2.5.1向量在平面几何中解题的应用
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CH p 如何证 p AB 0 ？
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。
HA BC (b p) a 0 b a p a 0 BH CA (a p) b 0 b a p b 0
p a p b 0 p (a b) 0 CH BA 0 CH BA
即 PA AQ 故有 PA// AQ ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 Q
1 2 1 CM MQ a b 2
2
A
M
B
四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 C D F M
因为 AR AE ER
1 1 所以 r b m (a b ) A 2 2
1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
D E A R
F T
C
即( n m )a ( n
B m 1
由于向量a, b不共
1 解得：n= m = 3
n m 0 线， n m 1 0 2
一、向量有关知识复习
（1）向量共线的充要条件:
a 与 b 共线 a b R, b 0
a ( x1, y1 )b ( x2 , y2 )a // b x1 y2 x2 y1 0
（2）向量垂直的充要条件：
a b a b 0 a 0, b 0
·
四、应用向量知识证明等式、求值
例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 B 求证： 3 m n Q 证：如图建立坐标系， G 设 P( x1 ,0)Q( x2 , y2 ) A(a,0), B(b, c) ab c ( , ) 所以重心G的坐标为
·
P
由PO=mOA, QO=nOB可知： PO mOA, QO nOB 即O分PA 的比为-m，O分QB 的比为-n 求得 P(m a,0)Q(nb, nc)
例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 P C 解：设 AB a, AC b 1 1 N 则 AN b, AM a
2
由此可得 BN NP b a
PA AN NP, PA (b a) a b AQ AM MQ, AQ (b a) a b
AM EN (8,4) (4 e,2) 0
解得：e=5
即AE=5
S AEM
1 AE BM 10 2
四、应用向量知识证明等式、求值
例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 求证： 3 B m n Q 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, G 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。 O P A 由PO=mOA, QO=nOB可知： O分 PA 的比为 -? 的比为-n m，O分 QB ? PO mOA, QO nOB 由此可设 P( x1 ,0)Q( x2 , y2 ) 由向量定比分点公式，可求 P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而 由向量 PG // GQ，得到 m n 的关系。
N
A E
B
四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 C D F 解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 M 由题意可得M(8,4)，N是AM的 N 中点，故N(4,2) AM (8,4) A E B =(4,2)-(e,0)=(4-e,1) EN AN AE
paq三点共线npbnmqcmpanpaqmqamaqaqpa故有且它们有公共点a所以paq三点共线aqpa四应用向量知识证明等式求值例一如图abcd是正方形m是bc的中点将正方形折起使点a与m重合设折痕为ef若正方形面积为64求aem的面积四应用向量知识证明等式求值例一如图abcd是正方形m是bc的中点将正方形折起使点a与m重合设折痕为ef若正方形面积为64求aem的面积解
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 解：设AD与BE交于H，
BC a CA b
A
H
B D
E C
CH p
HA BC (b p) a 0 b a p a 0 BH CA (a p) b 0 b a p b 0
l
x
wenku.baidu.com
a 2 bc a 2 bc a 2 bc CF ( , ) ( a , b) 2b 2a 2ab
y a bc 2a
bc a 2 CF CH 即 CF // CH 而CF、CH有公共点C，所以 2bc
C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 A 分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证 F CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF 过点H H E 只须证 AB CH B C 由此可设 BC a CA b D
a ( x1, y1 )b ( x2 , y2 )a b x1 x2 y1 y2 0
（3）两向量相等充要条件：
a b a b , 且方向相同。
a ( x1, y1 )b ( x2 , y2 )a b x1 x2 , y1 y2
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
ab c ab c PG ( ma , ) GQ ( nb , nc ) 3 3 3 3 由向量 PG // GQ 可得：
3
3
O
A
ab c c ab ( ma )( nc ) ( nb )0 3 3 3 3
1 1 3 化简得： m n
例3 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2
2
2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 2 2 2 2
2
)b 0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
故AT=RT=TC
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
cb cb c m CH ( c, ) ( a, b) a a a
A
H D
E
C
B
由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得： bx a( y a) 0 a 2 bc AB // AF 可得： x 2b AB CF 可得： 2
(b,a)( x c, y ) 0 b( x c) y(a) 0
D F T C
猜想： AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设
AB a , AD b , AR r , 则 AC a b
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
又因为 ER与EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
2 2 2
2
a b a b
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90° 思考：能否用向量坐标形式证明？
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。 D AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
p a p b 0 p (a b) 0
CH BA 0 CH BA
即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 分析：如图建立坐标系， 设A(0,a) B(b,0) C(c,0) F 再设 只要求出点 H(0,m) F(x,y) H、F的坐标， BH (b, m) CH BH CA的坐 就可求出 、 CF 标进而确定两向量共线，即三点共线。 BH CA (b, m)(c,a) bc am 0
例一、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C B O
解：设 AO a, OC b
则 AC a b, CB a b ， 由此可得： AC CB a b a b
五、巩固练习：
1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2：如图O为△ABC所在平面内一点，且满足
OA2 BC2 OB2 CA2 OC 2 AB2
求证：AB⊥OC O
A
B
C
3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、 (4，2)、(0，4)，直线 l 过A、B两点，求 点C到 l 的距离. y 分析一：如图， 为求CH长，由 CH＝AH－AC可知，关 C 键在于求出AH. B 由AC· AB的几何意 义，AC· AB等于AB的长度 H 与AC在AB方向上的投影的 O A 乘积. 所以 AC· AB＝AH· AB.
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。
HA BC (b p) a 0 b a p a 0 BH CA (a p) b 0 b a p b 0
p a p b 0 p (a b) 0 CH BA 0 CH BA
即 PA AQ 故有 PA// AQ ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 Q
1 2 1 CM MQ a b 2
2
A
M
B
四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 C D F M
因为 AR AE ER
1 1 所以 r b m (a b ) A 2 2
1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
D E A R
F T
C
即( n m )a ( n
B m 1
由于向量a, b不共
1 解得：n= m = 3
n m 0 线， n m 1 0 2
一、向量有关知识复习
（1）向量共线的充要条件:
a 与 b 共线 a b R, b 0
a ( x1, y1 )b ( x2 , y2 )a // b x1 y2 x2 y1 0
（2）向量垂直的充要条件：
a b a b 0 a 0, b 0
·
四、应用向量知识证明等式、求值
例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 B 求证： 3 m n Q 证：如图建立坐标系， G 设 P( x1 ,0)Q( x2 , y2 ) A(a,0), B(b, c) ab c ( , ) 所以重心G的坐标为
·
P
由PO=mOA, QO=nOB可知： PO mOA, QO nOB 即O分PA 的比为-m，O分QB 的比为-n 求得 P(m a,0)Q(nb, nc)
例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 P C 解：设 AB a, AC b 1 1 N 则 AN b, AM a
2
由此可得 BN NP b a
PA AN NP, PA (b a) a b AQ AM MQ, AQ (b a) a b
AM EN (8,4) (4 e,2) 0
解得：e=5
即AE=5
S AEM
1 AE BM 10 2
四、应用向量知识证明等式、求值
例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 求证： 3 B m n Q 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, G 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。 O P A 由PO=mOA, QO=nOB可知： O分 PA 的比为 -? 的比为-n m，O分 QB ? PO mOA, QO nOB 由此可设 P( x1 ,0)Q( x2 , y2 ) 由向量定比分点公式，可求 P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而 由向量 PG // GQ，得到 m n 的关系。
N
A E
B
四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 C D F 解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 M 由题意可得M(8,4)，N是AM的 N 中点，故N(4,2) AM (8,4) A E B =(4,2)-(e,0)=(4-e,1) EN AN AE
paq三点共线npbnmqcmpanpaqmqamaqaqpa故有且它们有公共点a所以paq三点共线aqpa四应用向量知识证明等式求值例一如图abcd是正方形m是bc的中点将正方形折起使点a与m重合设折痕为ef若正方形面积为64求aem的面积四应用向量知识证明等式求值例一如图abcd是正方形m是bc的中点将正方形折起使点a与m重合设折痕为ef若正方形面积为64求aem的面积解
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 解：设AD与BE交于H，
BC a CA b
A
H
B D
E C
CH p
HA BC (b p) a 0 b a p a 0 BH CA (a p) b 0 b a p b 0
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a 2 bc a 2 bc a 2 bc CF ( , ) ( a , b) 2b 2a 2ab
y a bc 2a
bc a 2 CF CH 即 CF // CH 而CF、CH有公共点C，所以 2bc
C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 A 分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证 F CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF 过点H H E 只须证 AB CH B C 由此可设 BC a CA b D
a ( x1, y1 )b ( x2 , y2 )a b x1 x2 y1 y2 0
（3）两向量相等充要条件：
a b a b , 且方向相同。
a ( x1, y1 )b ( x2 , y2 )a b x1 x2 , y1 y2
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
ab c ab c PG ( ma , ) GQ ( nb , nc ) 3 3 3 3 由向量 PG // GQ 可得：
3
3
O
A
ab c c ab ( ma )( nc ) ( nb )0 3 3 3 3
1 1 3 化简得： m n
例3 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2
2
2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 2 2 2 2
2
)b 0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
故AT=RT=TC
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
cb cb c m CH ( c, ) ( a, b) a a a
A
H D
E
C
B
由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得： bx a( y a) 0 a 2 bc AB // AF 可得： x 2b AB CF 可得： 2
(b,a)( x c, y ) 0 b( x c) y(a) 0
D F T C
猜想： AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设
AB a , AD b , AR r , 则 AC a b
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
又因为 ER与EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
2 2 2
2
a b a b
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90° 思考：能否用向量坐标形式证明？
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。 D AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
p a p b 0 p (a b) 0
CH BA 0 CH BA
即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 分析：如图建立坐标系， 设A(0,a) B(b,0) C(c,0) F 再设 只要求出点 H(0,m) F(x,y) H、F的坐标， BH (b, m) CH BH CA的坐 就可求出 、 CF 标进而确定两向量共线，即三点共线。 BH CA (b, m)(c,a) bc am 0
例一、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C B O
解：设 AO a, OC b
则 AC a b, CB a b ， 由此可得： AC CB a b a b
五、巩固练习：
1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2：如图O为△ABC所在平面内一点，且满足
OA2 BC2 OB2 CA2 OC 2 AB2
求证：AB⊥OC O
A
B
C
3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、 (4，2)、(0，4)，直线 l 过A、B两点，求 点C到 l 的距离. y 分析一：如图， 为求CH长，由 CH＝AH－AC可知，关 C 键在于求出AH. B 由AC· AB的几何意 义，AC· AB等于AB的长度 H 与AC在AB方向上的投影的 O A 乘积. 所以 AC· AB＝AH· AB.