定州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

定州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|＜）的图象过点（0，
），则f （x ）的图象的一个对
称中心是（
）
A ．（﹣，0）
B ．（﹣，0）
C ．（，0）
D ．（，0）
2． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．π1492+π1482+π2492+π
2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的
运用，难度中等.
3． 已知双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点，是两曲线的一个公共点，若
4
sin
π
21F F 、P ，则双曲线的离心率等于（ ）2
1
cos 21=
∠PF F A ． B ．
C ．
D ．
25
2
6
2
74． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（
）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
5． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}的元素个数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
6． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，
则这两个圆锥的体积之比为（
）
A ．2：1
B ．5：2
C ．1：4
D ．3：1
7． 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（
）
A ．公差为a 的等差数列
B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
8． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q
⌝∧9． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．将函数（）的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的
()sin 2y x ϕ=+0ϕ>x 8
π
ϕ最小值为（ ）
（A ）
（ B ）
（C ）
（D ）
43π
8
3π
4
π
8
π
11．函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象
可能是（
）
A．B．C．
12．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）
A．f（x）=﹣xe|x|B．f（x）=x+sinx
C．f（x）=D．f（x）=x2|x|
二、填空题
13．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表
面积是_________（单位:）．
14．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．　
15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是 ．
16．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，且，双曲线：1C x y 42
=F P 3||=PF 2C 1
22
22=-b
y a x （，）的渐近线恰好过点，则双曲线的离心率为 .
0>a 0>b P 2C 【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
17．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．
18．已知||=1，||=2，与的夹角为
，那么|+||﹣|= ．
三、解答题
19．已知p ：
，q ：
x 2﹣（a 2+1）x+a 2＜0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．20．已知二次函数f （x ）=x 2+2bx+c （b ，c ∈R ）．
（1）若函数y=f （x ）的零点为﹣1和1，求实数b ，c 的值；
（2）若f （x ）满足f （1）=0，且关于x 的方程f （x ）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b 的取值范围．　
21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAC ；（2）证明：AF ⊥EF ．
22．已知双曲线C：与点P（1，2）．
（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程；
（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明理由．
23．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：
周需求量n1819202122
频数12331
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图
2．
（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．
定州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】 B
【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），
可得：2sin φ=，即sin φ=
，由于|φ|＜
，
解得：φ=
，
即有：f （x ）=2sin （2x+）．
由2x+
=k π，k ∈Z 可解得：x=
，k ∈Z ，故f （x ）的图象的对称中心是：（，0），k ∈Z
当k=0时，f （x ）的图象的对称中心是：（，0），
故选：B ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．　
2． 【答案】A
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，，，且不妨设
1a 2a c 2m PF =1n PF =2，由，得，，又，由余弦定理可知：n m >12a n m =+22a n m =-21a a m +=21a a n -=2
1
cos 21=
∠PF F ∴，，，设双曲线的离心率为，则
，解mn n m c -+=22242
221234a a c +=∴432
221=+∴c a c a 432
2122=+e
）（得.故答案选C ．
2
6
=e 考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由为公共点，可把焦半径
P 、的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴来表示，接着用余弦定理表示
1PF 2PF 21,a a ，成为一个关于以及的齐次式，等式两边同时除以，即可求得离心率.圆锥曲线问题2
1cos 21=
∠PF F 21,a a 2
c 在选择填空中以考查定义和几何性质为主.4． 【答案】A
【解析】解：∵x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2=（x+x ﹣1）2﹣2=32﹣2=7．故选：A ．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
5． 【答案】B
【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x ﹣y=0，﹣1，﹣2；②x=1时，y=0，1，2，∴x ﹣y=1，0，﹣1；③x=2时，y=0，1，2，∴x ﹣y=2，1，0；∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．故选：B ．　
6． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，圆锥底面的半径为r ，则πr 2=×4πR 2=
，∴r=
．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和
．
∴两个圆锥的体积比为： =1：3．
故选：D ．　
7． 【答案】A 【解析】解：∵，
∴a n =S （n ）﹣s （n ﹣1）=
=
∴a n ﹣a n ﹣1=
=a
∴数列{a n }是以a 为公差的等差数列故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用　
8． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：命题的真假.9． 【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．
故选：A ．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．　
10．【答案】B
【解析】将函数的图象沿轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数
()()sin 20y x ϕϕ=+>x 8
π
的图象，可得，求得的最小值为，故选B ．
sin 2sin 284[(]()y x x ππϕϕ=++=++42ππϕ+=ϕ4
π
11．【答案】 D
【解析】解：A 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则
，不符合对数的底数范围，A 不正确；
B 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣
＞0，则
，不符合对数的底数范围，B 不正确；
C、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f（x）=log x在定义域上是增
函数，C不正确；
D、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f（x）=log x在定义
域上是减函数，D正确．
【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．
12．【答案】A
【解析】解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，
A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，
且f′（x）=≤0恒成立，故在R上为减函数，
B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，C中函数f（x）=，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；
D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，
故选：A．
二、填空题
13．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以
故答案为：
14．【答案】 ．
【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，
设点P到CD的距离为h，
则有V=×2×h××2，
当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，
则四面体ABCD的体积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．
15．【答案】　①④　．
【解析】解：由所给的正方体知，
△PAC在该正方体上下面上的射影是①，
△PAC在该正方体左右面上的射影是④，
△PAC在该正方体前后面上的射影是④
故答案为：①④
16．【答案】3
17．【答案】　[1，）∪（9，25]　．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．　
18．【答案】 ．
【解析】解：∵||=1，||=2，与的夹角为，
∴==1×=1．
∴|+||﹣|====．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由p：⇒﹣1≤x＜2，
方程x2﹣（a2+1）x+a2=0的两个根为x=1或x=a2，
若|a|＞1，则q：1＜x＜a2，此时应满足a2≤2，解得1＜|a|≤，
当|a|=1，q：x∈∅，满足条件，
当|a|＜1，则q：a2＜x＜1，此时应满足|a|＜1，
综上﹣．
【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵﹣1，1是函数y=f（x）的零点，∴，解得b=0，c=﹣1．
（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=﹣1﹣2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x﹣b﹣1，
∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，
∴，即．解得＜b＜，
即实数b的取值范围为（，）．
【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题．
21．【答案】
【解析】（1）证明：如图，
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵EF⊂平面PDC，
∴AF⊥EF．
【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．…
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，
并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0 （*）
（ⅰ）当2﹣k2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点
所以l的方程为…
（ⅱ）当2﹣k2≠0，即k≠±时
△=[2（k2﹣2k）]2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）=16（3﹣2k），
①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点．
所以l的方程为3x﹣2y+1=0…
综上知：l的方程为x=1或或3x﹣2y+1=0…
（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），
则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，
两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）…
又∵x1+x2=2，y1+y2=4，
∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2）
即k AB==，…
∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…
代入双曲线方程2x2﹣y2=2，可得，15y2﹣48y+34=0，
由于判别式为482﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在．…
【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．
23．【答案】
【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，
当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，
∴．
（II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，
∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，
X的分布列为
X88009400100001020010400
P0.10.20.30.30.1
∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．
24．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC中，由已知可得：AC⊥DE．在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，即可证明DE ⊥平面A1DC，再利用面面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为，利用，BE与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，利用=
（0＜x＜6），即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，则AC⊥DE，
∴在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，
又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC，
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，
∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
E（2，0，0）．
则，，
设平面A1BC的法向量为
则，解得，即
则BE与平面所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0），
∴==（0＜x＜6），
即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为．。