向量数乘运算及其几何意义教案

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

教学目的 要求学生进一步掌握实数与向量熟练掌握向量共线的充要条件的积的

定义、数乘运算的三个运算律。

教学重点：例7的教学

教学难点：例7的教学

教学过程

一、 复习提问

1、什么是向量的数乘？、

2、向量数乘的三个运算定律是什么？

结合律：λ(μ)=(λμ) ①

第一分配律：(λ+μ) =λ+μ ②

第二分配律：λ(+)=λ+λ ③

3、向量共线的条件是什么？

向量 (≠0)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使＝λ，

判断A 、B 、C 三点是否共线，可以通过判断向量、是否共线，即是否存在实数λ，使得＝λ成立。

二、 新课

探究 已知非零向量，作出++和（-）+（-）+（-）。你能说明它们的几何意义吗？

由图 2.2-18可知，OC =++=++。类似数的乘法，我们把++极作3，即=3。显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即3

同样的，由图2..2.18可知，=PQ +QM +=（-）+（-）+（-）,即（-）+（-）+（-）=3。显然3（-）的方向与的方向相反，3（-

）

的长度是的长度的3倍，这样，3（-）=-3。

一般的我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

1.λ=λ

2.当λ大于0时，λ与的方向相同；当λ小于0时，λ与的方向相反。

由1可知，λ=0时，λ=0。根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算率。设λ、μ为实数，那么

（1）λ（）=（λμ）；

（2）（λμ）=λ+μ；

（3）λ（a+b）=λa+λb。

特别的，我们有

（-λ）=-（λ）=λ（-），

λ（-）=λ-λ。

思考你能解释上述运算率的几何意义吗？

例5计算：

（1）（-3）×4；

（2）3（+）-2（-）-；

（3）（2+3-）-（3-2+）。

解：（1）原式=（-3×4）=-12；

（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；

（3）原式=2+3--3+2-=-+5-2。

思考引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？

对于向量（ 0）、，如果有一个λ，使=λ，那么由向量数乘的定义知，与共线。

反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即b =μa ，那么当a 与b

同方向时，有那么当a 与b 同方向时，有b =μa ；那么当a 与b 反方向时，有b =-μa 。

综上，如果a （a ≠0）与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b =λa 。 例6 如图2.2.19，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA =a +b ，OB =a +2b ，

OC =a +3b 。你能判断A 、B 、C 三点之间的关系吗？为什么？

分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线。由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线。本题中，应用向量知识判断A 、B 、C 三点是否共线，可以通过判断向量AC 、AB 是否共线，即是否存在λ，使AC =λAB 成立。

a b

解：分别作向量、、，过点A 、C 作直线AC （如图2.2.20）.观察发现，不论向量、怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线。 事实上，因为=-=+2-（+）=, 而=-=+3-（+）=2，

于是AC =2AB 。

所以，A 、B 、C 三点共线。

例7 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且＝，＝，你能用a 、b 表示MA 、MB 、MC 、MD 吗？

解：在平行四边形ABCD 中，

∵+=＝a ＋b ，

AD AB DB -=＝－

又∵平行四边形的两条对角线互相平分，

∴MA ＝－21＝－21（＋）＝－21－21 ＝AC 21＝21（＋）＝21＋21 ＝－DB 21＝－21（－）＝－21＋21 练习：P100 5、6

第6题用平行四边形来解决。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量、，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有：

λ（μ1±μ2）=λμ1±λμ2

作业：P102练习