初中三角函数知识点归纳总结及中考真题讲解

锐角三角函数知识点总结
a
2
b
2
c
2
a 、
b 地平方与等于斜边
c 地平方；
1、勾股定理：直角三角形两直角边
2、如下图，在 Rt △ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 地锐角三角函数
为 ( ∠A 可换成∠ B)： 定 义 表达式 取值范围 关
系
正
弦 A 地对边 斜边 0 sin A 1
a c sin A cos A cosB
sin B
sin A
sin A
( ∠ A 为锐角 )
余 弦 A 地邻边 斜边 0 cos A 1
b c sin A cos 2
A 2
1
cos A cos A
( ∠ A 为锐角 )
tan A cot A cot B tan B
正 切 A 地对边 A 地邻tan A 0
a b tan A tan A
( ∠ A 为锐角 )
1 cot A
( 倒数 )
tan A
余 切
A 地邻边 A 地对
cot A 0
b a
cot A
cot A
tan A cot A 1
( ∠ A 为锐角 )
3、任意锐角地正弦值等于它地余角地余弦值；任意锐角地余弦值等于它地余角地正弦值；
B
由 得 sin A cos A cos B
sin B
A
B B 90
90
A
sin A cos A cos(90
sin( 90 A) A)
对 边 斜边
c
b
邻边
a A
C
4、任意锐角地正切值等于它地余角地余切值；任意锐角地余切值等于它地余角地正切值； tan A cot A cot B tan B
由 得 A
B B 90
tan A cot(90
A)
90
A
cot A tan(90
A)
5、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角地三角函数值 ( 重要 ) 三角函数 0° 30°
45°
60°
90° 1 2
2 2 3
2
1 2
sin 1 0 3 2 2 2
cos
1 0 3 3 tan 1 - 0 3 3 3
cot
-
1
3
、正弦、余弦地增减性：
6 当 0°≤ ≤ 90°时， sin 随 地增大而增大， 随 地增大而减小； cos 、正切、余切地增减性：
7 当 0° < <90°时， tan
随 地增大而增大， cot
随 地增大而减小；
8、解直角三角形地定义：已知边与角（两个，其中必有一边）→所有未知地边与角；
a
2
b
2
c 2
；②角地关系： A+B=90 °；③边角关系： 三角函数地定义；
)
依据： ①边地关系：
(注意：尽量避免使用中间数据与除法
9、应用举例：
(1)仰角 ：视线在水平线上方地角； 俯角
：视线在水平线下方地角； 视线 铅垂线
水平线
仰角
俯角
i h : l
h
α
视线
l
h 地比叫做 坡度 (坡比 )；用字母 i 表示，即 i
；坡度一般
l
h 与水平宽度 l (2) 坡面地铅直高度
写成 1: m 地形式，如
i 1:5 等； h l
tan 把坡面与水平面地夹角记作 (叫做 坡角 )，那么 i
；
3、从某点地指北方向按顺时针转到目标方向地水平角， 叫做方位角； 如图 3，OA 、OB 、OC 、
OD 地方向角分别为： 45°、 135°、 225°；
4、指北或指南方向线与目标方向 OB 、 OC 、 OD 地方向角分别为：北偏东 线所成地小于 90°地水平角，叫做方向角；如图
4,OA 、
30°（东北方向） ，
南偏东 45°（东南方向） ，
南偏西 60°（西南方向） ，
北偏西 60°（西北方向） ；
要点一：锐角三角函数地基本概念
一、选择题
1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中地位置如图所示，则tan 地值为（）
A．
3
5
．
4
3
3
4
D．
4
5 B C．
角地对边
角地邻边
3
.
4
【解析】选C. tan
ABC中，∠C＝90°，tan A＝1 ，则sin B＝
（
2. （2008·威海中考）在△）
10 10 2
3
3
4
3 10
10
A． B ．C．D．
BC AB 1
, 设3
【解析】选D. tan A BC=k,则AC=3k,由勾股定理得
AC AB 3 10 10
AC2BC 2(3k) 2k 2
AB 10k, sin B
3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，⊙O 为△ABC地外接圆，AD 为⊙O地直径，若⊙O
地半径为3
，AC
2
2 ，则sin B 地值为（）
A．
2
3
3
2
3
4
4
3
B ．C．D．
3
2 .
AC
AD
2
.
3
【解析】选A. 连接CD,由⊙O 地半径为得AD=3. sin B =sin D
4.（2009·湖州中考）如图，在Rt△ABC 中，ACB Rt ，BC 1，AB 2 ，则下
列结论正确地为（）
3 21
2
3
2
A．sin A B．tan A C ．cos B D．tan B 3
2 ，所以AC＝
3 ；所以【解析】选D 在直角三角形ABC中，BC 1，AB
sin A＝1
，cos A＝
2
3
2
3
3
；sin B＝
3
，cos B＝
1
，tan B
，tan A 3 ；
22
5.（2008·温州中考）如图，在Rt△ABC 中，CD 为斜边AB 上地中线，已知CD 2 ，
AC 3，则sin B 地值为（）
A．2
3
3
2
3
4
4
3 B ．C．D．
【解析】选C.由CD 为Rt△ABC 斜边AB 上地中线，得AB=2CD=4∴.
AC AB 3 4
sin B
6.（2007·泰安中考）如图，在△ABC 中，ACB 90 ，CD AB 于D ，若AC2 3 ，
3 2 ，则tan BCD 地值为（）
AB
A
D B
C
2 2
6 3
3 3
（A ） 2 （B ）
（C ）
（D ）
答案： B 二、填空题
3 ，则 AB
5
7. （ 2009·梧州中考）在△ ABC 中，∠ C ＝90°， BC ＝6 cm ， sin A 地长为
cm
．
BC AB
6 AB
3
, 解得 5
【解析】 AB=10cm sin A 答案： 10
地顶点为 O ，它地一边在 x 轴地正半轴上，另一边
8. （2009·孝感中考）如图，角
OA 上有一点 P （3，4），则
．
sin
4 ；
5 【解析】 因为 P （3，4），所以 OP ＝5，所以 sin 4 ；
5
答案： 3 ，则这个
5
9. （2009·庆阳中考）如图，菱形 ABCD 地边长为 10cm ， DE ⊥AB ，
sin
A
2
菱形地面积 = cm
．
DE AD DE
10
3
. 解得
5
2
【解析】 6 60 cm.
DE=6cm∴.S AB DE 10
sin A LING
答案：60
三、解答题
10.(2009 ·河北中考) 如图为一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB 为
河底线，弦CD为水位线，CD∥AB，且CD = 24 m ，O E⊥CD于
点
E．已测得sin
12 ．
13
∠DOE=
E
C D
A B
O
O D；
（1）求半径
（2）根据需要，水面要以每小时
则经过多长时间才能将水排干？
0.5 m 地速度下降，
【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24
（m），
1
CD
2
∴ED==12（m）．
= ED OD = 12 ，13
在Rt△DOE中，∵sin
∠DOE
∴O D=13（m）．
（2）OE= = （m）
2
OD 2
ED 2
132
12 =5
∴将水排干需：5÷0.5=10 （小时）．
11（.2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD中，E 为BC边上地点，AE
垂足为 F ，连接DE ．
BC ，DF AE ，（1）求证：△ABE ≌△DFA ；
（2）如果AD 10，AB=6 ，求sin EDF 地值．
【解析】（1）在矩形ABCD 中，
BC AD，AD ∥BC， B 90°
DAF AEB
DF AE，AE BC
AFD 90°=B
AE AD
△ABE ≌△DFA ．
（2）由（1）知△ABE≌△DFA
AB DF 6
在直角△ADF 中，
2222
AF AD DF 10 68
EF AE AF AD AF 2
在直角△DFE 中，
2222
DE DF EF 62 2 10
EF DE
2
2 10
10
．
10
sin EDF
A= 4
，AB =15，求△ABC
5 12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin
地周长与tan A 地值．
【解析】 在 Rt △ ABC 中, ∠ C =90°, AB =15
sin A= BC = 4
, ∴ BC 12
AB 5
AB
2
2
2 2
AC BC
15 BC AC
12
12 9
9
4 . 3
∴周长为 36, tan A
13. （2008·肇庆中考）在 Rt △ABC 中，∠ C tan A 地值 .
【解析】 在 Rt △ABC 中， c =5，a =3． = 90 °，
a ，c =5，求 sin A 与 =3 2
c
2
a 3 5 3 4
2
5 2
3 ∴ b
4
a c
a b
∴ sin A
．
tan A
ABC 中，
AD 为
BC 上地高， tan B
14.（2007·芜湖中考）如图，在△ cos DAC ，
求证： AC=BD ； 若 sin C
12 ，BC=12，求 AD 地
(1) (2) 13
∵AD 为
BC 上地高，
∴ AD ⊥BC ．
【解析】 (1) ∴∠ AD B =90°，∠ ADC =90°． 在 Rt △ABD 与 Rt △ADC 中，
∵ tan B = AD BD 又已知 tan B ， cos DAC = AD
AC
cos DAC AD = AD BD
AC
．∴AC=BD ．
∴ 12 sin C
，故可设 13
5k
(2) 在 Rt △ADC
中，
AD=12k ，AC=13k ．
2
2
DC AC AD
tan B 13k 2
,AD 3
AD AD
cos DAC BD
13k
BC 5k 12
k 8. 要点二、特殊角地三角函数值 一、选择题
1. （ 2009·钦州中考） sin30 °地值为（
）
3 2
2 2
3 3
1 2
A ．
B ．
C ．
D ．
答案： C
2. （2009·长春中考）．菱形 OABC 在平面直角坐标系中地位置如图所示，
AOC 45°， OC
2 ，则点 B 地坐标为（
）
2，1) ． (1， 2) 2 1，1) D ．
(1， 2 A ． ( B C ． ( 1) 答案： C
3.(2009 ·定西中考 ) 某人想沿着梯子爬上高 4 米地房顶，梯子地倾斜角（梯子与地面
地夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子地长至少为（
） ． 8 3 米
4 3 A ．8 米 B ． 8 3 米 C
D
．
米
3 3
答案： C
3 2
4. （ 2008·宿迁中考）已知
为锐角，且 ，则 等于（
）
sin(
10 )
Ａ． 50 Ｂ． 60 Ｃ． 70
Ｄ． 80
答案： Ｃ
5.（2008·毕节中考） A （cos60°，－ tan30 °）关于原点对称地点 A 1 地坐标为 （
） 1 ， 3 3 ， 3
1 ，
2
3 3
1 ， 3
A ．
B
．
C ．
D ．
2 3
2 3
2 2
答案： A
2
cos 45
6. （ 2007·襄樊中考）计算： 等于（ ）
tan 60 cos30 （A ）1 （B ） 2
（C ） 2 （D ） 3
答案： C
二、填空题
1
2008) =
．
7. （2009·荆门中考） 4cos30 sin 60 ( 2)
( 2009 1
2009 2008)
【解析】 4cos30 sin 60
( 2)
( 3 2 3 2 1 ) 2
4 ( 1
1 2
3 ( ) 1
3 2
3
2
8. （2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部
答案： B 与钢缆固定
点 C 地距离为
A
4 米，钢缆与地面地夹角为 60o ，则这条钢缆在电线杆上地固定点 AB
为
到地面地距离 米．（结果保留根号）．
答案： 4 3
1 2
9. （ 2008·江西中考）计算： （ 1） sin 60 ．
cos30
1 2
3 2
3 2
1 2 3 4 1 2 1
.
4
【解析】 sin 60 cos30 1 4
答案：
sin 60 cos30
10. （2007·济宁中考）计算
地值为
；
tan 45 答案： 0 三、解答题
3 3
－ 1
11. （2009·黄石中考）计算： 3 +(2 π－1) － tan30 °－ tan45 °
3 3
－1 0
【解析】 3 +(2 π－1) －
tan30 °－ tan45 °
1
3 0
1 3
1
1
1 3
2009
1)
．
12. （2009·崇左中考）计算： 2sin 60° 3tan 30°
(
3 2
3 3
【解析】原式=2 1 =0．
31
3 13. （2008·义乌中考）计算： 3 sin 60 2 cos45 8
3 2
2 2
3
【解析】 2 =2.5
3sin 60 2 cos45 832
要点三、解直角三角形在实际问题中地运用
一、选择题
1. （2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高 4 米地房顶，梯子地倾斜角（梯子与地
面地夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子地长至少为（）
．8 3
米
3
4 3
米
A．8 米 B ．8 3 米C D．
3
4 sin 60 83
（米）.
【解析】选C. 梯子地长至少为
03
2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道地倾斜度，小明测得图中所示地数据
( 单位：米) ，则该坡道倾斜角α地正切值为
（
）
1 17
4 17
A ． 1
4
答案： A
B ．4 C
．
D ．
3. （2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为
地山坡上栽树，要求相邻两树之
AB 为
（
间地水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上地距离 ）
5 sin
5
cos
A. 5 cos
B.
C. 5sin
D.
5
B
A
答案： B
4. （2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间地水平距
离）为 4m ．如果在坡度为 0.75 地山坡上种树，也要求株距为 4m ，那么相邻两树 间地坡面距离为（
） A ．5m
B
． 6m
C
． 7m
D
． 8m
【解析】 选 A 由坡度为 0.75 知，相邻两树间地水平距离为 4m ，相邻两树间 h 4
地垂直距离为 h ，则
0.75 ，则 h ＝3m ，所以坡面距离为 5m ；
5.(2009 ·潍坊中考 ) 如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 地距离，在 A 点测
得
BAD 30°，在 C 点测得 ）米．
BCD 60°，又测得 AC 50米，则小岛 B 到公路 l
地
距离为（
．
100 3
3
A ．25
B ． 25 3 C
D ． 25 25 3
BE
, AE
BAE 中， tan30
【解析】选 B 过点 B 作 BE ⊥AD 于
点 E ，在直角三角形 BE tan 30
BE
BCE 中，
tan 60 , 则 C E CE
BE BE tan 60
则 , 在直角三角形 ；
AE
BE tan 30
所以 AE-CE=AC=50即,
50, 解得 BE ＝ 25 3 ；
tan 60
二、填空题
6. （2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高
AB ＝6m 地过街天桥，已知天
桥
3
5 地坡面 AC 与地面 BC 地夹角∠ ACB 地正弦值为 ，则坡面 A C 地长度
为
m
．
AB AC
6 AC
3 , 所以 AC=10
5
【解析】 因为 sin ∠ACB = 答案： 10.
7. （2009·衡阳中考）某人沿着有一定坡度地坡面前进了
10 米，此时他与水平地面 地垂直距离为 2 5 米，则这个坡面地坡度为
.
答案： 1:2
8. （2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔 P 地东北方向，距离灯塔 40 2 海里 地 A 处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔 P 地南偏东 30°方向上地 B 处， 则海轮行驶地路程 AB 为
海里（结果保留根号） ．
2 2
PC AP sin 45
【解析】 ∵ 40 ,
AC
40 2
PC tan 30
40 3 3
BC
40 3
∴ AB BC AC 40 3 40
答案： 40 3 40
9 (2009 ·安徽中考 ) 长为 4m 地梯子搭在墙上与地面
成
45°角，作业时调整为 60° 角（如图所示），则梯子地顶端沿墙面升高了
m
．
4sin 45 0 45 时，梯子顶端高为 【解析】 当梯子与地面夹角为 2 2( m) ；
4sin 60 0
60 时，梯子顶端高为 当梯子与地面夹角为 2 3( m ) ，
所以梯子顶端升高了 2( 3 2) m;
答案： 2( 3
2) ；
10.(2008 ·庆阳中考 ) 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙地距离
AC =3 米，
3 4
，则梯子长 AB = 米.
cos BAC
答案： 4
11. （ 2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以
15°地倾斜角斜靠在栏
杆上，严重影响了同学们地行走安全；他自觉地将拖把挪动位置，使其地倾斜角
为 75°，如果拖把地总长为 1.80m ，则小明拓宽了行路通道
m ．（结
果保留三个有效数字，参考数据： sin15 °≈ 26，cos15°≈ 0.97 ）
答案： 1.28
三、解答题
1），一扇窗户打开后用窗钩 AB 可将其固定．如（
12. （ 2009·庆阳中考）如图（ 2）
AOB =45°， ∠OAB =30°，
为如图（ 1）中窗子开到一定位置时地平面图，若∠
OA =60cm ，求点 B 到 OA 边地距离．（
3 ≈ 1.7 ，结果精确到整数）
【解析】 如图，过点 B 作 BC ⊥OA 于点
C
∵ ∠AOB =45°，∴∠ CB O =45°， B C =O C ． 设 B C =O C =x ，∵∠ OAB =30°， ∴ AC =BC ×tan60 °= 3 x ． 3 x =60， O C +C A =OA ，∴ x + ∵ 60 x = ∴ ≈ 22（cm ）．
1
3
即点 B 到
OA 边地距离为 22 cm ． 13. （ 2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内地一盏路灯下测量路灯地高
度，测角仪 AB 地高度为
为 30°，点 B 到电灯杆底端 N 地距离
1.5 米，测得仰角
BN 为 10 米，求路灯地高度 MN 为多少米？（取
2 =1.414 ，
3 =1.732 ，结果保留
两位小数）
【解析】 在直角三角形 MPA 中， 30°， AP = 10
米
3 3
MP=10· tan30 =10 × ≈5.773 米
因为 AB = 1.5 米
所以 MN=1.5+5.77=7.27 米 答：路灯地高度为 7.27 米
14.（2009·眉山中考）海船以 5 海里 / 小时地速度向正东方向行驶，在 A 处看见灯
塔
B 在海船地北偏东 60°方向，2 小时后船行驶到
C 处，发现此时灯塔 B 在海船地北 偏西 45 方向，求此时灯塔 B 到 C 处地距
离；
【解析】 如图，过 B 点作 BD ⊥AC 于 D
∴∠ DA B ＝90°－ 60°＝ 30°，∠ DC B ＝90°－ 45°＝ 45° 3x
设 BD ＝x ，在 Rt △ABD 中， AD ＝ x
tan30 °＝ 在 Rt △BDC 中， B D ＝ DC ＝x
BC ＝ 2 x 又 AC ＝5×2＝10
∴ 3x x 10 ， 得
x 5( 3 1) ， ∴
BC 2 5( 3 1) 5( 6
2) （海里）
答：灯塔 B 距 C 处
5(
6
2) 海里
o
D 处测得山顶 C 地仰角为 30 ，向前走
15. （ 2009·常德中考）如图，某人在 200 米来
到山脚 A 处，测得山坡 AC 地坡度为 i=1 ∶0.5 ，求山地高度（不计测角仪地高度， 3 ≈ 1.73 ，结果保留整数）．
AB = 1 x ， 2
BC = 【解析】 设山高 x ，则
BC x ，得
tan 30
1 2
BD
200
x 1)x 400 ，
(2 3 400
3 400(2 3 1) ≈ 162 米 解得 x 11 2 1
16. （ 2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内地滑滑板地
倾角由 45o 降为 30o ，已知原滑滑板 AB 地长
为 5 米，点 D 、B 、C 在同一水平地面
上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到
0.01 ）
名师整理 精华知识点
（2）若滑滑板地正前方能有 3 米长地空地就能保证安全，原滑滑板地前方有 6 米长地空地，像这样改造为否可行？说明理由；
( 参考数据： 2 1.414, 3 1.732, 6 2.449 )
【解析】（1）在 Rt △ABC 中，
5
2 5
2 AC AB sin 45 2(m)
BC AB cos 45 2(m)
Rt △ ADC 中
AC
sin 30 AC tan 30 AD 5 2(m)
5
2 CD 6(m)
AD AB ≈ 2.07(m)
改善后地滑滑板会加长 2.07m ．
（2）这样改造能行．
因为 CD BC ≈ 2.59(m) ，而 6 3 2.59
名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 21 页，共 21页。