勾股定理的证明-北京习题集-教师版

勾股定理的证明（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共4小题）
1．（2017春•西城区期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是( )
A ．48
B ．36
C ．24
D ．25
2．（2016秋•东城区校级期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为( )
A ．1065+
B ．10102+
C ．10410+
D ．24
3．（2016春•西城区期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为1S ，2S ，3S ，若12318S S S ++=，则正方形EFGH 的面积为( )
A ．9
B ．6
C ．5
D ．
9
2
4．（2015秋•石景山区期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若BC=，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，6
AC=，5
则这个风车的外围周长是()
A．76B．72C．68D．52
二．填空题（共6小题）
5．（2019秋•延庆区期末）用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若10
AF=，则小正
AB=，8
方形EFGH的面积为．
6．（2019春•东城区期末）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，那么直角三角形斜边上的高等于．
7．（2019春•东城区期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若2
BD=，3
AE=，则正方形ODCE的边长等于．
8．（2017•丰台区二模）三国时期吴国赵爽创造了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理，在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH 组成的，已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD 的面积是 ．
9．（2016秋•怀柔区期末）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD 的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形1111A B C D ，则正方形1111A B C D 的面积为 ；再把正方形1111A B C D 的各边分别延长一倍得到正方形2222A B C D （如图2)，如此进行下去，得到的正方形n n n n A B C D 的面积为 （用含n 的式子表示，n 为正整数）．
10．（2017•平谷区二模）中国数学史上有许多著名的数学家，很多理论都是由他们的名字命名的．如图1就是著名的“赵爽弦图”，它是由公元3世纪三国时期的赵爽为证明某个定理而创设的一副“弦图”，图2由“弦图”变化得到，请用含a ，b ，c 的等式表示定理的内容 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2019秋•北京期末）通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式22()()a b a b a b +-=-给予解释．
图乙中的ABC ∆是一个直角三角形，90C ∠=︒，人们很早就发现直角三角形的三边a ，b ，c 满足222a b c +=的关系． 图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，求出2()a b +的值．
12．（2018秋•怀柔区期末）如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整： 1S = ，2S = ，3S = ， 123S S S ∴+=．
即
2
+
2
=
2
．
13．（2018•大兴区一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，求2S 的值．以下是求2S 的值的解题过程，请你根据
图形补充完整．
解：设每个直角三角形的面积为S 12S S -= （用含S 的代数式表示）① 23S S -= （用含S 的代数式表示）②
由①，②得，13S S += 因为12310S S S ++=， 所以22210S S +=． 所以2103
S =
． 14．（2017春•北京期中）阅读：小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决了如下问题：如图ABC ∆中，90C ∠=︒，M 是CB 的中点，MD AB ⊥于D ，请说明三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形．
15．（2017春•西城区校级期中）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载： “勾广三，股修四，经隅五．”．
这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”． 上述记载表明了：
在Rt ABC ∆中，如果90C ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =，那么a ，b ，c 三者之间的数量关系是： ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．
参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：1
2
ABC S ab ∆=，2ABDE S c =正方形，MNPQ S =正方形 ．
又 = ，
221
()42
a b ab c ∴+=⨯+，
整理得22222a ab b ab c ++=+，
∴ ．
勾股定理的证明（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2017春•西城区期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是( )
A ．48
B ．36
C ．24
D ．25
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG KG =，CF DG KF ==，再根据21()S CG DG =+，22S GF =，23()S KF NF =-，123144S S S ++=得出23144GF =，求出2GF 的值即可． 【解答】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形， CG KG ∴=，CF DG KF ==，
21()S CG DG ∴=+ 222CG DG CG DG =++ 22GF CG DG =+，
22S GF =，
2223()2S KF NF KF NF KF NF =-=+-，
22222123223144S S S GF CG DG GF KF NF KF NF GF ∴++=++++-==， 2144
483
GF ∴=
=， 248S ∴=．
故选：A ．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出23144GF =是解决问题的关键．
2．（2016秋•东城区校级期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为( )
A ．1065+
B ．10102+
C ．10410+
D ．24
【分析】根据题意，结合图形求出ab 与22a b +的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：222100c a b =+=，1
410020802
ab ⨯=-=，即280ab =，
则222()210080180a b a ab b +=++=+=，
∴每个直角三角形的周长为101801065+=+
故选：A ．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
3．（2016春•西城区期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为1S ，2S ，3S ，若12318S S S ++=，则正方形EFGH 的面积为( )
A ．9
B ．6
C ．5
D ．
9
2
【分析】据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．
【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12318S S S ++=，
∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，
12331218S S S x y ∴++=+=，故31218x y +=，
46x y +=，
所以246S x y =+=，即正方形EFGH 的面积为6． 故选：B ．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12318S S S ++=求出是解决问题的关键．
4．（2015秋•石景山区期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若
6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )
A ．76
B ．72
C ．68
D ．52
【分析】由题意ACB ∠为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则 222125169x =+=
所以13x =
所以“数学风车”的周长是：(136)476+⨯=． 故选：A ．
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 二．填空题（共6小题）
5．（2019秋•延庆区期末）用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD 和一个小正方形EFGH ，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若10AB =，8AF =，则小正方形EFGH 的面积为 4 ．
【分析】观察图形可知，小正方形的边长=长直角边-短直角边，由勾股定理可得BF 的长，从而得结论． 【解答】解：Rt ABF ∆中，10AB =，8AF =， 由勾股定理得：221086BF =-=， 862FG ∴=-=，
∴小正方形EFGH 的面积224==，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
6．（2019春•东城区期末）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，那么直角三角形斜边上的高等于
12
5
．
【分析】根据题意，结合图形求出ab 与22a b +的值，利用三角形面积公式代入计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：22225c a b =+=，1
4251242ab ⨯=-=，即224ab =，
则5c =，1
62
ab =，
∴直角三角形斜边上的高等于126255
⨯÷=
． 故答案为：
125
．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7．（2019春•东城区期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若2BD =，3AE =，则正方形ODCE 的边长等于 1 ．
【分析】设正方形ODCE 的边长为x ，则CD CE x ==，根据全等三角形的性质得到AF AE =，BF BD =，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设正方形ODCE 的边长为x ， 则CD CE x ==，
AFO AEO ∆≅∆，BDO BFO ∆≅∆，
AF AE ∴=，BF BD =，
235AB ∴=+=，
222AC BC AB +=，
222(3)(2)5x x ∴+++=， 1x ∴=，
∴正方形ODCE 的边长等于1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．（2017•丰台区二模）三国时期吴国赵爽创造了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理，在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH 组成的，已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD 的面积是 100 ．
【分析】由BF BE EF =+结合“小正方形的边长是2，每个直角三角形的短的直角边长是6”即可得出直角三角形较长直角边的长度，结合三角形的面积公式以及正方形面积公式即可得出结论． 【解答】解：2EF =，6BE =， 8BF BE EF ∴=+=，
1
4486221002
BCF ABCD EFGH S S S ∆∴=⋅+=⨯⨯⨯+⨯=正方形正方形．
故答案为：100．
【点评】本题考查了三角形的面积以及正方形的面积，解题的关键是求出直角三角形的较长直角边长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分割图形求面积法表示出大正方形的面积是关键．
9．（2016秋•怀柔区期末）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD 的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形1111A B C D ，则正方形1111A B C D 的面积为 5 ；再把正方形1111A B C D 的各边分别延长一倍得到正方形2222A B C D （如图2)，如此进行下去，得到的正方形n n n n A B C D 的面积为 （用含n 的式子表示，n 为正整数）．
【分析】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答． 【解答】解：已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△11AA B 的面积是1， 新正方形1111A B C D 的面积是5，
从而正方形2222A B C D 的面积为255255⨯==，
⋯
正方形n n n n A B C D 的面积为5n ． 故答案为：5n ．
【点评】此题是勾股定理的证明，主要考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发现规律，此题难度不大．
10．（2017•平谷区二模）中国数学史上有许多著名的数学家，很多理论都是由他们的名字命名的．如图1就是著名的“赵爽弦图”，它是由公元3世纪三国时期的赵爽为证明某个定理而创设的一副“弦图”，图2由“弦图”变化得到，请用含a ，b ，c 的等式表示定理的内容 222a b c += ．
【分析】根据大正方形的面积的两种求法，列出等式，化简整理即可解决问题． 【解答】解：图2中，大正方形的边长为()a b +，
大正方形的面积221
()42a b a b c =+=⨯⨯⨯+，
22222a ab b ab c ∴++=+，
222a b c ∴+=．
故答案为222a b c +=．
【点评】本题考查正方形的面积公式、直角三角形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求正方形的面积，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
11．（2019秋•北京期末）通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式22()()a b a b a b +-=-给予解释．
图乙中的ABC ∆是一个直角三角形，90C ∠=︒，人们很早就发现直角三角形的三边a ，b ，c 满足222a b c +=的关系． 图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，求出2()a b +的值．
【分析】根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据222()2a b a ab b +=++即可求解． 【解答】解：根据勾股定理可得2213a b +=，
四个直角三角形的面积是：1
4131122
ab ⨯=-=，即212ab =，
则222()2131225a b a ab b +=++=+=． 故2()a b +的值为25．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．
12．（2018秋•怀柔区期末）如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整： 1S = 4 ，2S = ，3S = ， 123S S S ∴+=．
即
2
+
2
=
2
．
【分析】根据勾股定理解答即可． 【解答】解：14S =，29S =，313S =， 123S S S ∴+=．
即222AC BC AB +=．
故答案为：4，9，13，AC ，BC ，AB ．
【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是根据勾股定理的证明过程解答．
13．（2018•大兴区一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”（如
图1)．图2是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，求2S 的值．以下是求2S 的值的解题过程，请你根据图形补充完整．
解：设每个直角三角形的面积为S
12S S -= 4S （用含S 的代数式表示）①
23S S -= （用含S 的代数式表示）②
由①，②得，13S S += 因为12310S S S ++=， 所以22210S S +=． 所以2103
S =
． 【分析】设每个直角三角形的面积为S ，根据图形的特征得出124S S S -=，234S S S -=，两者相减得到1322S S S +=，再代入12310S S S ++=即可求解． 【解答】解：设每个直角三角形的面积为S ， 124S S S -=（用含S 的代数式表示）① 234S S S -=（用含S 的代数式表示）②
由①，②得，1322S S S +=，因为12310S S S ++=， 所以22210S S +=． 所以210
3
S =
． 故答案为：4S ；4S ；22S ．
【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，图形面积关系，根据已知得出1322S S S +=，再利用12310S S S ++=求出是解决问题的关键．
14．（2017春•北京期中）阅读：小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决了如下问题：如图ABC
∆
中，90C ∠=︒，M 是CB 的中点，MD AB ⊥于D ，请说明三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形．
【分析】连结AM ，设AD a =，BD b =，AC c =，BM x =，根据中点的定义可得CM x =，在Rt BMD ∆中，22222MD BM BD x b =-=-，在Rt AMD ∆中，22222MD AM AD AM a =-=-，在Rt ACM ∆中，22222AM AC CM c x =+=+，可得222a c b =+，根据勾股定理的逆定理可得三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个
直角三角形．
【解答】证明：连结AM ，设AD a =，BD b =，AC c =，BM x =，
M 是CB 的中点，
CM x ∴=，
在Rt BMD ∆中，22222MD BM BD x b =-=-， 在Rt AMD ∆中，22222MD AM AD AM a =-=-，
消去MD ，得2222x b AM a -=-，从而2222AM x a b =+-， 又因为在Rt ACM ∆中，22222AM AC CM c x =+=+，
消去AM 得22222c x x a b +=+-，消去x ，所以222c a b =-，即222a c b =+． 所以，三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形．
【点评】考查了勾股定理的证明，可见计算在几何证明中也是很重要的．小明正是利用代数中计算、消元等手段，结合相关定理来论证了几何问题．
15．（2017春•西城区校级期中）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载： “勾广三，股修四，经隅五．”．
这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”． 上述记载表明了：
在Rt ABC ∆中，如果90C ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =，那么a ，b ，c 三者之间的数量关系是： 222a b c += ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．
参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：1
2
ABC S ab ∆=，2ABDE S c =正方形，MNPQ S =正方形 ．
又 = ，
221
()42
a b ab c ∴+=⨯+，
整理得22222a ab b ab c ++=+，
∴ ．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =， 由勾股定理得，222a b c +=， 故答案为：222a b c +=；
（2）1
2
ABC S ∆=
，2ABCD S c =正方形， 2()MNPQ S a b =+正方形；
又正方形的面积=四个全等直角三角形的面积的面积+正方形AEDB 的面积， 221
()42
a b ab c ∴+=⨯+，
整理得，22222a ab b ab c ++=+， 222a b c ∴+=，
故答案为：2()a b +；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积+正方形AEDB 的面积；222a b c +=． 【点评】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．。