高三数学一轮复习知识点讲解5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数

高三数学一轮复习知识点讲解
专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【考纲解读与核心素养】
1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.
2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.
3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测：
（1）三角函数的定义；
（2）扇形的面积、弧长及圆心角；
（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 5.备考重点：
(1) 理解三角函数的定义；
(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.
【知识清单】
知识点1．象限角及终边相同的角 1．（1）任意角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l
r ，l 是以角α作为圆心角时
所对圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l
r 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180
rad ．
知识点2．三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y ； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x ；
（3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝y
x .它们都是以角为自变量，以单位圆上点
的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y ＝sinx ，x ∈R ； 余弦函数 y ＝cosx ，x ∈R ； 正切函数 y ＝tanx ，x ≠π
2
＋k π（k ∈Z ）．
2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式
在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝l
r ，变形可得l ＝|α|r ，此公式称为弧长公式，
其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式
由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝1
2lr ，
将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝1
2|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
名称 角度制 弧度制 弧长公式 l ＝n πr
180
l ＝__|α|r __ 扇形面积公式 S ＝n πr 2
360
S ＝
|α|2r 2 ＝ 12
lr 注意事项
r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数
r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l 是弧长
【典例剖析】
高频考点一 象限角及终边相同的角
【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 由题意得，与终边相同的角可以表示为．
故选B ． 【规律方法】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角
α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】
若角α是第二象限角，试确定α2，
2
α
的终边所在位置．
【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2
α
的终边在第一象限或第三象限.
【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2
k k k Z π
παππ+<<+∈，
（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，
∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2） ,4
22
k k k Z π
α
π
ππ+<
<+
∈，当2 ,k n n Z =∈时， ∴ 22 ,4
2
2
n n n Z π
α
π
ππ+<
<+
∈，
∴
2
α
的终边在第一象限．
当2 1 ,k n n Z =+∈时， ∴5322 ,422
n n n Z παπππ+<<+∈， ∴
2
α
的终边在第三象限．
综上所述，
2
α
的终边在第一象限或第三象限．
【总结提升】
象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角：
象限角集合表示
第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} (2)轴线角：
角的终边的位置集合表示
终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}
高频考点二三角函数的定义
【典例2】已知角的终边过点,且，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意可知，，
，是第三象限角，
可得，
即，解得，故选B.
【典例3】已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．
【答案】
【解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sinα＝2 5
＝
255，cos α＝15＝55
，tan α＝2
1＝2． 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝
－1
2
＋－2
2
＝5，得：
sin α＝－25＝－255，cos α＝－15
＝－55，tan α＝－2－1＝2．
【典例4】（2011·江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25
sin 5
θ=-，则y=_______. 【答案】-8 【解析】
根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.
=
【规律方法】
1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式探究】
1.（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点
，则
的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】
由三角函数的定义可得．
故选B ．
2.已知角的终边在射线
上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
由题得在第四象限,且，
所以
故答案为： A.
【总结提升】
(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝
b a 2＋b
2
，余弦值cos α＝a
a 2＋b
2
，正切值tan α＝a
b
． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 高频考点三：三角函数值的符号判定 【典例5】已知
且
，则角的终边所在的象限是
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 【答案】B
【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.
【典例6】确定下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°； (2)sin 7π8·tan 7π8；
(3)cos6·tan6． 【答案】
【解析】先确定角所在象限，进而确定各式的符号． (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0． 于是sin105°·cos230°<0．
(2)∵π2<7π
8<π，
∴
7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π
8
<0． ∴sin 7π8·tan 7π
8
<0．
(3)∵3π
2<6<2π，∴6是第四象限角．
∴cos6>0，tan6<0，则cos6·tan6<0． 【总结提升】
判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解． 【变式探究】
1.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)
D ．[－2,3]
【答案】A
【解析】 ∵00cos ，sin αα≤>，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴39020
a a ⎧-≤⎨
+>⎩∴23－a <≤.故选A.
2.(1)判断下列各式的符号： ①sin3·cos4·tan5；
②α是第二象限角，sin α·cos α．
(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ
2是第( )象限角．
A ．一
B ．三
C ．一或三
D ．任意象限角
【答案】（1）①正，②负；（2）C
【解析】 (1)①π2<3<π，π<4<3π2，3π
2<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0． ②∵α是第二象限角，
∴sin α>0，cos α<0，∴sin αcos α<0．
(2)由cos θ<0且sin θ>0，知θ是第二象限角，所以
θ
2
是第一或三象限角．
高频考点四：扇形的弧长及面积公式
【典例7】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为
的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差
为（ ）平方米.（其中，）
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18 【答案】B 【解析】
因为圆心角为，弦长为
，所以圆心到弦的距离为
半径为40，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，
因此两者之差为，选B.
【典例8】（2019·河南高考模拟（理））已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）
A ．12S S =
B ．12S S ≤
C ．12S S ≥
D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >
【答案】A 【解析】
如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =
⋅⋅=⋅⋅扇形，1
2
AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形， 所以12S S =，
【典例9】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】r=10cm, θ＝＝2rad, 100 cm 2
【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .(0<r <20) ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2
＋100．
∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2
，
此时θ＝l r ＝40－2×1010
＝2(rad)．
【总结提升】
1.(1) 弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝1
2lr ，此时α为弧度．扇形面积公式
，扇形中弦长公式
，扇形
弧长公式
在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2
360
，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．
2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想． 【变式探究】
1.（2019·甘肃高三月考（理））若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )
A ．5
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B 【解析】
因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R ，扇形弧长为l ，则lR=2R+l ，所以即是lR=4R+2l ， ∴l=
∵l＞0，∴R＞2 故选：B ．
2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C
【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则1
21282
l r S lr +===，，
∴解得28r l ==， 或44r l ==， 41l
r
α==或，
故选C ．
3.一个扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．
【答案】圆心角α等于2弧度时，这个扇形的最大面积是25 cm 2
． 【解析】
设扇形的半径为r cm ，则弧长为l ＝(20－2r ) cm ． 由0<l <2πr ，得0<20－2r <2πr ，∴10π＋1
<r <10．
于是扇形的面积为S ＝12(20－2r )r ＝－(r －5)2
＋25(10π＋1<r <10)．
当r ＝5时，l ＝10，α＝2，S 取到最大值，此时最大值为25 cm 2．
故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm 2
． 【特别提醒】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
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金榜题名前程似锦。