人教版初一数学下册二元一次方程解法(代入法)

核
心
思 解一元一次方程得到一个未知数的值
想
是
消
求另一个未知数的值
元
小婷知道


x y

1, 1
和

x y

ax+by+4=0的解，她想知道
2,
2
x

y
都是二元一次方程 3 , 是否也是方程
4
ax+by+4=0的解，探究新知
知识点1 用代入法解二元一次方程组
问题 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队 胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得 到16分，那么这个队胜负分别是多少？
问题1 你能根据问题中的等量关系列出二元一次 方程组吗？
解：设胜x场，负y场． x+y=10， 2x+y=16．
问题 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队 胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得 到16分，那么这个队胜负分别是多少？
问题列法1：
5x2y，
①
500x250y22.5．②
分析：
（1）估算一下方程②的解是自然数吗？ （2）符合实际意义吗？ （3）仔细审题，造成上述问题的原因是什么？
问题列法2：
x:y2:5， 500x250y22500000.
分析： （1）这个方程组是二元一次方程组吗？为什么？ （2）如何得到二元一次方程组？
（1）3x 2y 1 2
（ 3） 5x3yx2y
（2）1 x 7 y 2 44
（ 4） 23y36x4
解：（1）y 3 x 1
42 （3）y 4 x
5
（2）y 1 x 8 77
（4）y x 5 3
2.用代入法解下列方程组：
y x3；① (1)7x5y 9；②

1, 1
和

x y

2 2
, 都是二元一次方程ax+by
+4=0的解，∴
a b 4 0, 2a 2b 4
0.
解得
a

b

3, 1.
代入二元一次方程ax+by+4=0，得-3x+y+4=0.
将


x y

3, 4
代入-3x+y+4=0，得-3×3+4+4=-1≠0，
答：他骑车用了1.25 h，步行用了0.25 h.
误区 用代入法消元时，误将关系式代入原方程
1.解方程组：32xx87yy180，.②①
错 解 由①得 x 8 7 y ③，将③代入①，得
2
8=8.所以原方程组无解.
正 解 由①得 x 8 7 y ③，将③代入②，
2
得 3×87y8y10，解得 y 4 .
2
5
把y4
5
带入③，得 x

6 5
.

所以原方程组的解是



x y

6， 5 4
5
.
错因分析 第二步中用所得的关系式代入消 元时，不能将变形后的方程代入变形前的原 方程中，否则，只能得到一个恒等式，不能 解出方程组.
随堂演练
基础巩固
1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
解：由①得
解得
t53s s1
代入②得
代入③，得
s2(53s)15 t 8
所以这个方 程组的解是：
s 1，

t
８
．
例2 有48支队520名运动员参加篮、排球比赛， 其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名 运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有 多少支参赛？
解：设篮球有x支参赛，排球队有y支参赛，由 题意，得
x y 48，
①
10x 12y 520 . ②
例2 有48支队520名运动员参加篮、排球比赛， 其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名 运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有 多少支参赛？ 解：由①，得x=48-y. ③ 把③代入②，得10（48-y）+12y=520.解得y=20. 把y=20代入③，得x=28. 所以这个方程组的解为x=28，y=20. 答：篮球队有28支参赛，排球队有20支参赛.
含有两个未知数，每个未知数的项的次 数都是1，并且一共有两个方程，像这样的 方程组叫做二元一次方程组．
知识点2
代入法解二元一次方程组的简 单应用
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）
和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计
算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，
解：设到花果岭的人数为x人，到云水洞的人数
为y人，由题意，得
x
x

y 2
y210.0②,①把②代入①,得
2y-1+y=200.解得y=67.把y=67代入②，得x=133.
所以这个方程组的解为

x y

1 3 3， 67.
课堂小结
代 入
用一个未知数表示另一个未知数
法
的
代入消元
5x2y, 500x250y22500000.
问题6 请你用代入消元法解上面的方程组．
解得
x 20 000 ，

y

50
000
．
答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶.
例1 用代入法解下列二元一次方程组：
3s t 5 ， ①

s

2t

15
；②
问题2 这个实际问题能列一元一次方程求解吗？
解：设胜x场，则负(10－x)场． 2x+（10－x）=16．
问题3 对比方程和方程组，你能发现它们之 间的关系吗？
x+y=10，
消元思想： 将未知数的
2x+y=16
个数由多化少、
2x+(10－x)=16． 逐一解决的思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个 未知数用含另一个未知数的式子表示出来， 再代入另一个方程，实现消元，进而求得 这个二元一次方程组的解．这种方法叫做 代入消元法，简称代入法．
作，所以这节课我们就来探究如何解二元一次
方程组.
• 学习目标： 1．会用代入消元法解简单的二元一次方程组. 2．知道解二元一次方程组的基本思想是“消 元”，经历从未知向已知转化的过程，体会化归 思想.
• 学习重、难点： 重点：会用代入法解简单的二元一次方程组，体 会解二元一次方程组的思路是“消元”. 难点：掌握代入消元法解二元一次方程组的一般 步骤.
路施工步行一段路，1.5h后到达县城.他骑车的 平均速度为15km/h，步行的平均速度为5km/h，
路程全长20km，他骑车与步行各用了多少时间？
解：设他骑车用了x h，步行用了y h，由题意，得
x y 1.5， ① 15x 5y 20．②
由①得x=1.5-y. ③
把③代入②,得15(1.5-y)+5y=20.
4x y15；①
(2) 3x2y
3；②
解：（1）把①代入②，得7x+5(x+3)=9，
解得 x 1 ，代入①，得 y 5 ，
2
2

∴方程组的解为



x y


5 2
1 2 .
,
2.用代入法解下列方程组：
y x3；① (1)7x5y 9；②
4x y15；①
问题4 例2中有哪些等量关系？
答：等量关系包括：大瓶数︰小瓶数＝2︰5；
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5（t）
等量关系： 大瓶数︰小瓶数＝2︰5； 大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5 t
问题5 如何用二元一次方程组表示上面的两个等 量关系？
正确列法：
5x2y， 500x250y22500000．
解得y=0.25.
2.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道 路施工步行一段路，1.5h后到达县城.他骑车的 平均速度为15km/h，步行的平均速度为5km/h， 路程全长20km，他骑车与步行各用了多少时间？
解：把y=0.25代入③，得x=1.25.
所以这个方程组的解为

x y

1.25 ， 0.25 ．
这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
问题3 例2中有哪些未知量？
答：未知量有消毒液应该分装的大瓶数和小瓶 数．所以可设这些消毒液应分装大瓶和小瓶的数量 分别为x、y．
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g） 和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计 算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t， 这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
∴


x y

3, 4
不是方程-3x+y+4=0的解.
课后作业
1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。
教学反思
本课时在进行“代入消元法”时，遵循了“由 浅入深、循序渐进”的原则，引导并强调学生观察未 知数的系数，注意系数是1的未知数，针对这个系数 进行等式变换，然后代入另一个方程.在这个教学过 程中，学生的学习难点就是当未知数的系数不是1的 情况，用含有一个字母的代数式表示另一个字母，教 师应该引导学生熟练进行等式变换，这个过程教师往 往忽略训练的深度和广度，要注意把握训练尺度.
练习
1.用代入法解下列二元一次方程组：
3x 4 y 16， ① 5x 6 y 33 ． ②
解：由①得
解得
所以这个方
x 1(1 64y) 3
代入②得
y1 2
代入③，得
5(164y)6y33 x6
3
程组的解是：

x y

6， 1． 2
2.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道
8.2 消元——解二元一次方程组 第1课时 代入消元法
R·七年级下册
情景导入
对于引言中的问题，我们在上节课通过设
两个未知数（设胜x场，负y场），列出了二元
一次方程组

x 2
y x
1 y
0 1
，
6 ，并通过 列x 表6 找， 公共解
的办法得到了这个方程组的解

y

4．
显然这
样的方法需要一个个尝试，有些麻烦，不好操
(2) 3x2y
3；②
解：（2）由①，得y=-4x+15.③
把③代入②得3x-2(-4x+15)=3.
解得x=3.把x=3代入③，得y=3.
∴方程组的解为


x y

3, 3.
综合运用
5.顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅 游，到花果岭的人数比到云水洞的人数的2倍少1， 到两地旅游的人数各是多少？