柯西准则——精选推荐

柯西准则
1
第⼀节、数列的柯西收敛准则
与函数的⼀致连续性
⼀、数列极限柯西准则
⼆、函数极限柯西准则
三、函数的⼀致连续性
四、⼩结
五、作业
当n > N 时, 总有
lim n n
x a
→∞
= .
定义只能⽤来验证
在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？
1、夹逼准则
若数列x y 及z 第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性, n n n 满⾜下列条件:
(1) ( 1,2,3 ) n n n y ≤ x ≤ z n = ..
则数列n x 的极限存在, lim . n n
x a
→∞
=
(2) lim , lim , n n n n
y a z a
→∞ →∞
= =
且
单调有界数列必有极限.
2、单调有界准则
回顾:
lim n n
x a
→∞
=
..ε > 0, .N ∈ N+ , 当n > N时，总有. n x . a <ε
1. 柯西(Cauchy)列：
如果数列{ } 具有以下特性： n a
⼀、数列的柯西收敛准则
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性3
则称数列是⼀个基本数列或柯西( Cauchy)列.
ε 0, N N , n,m N, . > . ∈ + . > , n m 有a .a <ε
{ } n a
2. Cauchy收敛准则：
定理数列收敛的充要条件是：
是⼀个柯西数列.
数列收敛
{ } n a
{ } n a
{ } n a ε 0, N N , . . > . ∈ + .m, n>N,
. m n 有a .a <ε
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性4
定理1（柯西收敛准则）数列{ } n a 收敛的充分必要条件是对.ε >0,.N, 当n,m>N时, 有. n m a .a <ε
证明必要性若{ } n a 收敛于a, 设lim . n n a a →∞
=
则对.ε >0, .N ∈N+, 当n>N, 时，有
, n a a ε2
. , m a a ε2. m>N
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性5
2
< 2
<
n m a .a
2 2
<ε +ε =ε .
故n m = a .a n m .a +a ≤ a .a + a .a
充分性的证明从略.
.定理的⼏何解释
柯西准则说明:
x1 x2
x5 x4 x3
越到后⾯越是挤在⼀起.
于预先给定的任意⼩正数, 或形象地说, 收敛数列的各项越是接近,
收敛数列各项的值越到后边, 彼此
以⾄项数充分⼤的任何两项之差的绝对值可⼩
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性
6
柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中项数充分⼤(即n充分⼤)的任意两项的距离能够任意⼩. 柯西收敛准则的优点在于只须根据
数列⾃⾝各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性. 它不需要借助数列以外的任何数，
2
柯西列：对于数列
使当n，m > N 时, 总有
如果对于任意给定的
总存在正整数
则称为柯西列。

等价定义: 对于数列如果对于任意给定的
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性
使当n > N 时,
总有
总存在正整数
则称为柯西列。

对任意的正数p
例1 证明数列
收敛
证明：
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性
当n﹥N时,对任意p∈Z + ,
都有
由柯西收敛准则可知,
收敛
第⼀节
、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性
例2 证明: 任⼀⽆限⼗进⼩数
的不⾜近似值所组成的数列
收敛. 其中是中的数.
证明令有
1 2 0. (0 1) n α = b b ..b .. <α <
1 , 10
b
( 1,2, , 9 ) i b i= .. 0,1,..,9
1 2
2 ,
10 10 10
n
b b b n + +..+ a =
1 2
2 10 10 ,
b b + 1 2
2 , 10 10 10 ,
n
n
.. b + b +..+ b ..
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性11 n p n a a + .
( ) 1 1
9 1 1 1
10n+ 10 10p. ≤ + +..+
1 2
10 1 10 2 10
n n n p
n n n p
b b b + + +
+ + + = + +..+
1
9
10n+ = 1 01
1 01
( . )
.
. p .
.
1 (1 0 1 )
10
( . )p
n = . n
1
10
< . n 1
<
例2 证明: 任⼀⽆限⼗进⼩数
的不⾜近似值所组成的数列
收敛. 其中是中的数.
证令有
1 2 0. (0 1) n α = b b ..b .. <α <
1 1
2 1 2
2 2 10 , 10 , , 10 , 10 10 10
n
n
b b b b b b + .. + +..+ ..
( 1,2, , 9 ) i b i= .. 0,1,..,9
1 2
2 ,
10 10 10
n
n
b b b n + +..+ a =
1
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性12 n p n a a + . 故对任意ε > 0, 取N =..1.. ,
. ε .
当n > N时, 对任意正
整数p, 有 . n p n a a + . <ε
数列{ } n 由柯西柯西收敛准则知: a 收敛.
例3 利⽤柯西收敛准则证明: 数列{ }
1
n sin
n k
k
x k
=
... ... =. . ... ... Σ
收敛.
证明对任意正整数n, p, 有
n p n x x + . 1 2
1 2
2 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
n n n p
n n n p
+ + +
= + + + +..+ +
1
1
2n+ ≤ ( ) 1 2 1
1 1 1 1 1
2n+ 2 2 2p. 2 = + + +..+
1
2n+ + 1
2n+p +..+
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性13
1 (1 1 )
2n 2p = . . 1
2n <
ε >0, N ε1 ,
=.. ..
. .
1 . 对任意取当n > N时, 对任意正整数
p, 有
. n p n x x ε + . <
故数列{ } n x 收敛.
3
例4 若xn+1.xn ⽽数列{ } n s 收敛, 则数列{ } n x 也收敛. 证明
x x x x
n n 1 n p 1 c c c + + . + +..+ n p 1 n 1 s s + . . . = <ε ,
由已知数列{ } n s 收敛, 由柯西收敛准则得,
对.ε >0, .N ∈N+, 当n>N时, .p∈N+,
于是有
+ x x + x x
有
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性14
n p n + . n p n p 1 + + . = .
n 1 n n 2 n 1 n p n p 1 x x x x x x + + + + + . ≤ . + . +..+ . n 故数列{ } n x 收敛.
n p 1 n 1 + . + .... n 1 n + .
n 1 c + + n p 1 c + . +..+
定理1（柯西收敛准则）数列{ } n a 收敛的充分必要条件对.ε >0,.N, 当n,m>N时, 有. n m a .a <ε
定理1′(柯西准则) 数列{ } n a 发散的充分必要条件
存在某ε0
> 0, 都存在某正整数
也可以给出数列发散的柯西准则:
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性15
对任意正整数N, 0 0 m , n > N, 使得. n m a a ε
0 0 0 . ≥
例5 设n 1 12 1 , 1, 2, , 利⽤柯西准则, a = + +..+ n n = .. 证明: 数列{an}发散.
分析
n m a .a
不妨设n > m,
1
= m+1
1
+ m+ 2
1n
+..+ n m
n
> .
取n = 2m,
1
= 2 0=ε ,
证明取0
1 , ε =
2 对任意正整数N, 取正整数m0 > N,
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性16
n0 = 2m0 , 则
n0 m0 a .a 0 0
n m
n
> . 1
= 2 0=ε ,
故数列{an}发散.
定理1′(柯西准则) 数列{ } n a 发散的充分必要条件存
在某ε0
> 0, 对任意正整数N, 都存在某正整数
0 0 m , n > N, 使得. n m a a ε 0 0 0 . ≥
当n，m > N 时,
总有
lim n n
x a
→∞
= .
lim ( )
n
f n a
→∞
= .
( ) nx = f n
当n , m > N 时,
总有
⼆、函数极限的柯西准则
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性
lim ( )
x
f x A
→+∞
= .
总有
1 2 当x , x > X时，
lim ( )
x x
f x A
→
= .
1 0 当0 < x . x <δ ,
2 0 0 < x . x <δ时，
lim ( )
x x
f x A
→
= .
总有
1 0 当0 < x . x <δ ,
2 0 0 < x . x <δ时，
0 < x . x <δ 0
lim ( )
x x
f x
→
不存在.
1 2 总存在x , x ,
尽管
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性
1 0 但是,
2 0 0 < x . x <δ，
例6.⽤柯西收敛准则证明: 当x→+∞时,
sin x
x
存在极限
1 2
1 2 1 2
sin x sin x 1 1
x x x x
证明：∵ . ≤ +
ε 0 X= 2 ,
ε
对> ，取1 2
x ,x 2
ε
则当> 时，
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性1 2
1 2 1 2
sin x sin x 1 1
x x x x
. ≤ +
2 2
< ε + ε =ε
sin x
x
故存在极限
4
例7.证明: 当x→+∞时, sin x 极限不存在
证明：
1 2 2 , 2 ,
2
取x = nπ x = nπ + π
对.X > 0, n⾜够⼤时1 2 x > X, x > X,
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性但是
故sin x 极限不存在
设f (x)在某⼀区间Ｉ上连续，
f (x)在区间Ｉ内每⼀点都连续.
即对任意固定的点
按照定义，也就是
0 , x I ∈ 0, ε . > 对( , ) x U x0
当∈δ
| f (x). f (x )|<ε.
1. ⼀致连续概念的引⼊
.δ>0,
三、函数的⼀致连续性
时,
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性22 0 x) 0 在上述定义中, δ=δ(ε, x ).
{
如图, 当ε给定后, 在点x0附近, 函数图象变化⽐较“慢”,对应的δ较⼤; 在点x1附近, 函数图象变化⽐较“快”,对应的δ较⼩.
y= f (x)
1 2ε f (x )
y
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性23 {
1 x 0 x
1 δ(x ) 0 δ(x )
0 2ε f (x )
O x
设函数f (x)在区间I上连续, 当给定ε后,
相应于⽆穷多个x0, 有⽆穷多个0 δ(x )>0,
在这⽆穷多个0 δ(x ) 中是否存在⼀个公共的δ > 0 , 使得对任意的x0, x ∈I, 只要0 | x.x |<δ, 就有
0 | f (x). f (x )|<ε
呢?
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性24 2．⼀致连续的定义
定义设f (x)为定义在区间Ｉ上的函数,
存在⼀个使得对任何
只要就有
则称函数f (x)在区间Ｉ上⼀
致连续
若对任给的
ε>0, δ=δ(ε)>0, 1 2 x , x ∈I,
1 2 | x .x |<δ,
( ) ( ) 1 2 f x . f x <ε,
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性25 .
在⼀致连续定义中, δ=δ(ε) 与1 2 x , x ∈I⽆关.
由⼀致连续定义可知:
函数f (x)在区间Ｉ上⼀致连续
函数f (x)在区间Ｉ上连续
⼀致连续的否定就是⾮⼀致连续. 两者对⽐如下：函数f (x)在区间I上
⼀致连续
.ε>0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I, 1 2 | x .x |<δ
( ) ( ) 1 2 f x . f x <ε,
当时, 有
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性26 ⾮⼀致连续
0 .ε >0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I, 1 2 | x .x |<δ,
( ) ( ) 1 2 0f x . f x ≥ε .
尽管但有
5
例8 证明: 函数f (x)= 1x
(2) 在(0, 1]上⾮⼀致连续.
证明(1) 对.ε>0, 1 2 .x , x ∈[a,1], 要使
1 1
x . x <ε, 1 2 x x
x x
= . 2 1 2
1 x x
a
≤ .
.ε>0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I,
1 2 | x .x |<δ
( ) ( ) 1 2 f x . f x <ε,
当时, 有
⼀致连续:
(1) 在[a, 1](0 < a < 1)上⼀致连续;
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性27
1 2 1 2 只要2
1 2 x .x 对.ε>0,取δ=a2ε, 1 2 x .x <δ 1 2 .x , x ∈[a,1], 当时, 有1 2
1 1 , x . x <ε
故函数f (x)= 1x 在区间[a, 1] 上⼀致连续.
例8 证明: 函数
(1) 在[a, 1](0< a < 1)上⼀致连续;
(2) 在(0, 1]上⾮⼀致连续.
(2)
1
.x = n1 ∈(0,1],
当= 1 1 1 < 1 δ (1) 时
对.δ>0, 0
1 0
2
.ε = > ,
2
1 1 , x = n
+
f (x)= 1x ⾮⼀致连续:
0 .ε >0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I,
1 2 | x .x |<δ,
( ) ( ) 1 2 0f x . f x ≥ε .
尽管但有
n> 1 , δ取
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性28
1 2 x .x
n n 1 .
+ = n(n 1)
+ n ) δ
,
有
1 2
1 1
x . x = n. 0
12
> =ε ,
故函数f (x)= 1x在(0, 1]上⾮⼀致连续.
但函数f (x)= 1x 在(0, 1]上连续.
(n+1) =1
40
60
80
100 y = 1x
观察函数y = 1x 在(0, 1]上的图象.
ε
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性29
0.2 0.4 0.6 0.8 1
20
δδ
ε
δδ
本例说明: 函数f (x)在区间Ｉ上连续
函数f (x)在区间Ｉ上⼀致连续
定理(Cantor定理或⼀致连续性定理)
若f (x)在闭区间[a, b]上连续, 则f (x)在[a, b]上
⼀致连续.
何时⼀致连续？
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性30
提⽰: 设存在,作辅助函数
显然
例9 设函数f (x)在区间[a, +∞) 上连续, 且lim ( ) x f x →+∞
存在. 证明: 函数f (x)在[a, +∞)上⼀致连续.
分析从已知条件lim ( ) x f x →+∞ 出发,利⽤极限定义来证明.
证明由lim ( ) x f x →+∞ 存在及柯西准则, 对.ε > 0,
存在正数X > a, 使得对1 2 .x , x ∈(X, +∞), 都有
1 2 f (x ). f (x ) < ε.
因为函数f (x)在闭区间[a, X+1]上连续, 由⼀致连续性
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性31
定理,
对上述ε, 存在正数δ (< 1), 对1 2 .x , x ∈[a, X +1],
都有1 2 f (x ). f (x ) < ε.
于是, 对上述ε > 0, 存在δ > 0, 对1 2 .x , x ∈[a, +∞),
都有1 2 f (x ). f (x ) < ε.
故函数f (x)在[a, +∞)上⼀致连续.
1 2 | x . x |< δ,
1 2 | x . x |< δ,
四、⼩结
1. Cauchy收敛准则
定理数列{ }收敛n a ε 0, N N , . . > . ∈ +
.m, n>N, . m n . a .a <ε
2．⼀致连续性
设函数f (x)定义在区间I上若对
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性32
.ε>0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I, 1 2 | x .x |<δ
( ) ( ) 1 2 f x . f x <ε,
当时, 有
, 则称函数f (x) 在区间I上⼀致连续.
定理(Cantor定理或⼀致连续性定理)
若f (x)在闭区间[a, b]上连续, 则f (x)在[a, b]上
⼀致连续.
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性33第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性33作业
1.设
利⽤柯西准则, 证明: 数列{an}收敛.
2.设利⽤柯西准则,sin , 1, 2, ,2n
na nπ = = ..
证明数列发散
第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性34
3.证明: 函数f (x) = x2在区间[a, b]上⼀致连续, 但在
( ,).∞ +∞上不⼀致连续.
证明: 数列{an}发散.。