=c b a ac bc ab c b a c b a

所以当0=++c b a 时，原式取得最大值为27.