平谷区初三数学上学期期末试卷及答案

平谷区2010～2011学年度第一学期末考试试卷
初 三 数 学 2011年1月
一、选择题（．．．．．．本题．．共．8．个．小．题，每小题．．．．．3．分，共．．．24．．分）．．
下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填在下表中相应的题号下面。

532
x =，1．如果
那么x 的值是
A ．
310 B ．215
C ．152
D ．103
2．．．反比例函数．．．．．x k
y =（．
k ．≠．0．）的图象过点（．．．．．．．2．，．-．2．），则此．．．．函数．．的图象在直角坐标系中的．．．．．．．．．．．
A ．．．第二、四象限．．．．．．
B ．．．第一、三象限．．．．．．
C ．．．第一、二象限．．．．．．
D ．．．第三、四象限．．．．．．
3．．在．．Rt ．．△．ABC ．．．中，∠．．．C ．=90．．．°，．AB ．．=13．．．，．A ．C ．＝．12．．，则．．sin ．．．B ．的值是．．．
A ．．．513
B ．．．1213
C ．．．512
D ．．．12
5
4．如图,点C 、O 在线段AB 上，且AC=AO=OB =5,以BC 为直径的⊙O 切线，D 为切点，则AD 的长为 A ．5 B ．6 C ．35
D ．10
第4题
5．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个
红球且摸到红球的概率为1
3
，那么口袋中球的总数为
Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个
6．已知点(1,)A m 与点B (3,)n 都在反比例函数x
y 3
=
(0)x >的图象上，则m 与n 的关系是
A ．m n <
B ．m n >
C ．m n =
D ．不能确定
7．如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于
F
E D C
B
A
第13题y
x
C 2
C 1
O
C 3
Ａ．
π6 Ｂ．π4 Ｃ．π3 Ｄ．π2
8．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点， 且BP =1，点D 为AC 上一点；若∠APD =60°，则CD 长是
Ａ．43 Ｂ．23 Ｃ．21 Ｄ．3
2
二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分）
9．将二次函数1x 4x y 2
-+=化为k )h x (y 2
+-=的形式，结果为
y= ．
10．已知两个相似三角形的周长比是1:3，它们的面积比是 ． 11．已知抛物线322--=x x y 与y 轴交于点C,则点C 的坐标是（ ）；若 点C′是点C 关于该抛物线的对称轴对称的点，则'
C 点的坐标是（ ）. 12．如图，在△ABC 中，点
D 、
E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若 AD ：DB =1：2，AE =2，则AC = ． 13.如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象， 2C 是函数21
2
y x =-的图象，3C 是函数y =3x 的图象，则阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）
14．计算：020*******sin 2---+︒
解： 15．当12x -=时，求代数式)x 2(2)1x (2---的值.
解：
D
C
A
第8题
E
D
第12题
E
D
C
B
A
16. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交⊙O 于点D ， 点E 在⊙O 上．
（1）若52AOD ∠=o ，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长． 解：
17．如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，
3sin 5
BOA =∠．
求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值． 解：（1）
（2）
18. 如图，在ABC △中，90C =o
∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB
⊥交AC 于E ，8
6AC BC ==，．求DE 的长．
解：
四、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
19．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后
放在桌上，小红先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张． （1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）求抽出的两张牌都是偶数的概率． 解：
20. 已知二次函数图象的顶点是(1
2)-，，且过点302⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，． （1）求二次函数的表达式，并在右面的网格中画出它的图象；
（2）说明对于任意实数m ，点2
()M m m -，
在不在这个 二次函数的图象上．
解：
五、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分） 21. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，CD ＝4，
AB =10，3
2
tan =
∠B . 求BC 的长. 解：
22. 已知：如图，AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ， 过D 作DE ⊥AC 于点E . (1) 求证：DE 是⊙O 的切线；
(2) 如果⊙O 的半径为2，sin ∠B =2
1
,求BC 的长.
（1）证明：
六、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分） 23. 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数)0x (x
k
y >=的图象 经过点．．．B ．.． (1) ．．．求．k ．的值；．．．
（2）将正方形OABC 分别沿直线AB ，BC 翻折，得到正方形MABC ′和NA′BC .设线段M C ′，NA′分别与函数)0x (x
k
y >=的
图象交于点F ，E . 求线段EF 所在直线的解析式. 解：
24.已知：抛物线2
(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，． （1）求b c +的值；
（2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；
（3）若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考） 解：
E
F
D
C
B A E F
D
C
B
A E
F D
C
B
A
七、解答题（本题6分） 25. △ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ，点D 是BC 的中点，把一个三角板的直角顶点放在点
D 处，将三角板绕点D 旋转且使两条直角边分别交AB 、AC 于
E 、
F . （1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF 与BE 的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF ，试探索线段BE 、EF 、FC 之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；
（3）如图3，若将“AB=AC ，点D 是BC 的中点”改为：“∠B =30°，AD ⊥BC 于点D ”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF 、BE 的比值.
解：
平谷区2010～2011学年度第一学期末初三数学试卷
参考答案及评分参考
2011年1月
一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分）
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
9.5)2x (2
-+； 10．1:9； 11．(0,3-),)3,2(-； 12.6； 13. 53
π. 三、解答题（本题共5个小题，每小题5分，共25分） 14．计算：020*******sin 2---
+︒
解：原式=123222
3
2-+-+⨯
………………………..…………….4分 .123-=…………………………………………………………5分
15．当12x -=
时，求代数式)x 2(2)1x (2---的值.
解：)
x 2(2)1x (2
---
=x 241x 2x 2+-+- …………………………………………………………2分 =3x 2
- …………………………………………………………………………….3分 当12x -=
时，
原式.223)12(2
-=--=……………………………………………………..5分
16. 解：（1）OD AB ⊥Q ，
∴⌒AD =⌒
DB . ………………………………………1分
11
522622
DEB AOD ∴∠=∠=⨯=o o ………………….2分
（2）OD AB ⊥Q ，
AC BC ∴=. …………………………………...3分
∵AOC △为直角三角形， OC =3，5OA =，
由勾股定理,
可得4AC =. ……..…………………….4分
28AB AC ∴==. ……….………………………………………………………5分 17. 解：（1）如图，作BH OA ⊥，垂足为H ，…………………………………1分
在Rt OHB △中，5BO =Q ，3sin 5
BOA ∠=，
3BH ∴=．
4OH ∴=．……………………………… 2分
x
E
D
C B
A
∴点B 的坐标为(43)，．……………………3分
（2）Q 10OA =，4OH =，6AH ∴=．
在Rt AHB △中，3BH =Q ，35AB ∴=．………………………………………… 4分
25cos AH BAO AB ∴∠=
=．（得5
2
不扣分）………………………………….5分 18. 解：在ABC △中，9086C AC BC ===o ，，∠
2210AB AC BC ∴=+=．………………………1分
又6BD BC ==Q ，
4AD AB BD ∴=-=．
DE AB ⊥Q ，
90ADE C ∴==o ∠∠．
又A A =Q ∠∠，
AED ABC ∴△∽△．………………………………………….……………………3分 DE AD
BC AC
∴=
．……………………………………………………………….………4分 .368
4
=⨯=⋅=∴BC AC AD DE ．……………………………..……………………5分
四、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
19．解： (1) 树状图为：
…………………….…………….２分
共有12种可能结果． ……………………………………………………….…….3分
（2）∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果 ∴ P （偶数）=
126=2
1
．…………………………………..……………………….5分 20.解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为2
(1)2y a x =++， 又点302⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，在它的图象上，可得322
a =+，解得1
2a =-．………………………. 1分
所求为21
(1)22
y x =-
++．…………………… 2分
令0y =，得1213x x ==-，
画出其图象如右．……………………………….. 3分 （2）若点M )m ,m (2
-在此二次函数的图象上，
E O C D A B B
则221(1)22m m -=-++．………………………4分
得2
230m m -+=．
方程的判别式：41280-=-<，该方程无解．
所以点M )m ,m (2
-不在此二次函数的图象上．………………………5分 五、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分） 21. 解：作CE ⊥AB 于E, ……………………..1分
∵AB ∥CD ，∠A ＝90°
∴四边形AECD 是矩形.
∴AE=DC =4. …………………………………..2分 ∵AB =10，
∴BE =6. ………………………………………. 3分 在Rt △BEC 中， ∵ 3
2
tan =
∠B ，BE =6. ∴CE =4. ……………………………………………………………………………….4分 由勾股定理，得 .13222=+=
CE BE BC
∴ .132=BC …….………………………………………………………………5分 22. (1) 证明：连结OD ，AD . ∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ADB =90°………………………………1分 ∴ AD ⊥BC .
∵ AB=A C,
∴ BD=DC . ∵ OA=OB ,
∴ OD 是△ABC 的中位
线. ………………………………………….…………2分. ∴ OD ∥AC .
∵ DE ⊥AC , ∴ OD ⊥D E.
∴ DE 是⊙O 的切线………………………………………………………………3分. (2) 解：∵sin ∠B=
2
1, ∴∠B =30°. ∵ AB=4，
∴ BD =322
3
430cos =⨯=︒⋅AB ………………………………………………4分 ∵ BD=DC .
∴ BC =43. ……………………………………………………………………….5分 六、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分） 23．．.．解：．．(1) ．．．∵． B ．（．2,2．．．），．． ∴ k = 4 ………………………………………1分
(2) 由翻折可知，M （4,0）N （0,4）
可求得F （4,1），E （1,4）………………….3分
设直线EF 的解析式为b kx y +=，
可求得
5b ,1k =-=…………………………..…………………………………………..…..4分 所以，线段EF 所在直线的解析式为5x y +-=……………………………………5分
24.解：（1）依题意得：2(1)(1)(1)2b c b -+--+=-，
2b c ∴+=-．…………………………………………………..1分
（2）当3b =时，5c =-，
2225(1)6y x x x ∴=+-=+- ∴抛物线的顶点坐标是(16)--，．……………………………2分 （3）当3b >时，抛物线对称轴112
b x -=-<-， ∴对称轴在点P 的左侧．
因为抛物线是轴对称图形，(12)P b --，且2BP PA =．
(32)B b ∴--， …………….…………………………………………………………….3分 122
b -∴-=-． 5b ∴=．………………………………………………………………………………………4分 又2b
c +=-，7c ∴=-． ∴抛物线所对应的二次函数关系式247y x x =+-．……………………………………..5分
七、解答题（本题6分）
25 .解：（1）结论：AF=BE . ………………………………………………….1分
证明：连接AD ，
∵ AB=AC ，∠BAC =90°，点D 是BC 的中点
∴ AD=BD=DC =
12BC ，∠ADB =∠ADC =90°, ∴ ∠B=∠C =∠1=∠2=45°. ∴ ∠3+∠5==90°. ∵ ∠3+∠4==90°,
∴ ∠5=∠4 ∵ BD=AD , ∴ △BDE ≌△ADF .
∴ BE=AF . ………………………………………………………………………3分 54E F C
D
B A 123
（2）222EF BE FC =+…………………………………………………………4分
（3）（1）中的结论BE=AF 不成立. ……………………………………… 5分 ∵ ∠B =30°，AD ⊥BC 于点D ，∠BAC =90°,
∴ ∠3+∠5==90°， ∠B +∠1==90°.
∵ ∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°
∴ ∠B =∠2 ， ∠5=∠4. ∴ △BDE ∽△ADF . ∴
tan 303
AF AD BE BD ===o .………………………………………………… 6分
A B C F E 54123。