高三数学一轮复习 第二章 第十二节 导数的综合应用课件 理 新人教A版

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1．在解答本题(2)时应判断f(x)＞f(0)是否成立，这是容 易忽视的地方．
2．该类问题的求解，一般利用导数(dǎo shù)研究函数的 单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的 交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与 数的和谐统一．
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只要ff（ （1e））＝＝aa2－－1e≥2＋e－ae1≤，e2，
① ②
由①得a≥e；由②得a≤e.
因此a＝e.
故当e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立时，实数a的值为
e.
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请你设计一个包装盒．如图2－12－1所示，ABCD是 边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影(yīnyǐng)部分所示的 四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B， C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状 的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形 斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
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【尝试解答】 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为 a(cm)．
由已知得a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，
(2013·深圳模拟)已知a＞0，函数f(x)＝ln 0.(f(x)的图象连续不断)
(1)求f(x)的单调区间；
x－ax2，x＞
(2)当a＝
1 8
时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝
f(32)． 【解】
(1)f′(x)＝1x－2ax＝1－x2ax2，x＞0.
令f′(x)＝0，得1－2ax2＝0，
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(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应 取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何 值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【思路点拨】 用x表示包装盒的高度和底面边长，则 (1)包装盒的侧面积S是关于x的二次函数，可通过配方求最 值；(2)包装盒的容积V是关于x的三次(sān cì)函数，可通过导 数求最大值．
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所以(suǒyǐ)g(x)在R内单调递增． 于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞ g(0)． 又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0. 即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.
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1．本题常见的错误有两点：(1)基础知识不过关，求错 导数；(2)不等式证明思路不清晰，不会构造函数g(x)，发现 不了g′(x)与f(x)的关系，导致不能运用第(1)问的结论．
V′＝6 2x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.
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利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的 数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，并 根据实际意义确定定义域； (2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域 内的实根，确定极值点； (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 (dàxiǎo)，获得所求的最大(小)值； (4)还原到实际问题中作答．
第十二节 导数(dǎo shù)的综合应用
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1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为 ____优__化____问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的 定义域内只有一个极值(jízhí)点，那么该点也是最值点．
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2．生活(shēnghuó)中的优化问题
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2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量
x(单位：万件)的函数关系式为y＝－
1 3
x3＋81x－234，则使
该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
【解析】 y′＝－x2＋81(x＞0)，
令y′＝0，即－x2＋81＝0得x＝9，
【答案】 (－∞，2ln 2－2]
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已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数． (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方 程； (2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上 有两个不相等(xiāngděng)的实数根，求k的取值范围．
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【尝试解答(jiědá)】 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R， f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是 (ln 2，＋∞)，
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1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝ax3＋x恰有三个 单调区间，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－13]
B．[－13，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，0)
【解析(jiě xī)】 ∵f′(x)＝3ax2＋1， 依题意f′(x)＝3ax2＋1有两个实根，∴a＜0. 【答案】 D
∵a＞0，x＞0，∴x＝
2a 2a .
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当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况(qíngkuàng)如下表：
∴f(x)的递增区间是(0，
2a 2a
)，递减区间是(
2a 2a
，＋
∞)．
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(2)证明 当a＝18时，f(x)＝ln x－18x2， 由(1)知f(x)在(0，2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递 减． 令g(x)＝f(x)－f(32)，由于f(x)在(0，2)内单调递增， 故f(2)＞f(32)，即g(2)＞0. 取x′＝32e＞2，则g(x′)＝41－329e2＜0. 由于g(x)＝f(x)－f(32)在(2，＋∞)内单调递减，
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【思路点拨】 (1)先求切点(qiēdiǎn)、切线斜率，再求 切线方程；
(2)利用导数判断函数f(x)在[0，＋∞)上的变化情况，数 形结合求解．
【尝试解答】 (1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得 f′(x)＝ex[ x2＋(a＋2)x]． 当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e. 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x －1)，即y＝4ex－3e.
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存在唯一的x0∈(2，32e)，使g(x0)＝0， ∴存在唯一的x0∈(2，＋∞)，使得f(x0)＝f(32).
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设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调(dāndiào)区间与极值； (2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1. 【思路点拨】 第(2)问构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－ 1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需证明g(x)在(0，＋∞)上是增函 数，可利用导数求解．
∴f(x)在(0，π]上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)．
【答案】 f(π)＞f(3)＞f(2)
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4．(2013·清远模拟)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点(línɡ diǎn)，则a的取值范围是________．
【解析】 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点(línɡ diǎn)，即方 程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点， 而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递 增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－ ∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只 需a≤2ln 2－2即可．
2．对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造 函数，借助导数确定(quèdìng)函数的性质，借助单调性或最 值实现转化．
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(2013·梅州模拟)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a＞0. (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成 立．(其中，e为自然对数(zìrán duìshù)的底数)．
f(x)在x＝ln 2处取得(qǔdé)极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R. 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，
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(2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，
解得x＝－(a＋2)或x＝0.
当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间(qū 上，f′(x)≥0，
jiān)[0，＋∞)
所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，
所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实 数根．
当－(a＋2) ＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况 如下表：
当x∈(0，9)时，y′＞0；当x∈(9，＋∞)时，y′＜0.
∴函数在(0，9)上单调递增(dìzēng)，在(9，＋∞)上单调 递减，
∴当x＝9时，函数取得最大值．
【答案】 C
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3．已知f(x)＝1＋x－sin x，试比较f(2)，f(3)，f(π)的大小 为________．
【解析(jiě xī)】 f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x) ＞0.
1．函数的极大值一定比极小值大吗？ 【提示(tíshì)】 极值是一个局部概念，极值的大小关 系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一 定比极大值小． 2．如何求实际问题中的最值问题？ 【提示(tíshì)】 有关函数最大值、最小值的实际问 题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇 到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较， 就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．
(1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
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【解】 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝ mx －1，
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x ＝256(mx －1)＋mx (2＋ x)x＝25x6m＋m x＋2m－256. (2)由(1)知，f′(x)＝－25x62m＋12mx－12 ＝2mx2(x32－512)．
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某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测 算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两 墩之间的桥面工程费用为(2＋ x )x万元．假设桥墩等距离 分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工 程的费用为y万元．
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由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋ 2))＝ae＋a＋24.
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因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋ 2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a(－a)＞ －a，又f(0)＝－a.
所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实 数根，k的取值范围是(ae＋a＋24，－a]．
【解】 (1)因为f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0， 所以f′(x)＝ax2－2x＋a＝－（x－a）x（2x＋a）. 由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a， ＋∞)．
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(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e. 由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增， 要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．