2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：1-1第一讲 函数与方程思想

函数与方程思想在解析几何中的应用技巧 (1)求圆锥曲线的方程、离心率，通常利用方程的思想建立 a，b，c 的关系式求解． (2)在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在 x、y 轴上的截距，弦长，三角形或四 边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常 是直线斜率，动点的横、纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域)， 将问题转化为求函数的值域或最值．
1
即当 n＝1 时，(bn)max＝6， 要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤k 恒成立，
1
则须使 k≥(bn)max＝6， 1
所以实数 k 的最小值为6.
函数与方程思想在数列中的应用技巧 (1)数列的通项与前 n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题， 常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决． (2)本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问求出 bn 的表达式，说明要求 bn≤k
|AB|
综上所述，|MF|的最小值为 2.
思想方法归纳上 1．函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程 问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程 f(x)＝0，就是求函数 y＝f(x)的零点，再如 方程 f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函 数 y＝f(x)－g(x)与 x 轴的交点问题，方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域． 2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之 间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想． 3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参 数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来 求解．
( ) tanα－tanβ 9 1 k＋ tan∠OPB＝tan(α－β)＝1＋tanαtanβ＝8 9k .
( )1
源自文库
1
k＋
因为 k<0，所以－ 9k ＝(－k)＋－9k≥
1 －k·
2
12
3
1
2
－9k＝3，即 k＋9k≤－3，所以 tan∠OPB≤－4，当且仅当 k＝－3时，等号成
立，
1
所以当∠OPB 最大时，直线 l 的斜率 k＝－3，此时直线 l 的方程为 x＋3y－1＝0.
[解析] 由关于 x 的一元二次不等式 x2＋ax＋b>0 的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，
可知方程 x2＋ax＋b＝0 的两实数根分别为－3,1，
( )5 25 3 3
1－ － 4 2＋16＝2.故填2.
3
[答案] 2
要点三 函数与方程思想在解析几何中的应用
【例 3】 (2019·河北衡中联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
x2 y2
22
C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 ，直线 l 和椭圆 C 交于 A，B 两点，当直线 l 过椭圆 2
要点一 函数与方程思想在不等式中的应用
【例 1】 (1)(2019·山东济南一模)设 0<a<1，e 为自然对数的底数，则 a，ae，ea－1
的大小关系为( )
A．ea－1<a<ae
B．ae<a<ea－1
C．ae<ea－1<a
D．a<ea－1<ae
(2)(2019·安徽青阳中学月考)设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋4
( ) 2k2＋4
4k2＋1
2－4
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 k2
＝ k2 .FM 所在直线的方程为
1
y＝－k(x－1)，
( )2
－1，
由Error!得点 M
k.
4 1＋k2
22＋
∴|MF|＝
k2＝2 k2 ，
4k2＋1
k2
|AB|
1＋k2 2
1 1＋
∴|MF|＝ k2 ＝2 k2>2.
( ) 5
5
5
－∞，
等式 m<x2－x＋1恒成立，则 m<7.因此，实数 m 的取值范围为
7 ，故选 D.
[答案] (1)B (2)D
函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关 的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而
研究函数性质破解．
恒成立，则实数 m 的取值范围为( )
A．(－∞，0]
[ )5
0， B. 7
( )5
0， C．(－∞，0)∪ 7
( )5
－∞，
D.
7
不等式问题转 构造 利用函数
[解题指导] 化为函数问题→函数→性质求解
[解析] (1)设 f(x)＝ex－x－1，x>0，则 f′(x)＝ex－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴F(－1)<F(0)<F(1)，即 0<f(0)<2f(1)．故选 A.
[答案] A
( )1
2．(2019·广东广州天河区期末)已知 x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝ 4 y，则 xy 的最大值为( ) 9
A．2
B.8
3
9
C. 2
D.4
( )1
[解析] ∵x，y∈(0，＋∞)，且 2x－3＝ 4 y＝2－2y，∴x－3＝－2y，即 x＋2y＝3.∴xy＝
( ) 1
1 x＋2y 9
3
9
2x·(2y)≤2× 2 2＝8，当且仅当 x＝2y＝2时等号成立，∴xy 的最大值为8.故选 B.
[答案] B
要点二 函数与方程思想在数列中的应用
【例 2】 (2019·湖北武昌调研)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．
(1)若 a1＝2，且 a2，a3，a4＋1 成等比数列，求数列{an}的通项公式 an；
1
恒成立时 k 的最小值，只需求 bn 的最大值，从而构造函数 f(x)＝2x＋x(x≥1)，利用函数求 解．
3
1
1．(2019·河南洛阳二模)已知等比数列{an}的首项为2，公比为－2，前 n 项和为 Sn，则 1
Sn－Sn的最大值与最小值之和为( )
1
1
A.2
B.4
1
C. 8
D．1
( )1
－ [解析] 由等比数列前 n 项和公式可得 Sn＝1－ 2 n.
C 的焦点，且与 x 轴垂直时，|AB|＝3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 过点(1,0)且倾斜角为钝角，P 为弦 AB 的中点，当∠OPB 最大时，求直线 l
的方程．
[解题指导] (1)由题意列方程组→求出a，b→写出椭圆方程
联立直线方程与椭圆方程，
表示出点P的坐标及直线 寻找所求角与直线l、
(2)设直线l的方程→
OP的斜率
→ OP的倾斜角的关系 →
求出∠OPB的正切表达式，
并用基本不等式求最值
[解] (1)由题意知Error!解得Error!
x2
所以椭圆 C 的方程为 9 ＋y2＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：y＝k(x－1)(k<0)． 联立得方程组Error!消去 y，
x2 y2 (2019·河南开封一模)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F 与椭圆 4 ＋ 3 ＝1 的右焦 点重合，抛物线 C 的动弦 AB 过点 F，过点 F 且垂直于弦 AB 的直线交抛物线的准线于点 M. (1)求抛物线的标准方程；
|AB| (2)求|MF|的最小值． [解] (1)由椭圆方程得椭圆的右焦点为(1,0)．∴抛物线的焦点为 F(1,0)，p＝2，故抛物 线的标准方程为 y2＝4x. (2)①当动弦 AB 所在直线的斜率不存在时，
1
1
1
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前 n 项和为 Sn，设 bn＝Sn＋1＋Sn＋2＋…＋S2n，若对 任意的 n∈N*，不等式 bn≤k 恒成立，求实数 k 的最小值．
利用方程求出 [解题指导] 数列的公差d →求出Sn→求出bn→利用函数思想求R的最小值 [解] (1)因为 a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)，
专题强化训练(一)
一、选择题
1．(2019·山西实验中学 3 月月考)关于 x 的一元二次不等式 x2＋ax＋b>0 的解集为
(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式 ax2＋bx－2<0 的解集为( )
A．(－3,1)
( )1
－∞，－
B.
2 ∪(2，＋∞)
( )1
－ ，2 C. 2
D．(－1,2)
第一篇 数学思想、技法篇
第一讲 函数与方程思想
[思想方法诠释] 1．函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数 关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的 数学思想． 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构 造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决 的数学思想．
18k2
x1＋x2
得(9k2＋1)x2－18k2x＋9k2－9＝0，故 x1＋x2＝9k2＋1.设 P(x0，y0)，则 x0＝ 2 ＝
( ) 9k2
9k2
k
－1
9k2＋1，y0＝k(x0－1)＝k 9k2＋1 ＝－9k2＋1，
y0 1
所以直线 OP 的斜率 kOP＝x0＝－9k.
设直线 l，OP 的倾斜角分别为 α，β，则∠OPB＝α－β，
|AB| |AB|＝2p＝4，|MF|＝2，|MF|＝2. ②当动弦 AB 所在的直线斜率存在时，易知直线的斜率不为 0. 设 AB 所在直线方程为 y＝k(x－1)，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由Error!得 k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
2k2＋2
则 x1＋x2＝ k2 ，x1x2＝1，Δ＝16(k2＋1)>0.
( )1
3
当 n 为奇数时，Sn＝1＋ 2 n，∴1<Sn≤S1＝2；
( )1
3
当 n 为偶数时，Sn＝1－ 2 n，∴4＝S2≤Sn<1.
[ ] 1
33
，
令 f(t)＝t－ t ，则函数 f(t)在 4 2 上单调递增，
[ ]3 3
7
5
7 51
，
∴当 t∈ 4 2 时，－12≤f(t)≤6，故所求最大值与最小值之和为－12＋6＝4
＝n＋1－n＋2＋n＋2－n＋3＋…＋2n－2n＋1 1
1
1
n
1
2n＋ ＋3
＝n＋1－2n＋1＝2n2＋3n＋1＝ n ，
1
1
令 f(x)＝2x＋x(x≥1)，则 f′(x)＝2－x2，
当 x≥1 时，f′(x)>0 恒成立， 所以 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝3，
又因为{an}是正项等差数列，故 d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
解得 d＝2 或 d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式 an＝2n.
(2)因为 Sn＝n(n＋1)，
1
1
1
bn＝Sn＋1＋Sn＋2＋…＋S2n
1
1
1
＝n＋1n＋2＋n＋2n＋3＋…＋2n2n＋1
1111
11
[答案] B
2．(2019·湖北七市 3 月联考)已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝3，且 an
2nan＝(n－1)·an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2 且 n∈N*)，则 n 的最大值是________．
[解析] 依题，设 bn＝nan，
则 2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2，n∈N*)，
且 f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即 ea－1>a.又 y＝ax(0<a<1)在 R 上是减函数，得 a>ae，从
而 ea－1>a>ae.
(2)由 f(x)<－m＋4，可得 m(x2－x＋1)<5.∵当 x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，∴不等式
5
5
5
f(x)<－m＋4 等价于 m<x2－x＋1.∵当 x＝3 时，x2－x＋1的值最小，最小值为7，∴若要不
1．(2019·贵州黔东南州一模)已知函数 f(x)的导函数 f′(x)满足 f(x)＋(x＋1)f′(x)>0 对
x∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是( )
A．0<f(0)<2f(1)
B．f(0)<0<2f(1)
C．0<2f(1)<f(0)
D．2f(1)<0<f(0)
[解析] 设 F(x)＝(x＋1)f(x)，则 F′(x)＝(x＋1)f′(x)＋f(x)>0，∴F(x)在 R 上单调递增，
∴bn－bn－1＝bn＋1－bn(n≥2，n∈N*)，
故数列{bn}是等差数列．
又 b1＝a1＝1，b2＝2a2＝6，
则数列{bn}的公差为 b2－b1＝5，
则 bn＝nan＝1＋5·(n－1)＝5n－4(n∈N*)，
( ) an 5n－4 4 5 2 5 25
an
－
∴ n ＝ n2 ＝－n2＋n＝－ n 4 2＋16(n∈N*)，故当 n＝2 时， n 取得最大值