2019-概率论与数理统计(柴中林)第20讲-PPT课件-文档资料
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当 H0: 1=2 为真时，有
(XY) S m1n1 ~tmn2.
从而
P S|X m 1 Yn |1tm n2(/2 ).
拒绝域为
| S
XY| m1n1
tmn2(/2)
P|0X .1/1100| z/2，
即 P |X 1 | ( 0 . 0 1 /1 ) z / 2 0 .
故 可 ， c 取 (0 .1 /1)z 0 /2.
于是，我们就得到如下检验准则:
当| X10|c时接 ，受 原H假 0；设 当|X10|c时拒 ，绝原H假 0. 设
此检验法称作 t 检验法。
例1(续例8.1.1) : 假设2未知，检验
H0: μ =10；H1: μ≠10.
解：n=10, =0.05, 0=10， t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，
计X 算 0 .0,S 得 5 2 0 .0,S 5 0 .2.24
而 0. 0X 5 0S ntn 1( /2 )0 .1.6
通常用 α 和 β 记犯第一、第二类错误的概 率，即
P{拒 绝 H0|H0为 真 }， P{接 受 H0|H0为 假 }.
在检验问题中，犯“弃真”和“取伪” 两类错误都总是不可避免的，并且减少犯第 一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的 概率;反之亦所然以。，犯两类错误的概率不能同 时得到控制。
H0:μ =10，其c 中 (0 .1 / 1)0 z/2.
现在我们来分析一下：取上述 c 后，如 果 H0 是正确的，却被我们拒绝了。这时， 犯第一类错误的概率是多少呢？
分析: 因为当原假设 H0: μ =10 成立时，有
X10~N(0, 1). 0.1/ 10
从 P |X 1 而 | ( 0 . 1 0 /1 ) z / 2 ， 0 .
nn-1
504 9
50
所 以 X ， 0Sntn-1().
从而，拒绝原假设，即认为新的原材料确实 提高了绳子所能承受的最大拉力。
8.2.2 两个正态总体 N(1, 12) 和 N(2, 22)
均值的比较 在应用上，经常会遇到两个正态总体均 值的比较问题。
例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品 的质量。将两厂生产的产品的质量指标分别
解：问题归结为检验如下假设
H0: μ =15; H1: μ >15 (2未知)
此 n 5 处 ， 0 0 1 ， X ， 5 1 .8 ， S 5 0 ， . 0 5..
于是，
X1.5 815 0.8, 0
St ()0.5t (0.0)10.52.40 40.9 1,7
在2未知情况下，当原假设 成立时，
X 0
S/ n
~tn1 .
由此，可推出
P X0
S n
tn1() .
所以 H 0的 ， 拒X 绝 0 域 S ntn1 为 (-).
例 2：某厂生产一种工业用绳,其质量指标是 绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正
态分布，且该厂原来生产的绳子指标均值 μ0
概率论与数理统计 第二十讲
主讲教师：柴中林副教授 中国计量学院理学院
第八章 假设检验
§8.1 基本概念 下面，我们讨论不同于参数估计问题的 另一类统计推断问题——根据样本提供的信 息，检验总体的某个假设是否成立的问题。
这类问题称为假设检验。
假设检验 参数检验 非参数检验 先看一个例子。
总体分布已知情 形下，检验未知 参数的某个假设
因样本均值是 μ 的一个很好的估计。所 以，当μ=10，即原假设 H0 成立时, | X10|
应比较小；如果该值过大, 想必 H0不成立。 于是，我们就用 | X10| 的大小检验 H0 是否 成立。
合理的做法应该是：找出一个界限 c，
当| X10|c时接 ，受 原H假 0；设 当|X10|c时拒 ，绝原H假 0. 设
体的均值 1和 2是否相等的问题。
设X1, X2, …, Xm与Y1, Y2, …, Yn 分别为抽
自正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)的样本，记
X和S12 分 别X为 1,X2,,Xm的均值和方 Y和S22 分 别Y为 1,Y2,,Yn的均值和方差
考查如下检验假设:
1. H0: 1= 2 ; H1: 1≠2
样一个待检验的假设记为 “原假设” 或 “零 假设”,记成 “ H0：μ =10”。
原假设的对立面是 “ X 的均值 μ ≠10”， 称为 “对立假设” 或 “备择假设”，记成 “ H1:
μ ≠10”。把原假设和对立假设合写在一起， 就是: H0：μ =10； H1：μ≠10.
II. 解决问题的思路
当 2未知时，根据基本定理 6.4.1 ，当原 假设 H0: μ = μ0 成立时，有
X
0 ~t . S/ n n1
所以 P X ， S/n0 tn1(/2) ，
即 P X0S nn t 1(/2) .
假 H 0 拒 设绝 X 0 域 S ntn 为 1 (/2 ).
当 12 和 22 已知时，根据定理7.5.1，有
XY(12) ~N0, 1.
σ12 22
mn 当 H0: 1 = 2为真时，
X Y ~ N0, 1，
σ12 22
mn
P
| X Y |
σ12
2 2
mn
z
/
2
.故，拒来自域为| X Y |σ12
2 2
z / 2
mn
或
| X Y | z / 2
σ12
2 2
.
mn
在12=22 =2，2未知情况下，根据定 理7.5.1，有
(X SYm ) 1(1 n 12)~tmn2，
其S 中 (m1)S12(n1)S2 2 . mn2
设 H0: μ = μ0 成立时，有
X
0 ~N(0, 1).
/ n
所
以 P ， X/n0
z/2 ，
即P X0nz/2 .
所假 以 H 0 拒 设 ，绝 X 域 0nz 为 /2.
以上检验法称作 U 检验法。
在应用上，2未知的情况是常见的。此 时，和前面不同的是：常用样本方差 S2代替 未知的2 。
不应太大；反之，如果 X 0 过大，就认为 原假设不成立。
在2已知情况下，根据定理6.4.1，知：
当原假设 成立时， X0 ~N(0, 1). / n
由 所 以 此 H 0的 ， ， 拒 P X 可 X 绝 0 推 0 域 n z 出 n z为 ..
IV. 两类错误与显著性水平
当我们检验一个假设 H0 时，有可能犯以 下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒 绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了 正确假设；H0 是不正确的，但被我们接受了， 这就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。
因为检验统计量总是随机的，所以，我 们总是以一定的概率犯以上两类错误。
例如：工厂生产的某产品的数量指标服
从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配
方后，产品质量指标还服从正态分布，但均
值为 。我们想了解 “是否显著地大于μ0”,
即产品的质量指标是否显著地增加了。
单边检验 H0: μ =μ0; H1: μ >μ0
如果μ =μ0，即原假设成立，则 X 0 就
即 P 拒绝 H 0 |H 0 为 接 真 .受
可见：用该方法进行检验时，犯第一类
错误的概率等于 ，即显著性水平等于 。
§8.2 正态总体均值的假设检验
8.2.1 单正态总体 N(, 2)均值 的检验
1. 双边检验 H0: μ = μ0；H1: μ≠μ0
假设 2已知，根据上节中的例1，当原假
这里的问题是：如何确定常数 c 呢？ 细致地分析: 根据定理 6.4.1，有
X~N (,0 .1 2/1)， 0 X 或 ~N (0 ， 1 ） .
0/.1 1 0
于是，当原假设 H0：μ =10 成立时，有
X10~N(0, 1). 0.1/ 10
为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 = 0.05。当原假设 H0: μ =10 成立时，有
总体分布未知情形 下的假设检验问题
例1：某工厂生产 10 欧姆的电阻，根据以往生 产的电阻实际情况，可以认为: 电阻值 X服从
正态分布 N(, 0.12)。现在随机抽取10个电阻,
测得它们的电阻值为:
9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2. 问: 从样本看，能否认为该厂生产的电阻的平
c (0.1/ 10) Z / 2 (0.1/ 10) 1.96 0.062.
故 | X ， 1| 0 0 .0 5 c . 所以，接受原假设 H0:μ=10。
III. 方法原理
因为，当原假设是 H0:μ =10 成立时， P |X 1 | ( 0 0 . 1 /1 ) z / 2 0 .
所以，接受原假设 H0: μ =10.
2. 单边检验 H0: μ =μ0; H1: μ >μ0
上一段中，H0:μ=μ0; H1: μ≠μ0 的对立假 设为 H1: μ ≠μ0 , 该假设称为双边对立假设。 而现在要处理的对立假设为 H1: μ >μ0, 称为 右边对立假设。
类似地，H0: μ =μ0; H1: μ <μ0 中的对立假 设H1: μ <μ0，假设称为左边对立假设。右边 对立假设和左边对立假设统称为单边对立假 设，其检验为单边检验。
=15公斤，采用一种新原材料后,厂方称这种 原材料提高了绳子的质量，也就是说绳子所
承受的最大拉力μ 比15公斤增大了。
为检验该厂的结论是否真实，从其新产 品中随机抽取50件，测得它们所承受的最大 拉力的平均值为15.8公斤，样本标准差S=0.5
公斤。取显著性水平 =0.01。问从这些样本
看：能否接受厂方的结论。
所以，当 很小时，若 H0为真(正确), 则检
验统计量落入拒绝域是一小概率事件 (概率
很小，为 )。前面我们曾提到：“通常认为
小概率事件在一次试验中基本上不会发生”。 那么，如果小概率事件发生了，即:
|X 1 | ( 0 . 1 /1 ) z / 0 2
发生, 就拒绝接受 H0 成立，即认为 H0不成立。
看成正态总体 N(1, 12) 和 N(2, 22)。比较它
们的产品质量指标的问题，就变为比较这两
个正态总体的均值 1和 2的的问题。
又如：考察一项新技术对提高产品质量是 否有效。将新技术实施前后生产的产品质量指
标分别看成正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)。这
时，所考察的问题就归结为检验这两个正态总
在统计学中，通常控制犯第一类错误的
概概率。一般事先选定一个数 (0<<1)，要 求犯第一类错误的概率不超过。称 为假设
检验的显著性水平，简称水平。
犯第二类错误的概率的计算超出了课程 的学习范围。因此，不作讨论。
例1(续)：分析该例的显著性水平。
因为| X 当 10|c时， 我们拒绝了原
其c 中 (0 .1 / 1)0 z/2.
称|X10| 或U X10为检验统计量 0.1/ 10
称 |X 1| 0 (0 .1 / 1)z 0 /2 ， 或 |U||0X .1/1100| z/2
为原假设 H0 的拒绝域。
用以上检验准则处理我们的问题， 经计得 算 X， 1.0 05 ,
均值 = 10 欧姆?
I. 如何建立检验模型
● 确定总体：记X为该厂生产电阻的测值，则
X ～ N(, 0.12)；
● 明确任务：通过样本推断 “X 的均值 μ 是否
等于10欧姆”；
● 假设：上面的任务是要通过样本检验“X的 均值μ =10”这一假设是否成立。
在数理统计中，把 “ X 的均值 μ =10” 这
(XY) S m1n1 ~tmn2.
从而
P S|X m 1 Yn |1tm n2(/2 ).
拒绝域为
| S
XY| m1n1
tmn2(/2)
P|0X .1/1100| z/2，
即 P |X 1 | ( 0 . 0 1 /1 ) z / 2 0 .
故 可 ， c 取 (0 .1 /1)z 0 /2.
于是，我们就得到如下检验准则:
当| X10|c时接 ，受 原H假 0；设 当|X10|c时拒 ，绝原H假 0. 设
此检验法称作 t 检验法。
例1(续例8.1.1) : 假设2未知，检验
H0: μ =10；H1: μ≠10.
解：n=10, =0.05, 0=10， t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，
计X 算 0 .0,S 得 5 2 0 .0,S 5 0 .2.24
而 0. 0X 5 0S ntn 1( /2 )0 .1.6
通常用 α 和 β 记犯第一、第二类错误的概 率，即
P{拒 绝 H0|H0为 真 }， P{接 受 H0|H0为 假 }.
在检验问题中，犯“弃真”和“取伪” 两类错误都总是不可避免的，并且减少犯第 一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的 概率;反之亦所然以。，犯两类错误的概率不能同 时得到控制。
H0:μ =10，其c 中 (0 .1 / 1)0 z/2.
现在我们来分析一下：取上述 c 后，如 果 H0 是正确的，却被我们拒绝了。这时， 犯第一类错误的概率是多少呢？
分析: 因为当原假设 H0: μ =10 成立时，有
X10~N(0, 1). 0.1/ 10
从 P |X 1 而 | ( 0 . 1 0 /1 ) z / 2 ， 0 .
nn-1
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50
所 以 X ， 0Sntn-1().
从而，拒绝原假设，即认为新的原材料确实 提高了绳子所能承受的最大拉力。
8.2.2 两个正态总体 N(1, 12) 和 N(2, 22)
均值的比较 在应用上，经常会遇到两个正态总体均 值的比较问题。
例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品 的质量。将两厂生产的产品的质量指标分别
解：问题归结为检验如下假设
H0: μ =15; H1: μ >15 (2未知)
此 n 5 处 ， 0 0 1 ， X ， 5 1 .8 ， S 5 0 ， . 0 5..
于是，
X1.5 815 0.8, 0
St ()0.5t (0.0)10.52.40 40.9 1,7
在2未知情况下，当原假设 成立时，
X 0
S/ n
~tn1 .
由此，可推出
P X0
S n
tn1() .
所以 H 0的 ， 拒X 绝 0 域 S ntn1 为 (-).
例 2：某厂生产一种工业用绳,其质量指标是 绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正
态分布，且该厂原来生产的绳子指标均值 μ0
概率论与数理统计 第二十讲
主讲教师：柴中林副教授 中国计量学院理学院
第八章 假设检验
§8.1 基本概念 下面，我们讨论不同于参数估计问题的 另一类统计推断问题——根据样本提供的信 息，检验总体的某个假设是否成立的问题。
这类问题称为假设检验。
假设检验 参数检验 非参数检验 先看一个例子。
总体分布已知情 形下，检验未知 参数的某个假设
因样本均值是 μ 的一个很好的估计。所 以，当μ=10，即原假设 H0 成立时, | X10|
应比较小；如果该值过大, 想必 H0不成立。 于是，我们就用 | X10| 的大小检验 H0 是否 成立。
合理的做法应该是：找出一个界限 c，
当| X10|c时接 ，受 原H假 0；设 当|X10|c时拒 ，绝原H假 0. 设
体的均值 1和 2是否相等的问题。
设X1, X2, …, Xm与Y1, Y2, …, Yn 分别为抽
自正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)的样本，记
X和S12 分 别X为 1,X2,,Xm的均值和方 Y和S22 分 别Y为 1,Y2,,Yn的均值和方差
考查如下检验假设:
1. H0: 1= 2 ; H1: 1≠2
样一个待检验的假设记为 “原假设” 或 “零 假设”,记成 “ H0：μ =10”。
原假设的对立面是 “ X 的均值 μ ≠10”， 称为 “对立假设” 或 “备择假设”，记成 “ H1:
μ ≠10”。把原假设和对立假设合写在一起， 就是: H0：μ =10； H1：μ≠10.
II. 解决问题的思路
当 2未知时，根据基本定理 6.4.1 ，当原 假设 H0: μ = μ0 成立时，有
X
0 ~t . S/ n n1
所以 P X ， S/n0 tn1(/2) ，
即 P X0S nn t 1(/2) .
假 H 0 拒 设绝 X 0 域 S ntn 为 1 (/2 ).
当 12 和 22 已知时，根据定理7.5.1，有
XY(12) ~N0, 1.
σ12 22
mn 当 H0: 1 = 2为真时，
X Y ~ N0, 1，
σ12 22
mn
P
| X Y |
σ12
2 2
mn
z
/
2
.故，拒来自域为| X Y |σ12
2 2
z / 2
mn
或
| X Y | z / 2
σ12
2 2
.
mn
在12=22 =2，2未知情况下，根据定 理7.5.1，有
(X SYm ) 1(1 n 12)~tmn2，
其S 中 (m1)S12(n1)S2 2 . mn2
设 H0: μ = μ0 成立时，有
X
0 ~N(0, 1).
/ n
所
以 P ， X/n0
z/2 ，
即P X0nz/2 .
所假 以 H 0 拒 设 ，绝 X 域 0nz 为 /2.
以上检验法称作 U 检验法。
在应用上，2未知的情况是常见的。此 时，和前面不同的是：常用样本方差 S2代替 未知的2 。
不应太大；反之，如果 X 0 过大，就认为 原假设不成立。
在2已知情况下，根据定理6.4.1，知：
当原假设 成立时， X0 ~N(0, 1). / n
由 所 以 此 H 0的 ， ， 拒 P X 可 X 绝 0 推 0 域 n z 出 n z为 ..
IV. 两类错误与显著性水平
当我们检验一个假设 H0 时，有可能犯以 下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒 绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了 正确假设；H0 是不正确的，但被我们接受了， 这就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。
因为检验统计量总是随机的，所以，我 们总是以一定的概率犯以上两类错误。
例如：工厂生产的某产品的数量指标服
从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配
方后，产品质量指标还服从正态分布，但均
值为 。我们想了解 “是否显著地大于μ0”,
即产品的质量指标是否显著地增加了。
单边检验 H0: μ =μ0; H1: μ >μ0
如果μ =μ0，即原假设成立，则 X 0 就
即 P 拒绝 H 0 |H 0 为 接 真 .受
可见：用该方法进行检验时，犯第一类
错误的概率等于 ，即显著性水平等于 。
§8.2 正态总体均值的假设检验
8.2.1 单正态总体 N(, 2)均值 的检验
1. 双边检验 H0: μ = μ0；H1: μ≠μ0
假设 2已知，根据上节中的例1，当原假
这里的问题是：如何确定常数 c 呢？ 细致地分析: 根据定理 6.4.1，有
X~N (,0 .1 2/1)， 0 X 或 ~N (0 ， 1 ） .
0/.1 1 0
于是，当原假设 H0：μ =10 成立时，有
X10~N(0, 1). 0.1/ 10
为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 = 0.05。当原假设 H0: μ =10 成立时，有
总体分布未知情形 下的假设检验问题
例1：某工厂生产 10 欧姆的电阻，根据以往生 产的电阻实际情况，可以认为: 电阻值 X服从
正态分布 N(, 0.12)。现在随机抽取10个电阻,
测得它们的电阻值为:
9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2. 问: 从样本看，能否认为该厂生产的电阻的平
c (0.1/ 10) Z / 2 (0.1/ 10) 1.96 0.062.
故 | X ， 1| 0 0 .0 5 c . 所以，接受原假设 H0:μ=10。
III. 方法原理
因为，当原假设是 H0:μ =10 成立时， P |X 1 | ( 0 0 . 1 /1 ) z / 2 0 .
所以，接受原假设 H0: μ =10.
2. 单边检验 H0: μ =μ0; H1: μ >μ0
上一段中，H0:μ=μ0; H1: μ≠μ0 的对立假 设为 H1: μ ≠μ0 , 该假设称为双边对立假设。 而现在要处理的对立假设为 H1: μ >μ0, 称为 右边对立假设。
类似地，H0: μ =μ0; H1: μ <μ0 中的对立假 设H1: μ <μ0，假设称为左边对立假设。右边 对立假设和左边对立假设统称为单边对立假 设，其检验为单边检验。
=15公斤，采用一种新原材料后,厂方称这种 原材料提高了绳子的质量，也就是说绳子所
承受的最大拉力μ 比15公斤增大了。
为检验该厂的结论是否真实，从其新产 品中随机抽取50件，测得它们所承受的最大 拉力的平均值为15.8公斤，样本标准差S=0.5
公斤。取显著性水平 =0.01。问从这些样本
看：能否接受厂方的结论。
所以，当 很小时，若 H0为真(正确), 则检
验统计量落入拒绝域是一小概率事件 (概率
很小，为 )。前面我们曾提到：“通常认为
小概率事件在一次试验中基本上不会发生”。 那么，如果小概率事件发生了，即:
|X 1 | ( 0 . 1 /1 ) z / 0 2
发生, 就拒绝接受 H0 成立，即认为 H0不成立。
看成正态总体 N(1, 12) 和 N(2, 22)。比较它
们的产品质量指标的问题，就变为比较这两
个正态总体的均值 1和 2的的问题。
又如：考察一项新技术对提高产品质量是 否有效。将新技术实施前后生产的产品质量指
标分别看成正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)。这
时，所考察的问题就归结为检验这两个正态总
在统计学中，通常控制犯第一类错误的
概概率。一般事先选定一个数 (0<<1)，要 求犯第一类错误的概率不超过。称 为假设
检验的显著性水平，简称水平。
犯第二类错误的概率的计算超出了课程 的学习范围。因此，不作讨论。
例1(续)：分析该例的显著性水平。
因为| X 当 10|c时， 我们拒绝了原
其c 中 (0 .1 / 1)0 z/2.
称|X10| 或U X10为检验统计量 0.1/ 10
称 |X 1| 0 (0 .1 / 1)z 0 /2 ， 或 |U||0X .1/1100| z/2
为原假设 H0 的拒绝域。
用以上检验准则处理我们的问题， 经计得 算 X， 1.0 05 ,
均值 = 10 欧姆?
I. 如何建立检验模型
● 确定总体：记X为该厂生产电阻的测值，则
X ～ N(, 0.12)；
● 明确任务：通过样本推断 “X 的均值 μ 是否
等于10欧姆”；
● 假设：上面的任务是要通过样本检验“X的 均值μ =10”这一假设是否成立。
在数理统计中，把 “ X 的均值 μ =10” 这