中考数学 幂的运算易错压轴解答题(及答案)100

中考数学幂的运算易错压轴解答题(及答案)100
一、幂的运算易错压轴解答题
1．阅读材料，根据材料回答：
例如1：（－2）3×33＝（－2）×（－2）×（－2）×3×3×3
＝[（－2）×3]×[（－2）×3]×[（－2）×3]
＝[（－2）×3]3＝（－6）3＝－216.
例如2：
86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）
＝（8×0.125）6＝1.
（1）仿照上面材料的计算方法计算：；
（2）由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）a n·b n＝________；
（3）用（2）的规律计算：－0.42018× × .
2．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子23＝8可以变形为log28＝3，log525＝2也可以变形为52＝25.在式子23＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为log28.一般地，若a n＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则叫做以a为底b的对数，记为log a b ，即log a b＝n.根据上面的规定，请解决下列问题：
（1）计算：log3 1＝________， log2 32=________， log216+ log24 ＝ ________，
（2）小明在计算log1025+log104 的时候，采用了以下方法：
设log1025=x， log104=y
∴ 10x=25 10y=4
∴ 10x+y=10x×10y=25×4=100=102
∴ x+y=2
∴ log1025+log104=2通过以上计算，我们猜想log a M+ log a N等于多少，请证明你的猜想. 3．已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．
（1）填空：32a＝________；3b+c的值为________；
（2）求32a﹣3b的值．
4．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个的等式，
这个等式可以为________；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝32，x2+4y2+9z2＝45，求2xy﹣3xz﹣6yz的值．5．规定两数a，b之间的一种新运算※，如果a c＝b，那么a※b＝c．
例如：因为52＝25，所以5※25＝2，因为50＝1，所以5※1＝0．
（1）根据上述规定，填空：2※8＝________2※＝________．
（2）在运算时，按以上规定：设4※5＝x，4※6＝y，请你说明下面这个等式成立：4※5+4※6＝4※30．
6．已知， .
（1）填空： =________； =________.
（2）求m与n的数量关系.
7．若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1）若2×2x=8，求x的值；
（2）若（9x）2=38，求x的值．
8．综合题
（1）填空：21﹣20=2（________）， 22﹣21=2（________）， 23﹣22=2（________）…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）运用上述规律计算：20﹣21﹣22﹣…﹣22017+22018。

9．综合题
（1）已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值；
（2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．
10．综合题
（1）已知4m=a，8n=b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值
②求：24m﹣6n的值
（2）已知2×8x×16=223，求x的值．
11．综合题
（1）已知x = ，y = ，求（n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出
第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.
12．先阅读下列材料，再解答后面的问题．
材料：一般地，n个相同因数相乘，记为a n，如23=8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log（即=3）
一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如34=81，4叫做以3为底81的对数，记为．
问题：
（1）计算以下各对数的值：=________ ；=________ ；=________ ．
（2）观察（Ⅰ）中三数4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
+=________ （a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则a m•a n=a m+n以及对数的含义证明上述结论．
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一、幂的运算易错压轴解答题
1．（1）解：
（2）(ab)n
（3）解：－0.42018× × (32)2019
=52
【解析】【解答】解：（2）根据题意可得：；
故答案为：；
【分析】（
解析：（1）解：
（2）
（3）解：－0.42018× ×
【解析】【解答】解：（2）根据题意可得：；
故答案为：；
【分析】（1）根据积的乘方法则的逆用计算即可求解；
（2）根据题意找到规律即可；
（3）逆用积的乘方法则及同底数幂的乘法法则的逆用计算即可求解.
2．（1）0；5；6
（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N），
证明：设logaM=x， logaN=y
∴ ax=M， ay=N
∴ ax+y=ax×a
解析：（1）0；5；6
（2）解：log a（M·N）| log a M+ log a N= log a（M·N），
证明：设log a M=x， log a N=y
∴ a x=M， a y=N
∴ a x+y=a x×a y=M·N
∴log a（M·N）= x+y
∴log a M+ log a N =x+y= log a（M·N）
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴log3 1＝0，log2 32=5，log216+ log24 ＝4＋2=6
故答案为：0；5；6.
【分析】（1）根据题意，利用对数的逆运算计算即可；（2）设log a M=x，log a N=y，根据对数的定义可得a x=M， a y=N，然后根据同底数幂乘法的逆用可得a x+y=M·N，再将其写成对数的形式即可证出结论.
3．（1）16；40
（2）解：32a−3b＝32a÷33b
＝（3a）2÷（3b）3
＝42÷53
＝ 16125 ．
【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3b＋c＝3b•
解析：（1）16；40
（2）解：32a−3b＝32a÷33b
＝（3a）2÷（3b）3
＝42÷53
＝．
【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3b＋c＝3b•3c＝5×8＝40；
【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案，直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则进而计算得出答案．4．（1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc
（2）解：① ∵ a+b+c＝11，
则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，
a2+b2+c2 =121-2（a
解析：（1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc
（2）解：①∵a+b+c＝11，
则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，
a2+b2+c2 =121-2（ab+ac+bc）=121-2×38=45；
②2x×4y÷8z＝32，
2x+2y-3z=25,
∴x+2y-3z=5，
则x2+4y2+9z2+4xy-6xz-12yz=25,
4xy-6xz-12yz=45-(x2+4y2+9z2)=25-45=-20,
∴2xy﹣3xz﹣6yz =-20÷2=-10.
【解析】【解答】解：（1）大正方体面积=（a+b+c）2,
大正方体面积=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc,
故这个等式为：（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc；
【分析】（1）正方体面积可以用整体法和分割法求得，得出等式（a+b+c）2=a2+c2+b2
+2ab+2ac+2bc；
（2）①把a+b+c＝11两边同时平方，结合ab+bc+ac＝38，则可求出a2+b2+c2的值；
②根据同底数幂相乘底数不变指数相加和同底数相除底数不变指数相除，再由已知的等式得到x+2y-3z=5，利用题（1）的等式，将两边同时平方，结合x2+4y2+9z2＝45，即可得到2xy﹣3xz﹣6yz的值．
5．（1）3；-4
（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z，
则4x＝5，4y＝6，4z＝30，
4x×4y＝4x+y＝30，
∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30．
【
解析：（1）3；-4
（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z，
则4x＝5，4y＝6，4z＝30，
4x×4y＝4x+y＝30，
∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30．
【解析】【解答】（1）23＝8，2※8＝3，
2﹣4＝，2※＝﹣4，
故答案为：3；﹣4
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．
6．（1）16；4
（2）解：∵ am=8 ， an=2
∴ am=23=(an)3=a3n
∴m=3n
【解析】【解答】解：（1） am+n =am×an=16； =am÷an=4；
解析：（1）16；4
（2）解：∵，
∴
∴m=3n
【解析】【解答】解：（1） =a m×a n=16； =a m÷a n=4；
【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。

同底数幂的除法，底数不变指数相减。

求数量关系只需要化为同底数的幂
7．（1）解：原方程等价于
2x+1=23 ，
x+1=3，
解得x=2
（2）解：原方程等价于
34x=38 ，
4x=8，
解得x=2
【解析】【分析】（1）根据同底数幂相乘，
解析：（1）解：原方程等价于
2x+1=23，
x+1=3，
解得x=2
（2）解：原方程等价于
34x=38，
4x=8，
解得x=2
【解析】【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得出x的值。

（2）根据幂的乘方公式（a m)n=a mn，可得出x的值。

8．（1）0；1；2
（2）解：2n-2n-1=2n-1(21-20)=2n-1
（3）解：原式=20﹣（21+22+…+22017）+22018
设：S=21+22+…+22017,则2S=22
解析：（1）0；1；2
（2）解：2n-2n-1=2n-1(21-20)=2n-1
（3）解：原式=20﹣（21+22+…+22017）+22018
设：S=21+22+…+22017,则2S=22+23…+22018
S=2S-S=22+23…+22018-(21+22+…+22017)=22018-21
∴原式=20-22018+21+22018=3
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则的逆用及乘法分配律的逆用即可得出答案；
（2）通过观察，每一个减法算式的被减数及减数都是幂的形式，底数都是2，被减数的指数与式子的序号一致，减数的指数比被减数的指数小1；计算的结果也是幂的形式，底数是2，指数比序号小1，利用发现的规律即可得出答案；
（3）首先将原式变形为20﹣（21+22+…+22017）+22018，然后设：S=21+22+…+22017,则2S=22+23…+22018，S=2S-S=22+23…+22018-(21+22+…+22017)=22018-21，再代入原式即可得出答案。

9．（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，
∴ay=5，
∴ax+ay=5+5=10
（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．
【解析】【分析
解析：（1）解：∵a x+y=a x•a y=25，a x=5，
∴a y=5，
∴a x+a y=5+5=10
（2）解： 102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．
【解析】【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则得到a x+y=a x•a y，从而可求得a x的值，然后代入求解即可；
（2）先求得102α和102β的值，然后依据同底数幂的乘法法则得到102α+2β=（10α）2•（10β）2，最后，将102α和102β的值代入求解即可.
10．（1）解：∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
22m+3n=22m•23n=ab；
②24m﹣6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2= a2b2
（2）解∵2×8
解析：（1）解：∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
22m+3n=22m•23n=ab；
②24m﹣6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=
（2）解∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，
∴1+3x+4=23，
解得：x=6：
【解析】【分析】（1）分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入①②求解；（2）将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．
11．（1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- 15 ）2n=25［（-5）×（- 15 ）］2n=25
（2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n.
验证：（2n+1)2-（2n
解析：（1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- ）2n=25［（-5）×（- ）］2n=25
（2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n.
验证：（2n+1)2-（2n-1)2＝[(2n+1)+（2n-1)] [(2n+1)-（2n-1)] =4n×2=8n
【解析】【分析】（1）将x、y的值代入代数式，得出（-5）2×（-5）2n×（- 1 5 ）2n，再利用同底数幂的乘法法则及积的乘方法则计算即可。

（2）根据各个算式可知，左边为两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数，根据此规律，即可得出第n个等式为（2n+1)2-（2n-1)2=8n；再将等式的左边化简即可得证。

12．（1）2；4；6
（2）解：4×16=64，log24+log216=log264；
（3）logaMN
（4）证明：设logaM=m，logaN=n，
则M=am ， N=an ，
解析：（1）2；4；6
（2）解：4×16=64，+=；
（3）log a MN
（4）证明：设log a M=m，log a N=n，
则M=a m， N=a n，
∴MN=a m•a n=a m+n，
∴log a MN=log a a m+n=m+n，
故log a N+log a M=log a MN．
【解析】解：（1）∵4=22， 16=24， 64=26，
∴=2；=4；=6．
（2）4×16=64，+ = ；
（3）log a N+log a M=log a MN．
(4)证明：log a M=m，log a N=n，
则M=a m， N=a n，
∴MN=a m•a n=a m+n，
∴log a MN=log a a m+n=m+n，
故log a N+log a M=log a MN．
【分析】（1）根据对数的定义，把求对数写成底数的幂即可求解；
（2）根据（1）的计算结果即可写出结论；
（3）利用对数的定义以及幂的运算法则a m•a n=a m+n即可证明．。