2018年中考数学-----几何综合题汇总3

2018年中考数学-----几何综合题汇总3
1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．
（2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
2．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF 与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC 的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．
3．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．
4．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．
5．【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF；试证明：AB=DB+AF。

【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．
6．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）记=k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）
7．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC 于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP
之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，DF交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，若PC=1，计算出DG的长；（2）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，证明：四边形DFEP为菱形；（3）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，（2）的结论：四边形DFEP
为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
9．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F．BE与FC相交于点H．（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：；
（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点．求证：MN=；
（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：．
10．图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和ODE叠放在一起（C与O重合）．（1）操作：固定△ABC，将△0DE绕点C顺时针旋转30°后得到△ODE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）在（1）的条件下将的△ODE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，当点P与点F重合时停止运动（图3）；探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．
（3）将图1中△0DE固定，把△ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为△ABG，然后将△ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设∠BGE=α（30°＜α＜90°）；（图4）；探究：在图4中，线段ON•EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出ON•EM的值，如果有变化，请你说明理由．
11．（1）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=10，点E为OA边上一点，连结CE，将△EOC沿CE折叠．①如图1，当点O落在AB边上的点D处时，求点E的坐标；②如图2，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x
轴交CD于点H，交BC于点G，设H（m，n），求m与n之间的关系式；（2）如图3，将矩形OABC 变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将△EOC沿CE折叠．点O落在点D处，延长CD
交直线AB于点T，若=，求AT的长．
12．如图1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别于边BC，CD相交于E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中是否存在线段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
13．如图，正方形OEFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．（1）求证：OM=ON；
（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连结PM．若PM=13，试求AM的长；
（3）连接MN，求△AMN周长的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系．
14．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB 的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．
15．已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B 旋转．（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=FC；
（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；
（3）当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求的值．
2018年中考数学--几何综合题汇总3答案
1．解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴，∴．
②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案为：．（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，
又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．
（3）①如图3，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE==2，∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，
由（2），可得，∴BD==．综上所述，BD的长为4或．
2、【解答】（1）如图1，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2．∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，
∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，∴∠BED=90°，∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．
在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD，∴BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，
，∴△EMD≌△FND，∴EM=FN，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；
（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM，∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，
BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．在Rt△BMD中，DM=BM•tanB=BM，
∴BE+CF=（BE﹣CF）．
3、【解答】：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，∴∠ACM=∠BCN，在△MAC和△NBC中，
，∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=90°，又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°；（2）不变，在△MAC≌△NBC中，，∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC，又∵∠MFD=∠NFC，∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；
（3）如上图4，作GK⊥BC于K，∵∠EAC=15°，∴∠BAD=30°，∵∠ACM=60°，∴∠GCB=30°，∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，∠AMG=75°，∴AM=AG，∵△MAC≌△NBC，∴∠MAC=∠NBC，
∴∠BDA=∠BCA=90°，∵BD=，∴AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，∴a+a=+1，∴a=1，∴KB=KG=1，BG=，AG=，∴AM=．
4、【解答】（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P为线段CD的中点，∴PA=PB．（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，
过C作CE⊥n于点E，连接PE，∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，
∴PD=PE，又∵点P为线段CD的中点，∴PC=PD，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，
∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，
∴l∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC≌△PBE，∴PA=PB．
（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，∵直线m∥n，∴，
∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，
∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF•BP=AE•BF，
∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA•PB=2k．AB，∴PA•PB=k•AB．
，
5．【解答】ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，∠CEF=60°，又∵ED=EC，∴ED=EF，
∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAF=∠CBA=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，∵∠CAF=∠CEF=60°，
∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=EC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，
∴DB=AE，BE=AF，∵AB=AE+BE，∴AB=DB+AF．如上图3；
（1）AB=BD+AF；延长EF、CA交于点G，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，
∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，∴∠D=∠FEA，由旋转的性质，可得
∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°，在△EDB和△FEA中，（AAS）
∴△EDB≌△FEA，∴BD=AE，EB=AF，∴BD=FA+AB，即AB=BD﹣AF．
（2）如图③，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，
EC=CF，BC=AC，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵AB=AC，BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF，∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC=180°﹣60°﹣60°=60°∴∠DBE=∠EAF；∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠BDE=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，
∴BD=AE，EB=AF，∵BE=AB+AE，∴AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．
6．【解答】（1）如上图2，过点P作PM⊥CE于点M，PC=PE成立，理由如下：∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，∴，∵点P是BF的中点，∴EM=MC，又∵PM⊥CE，∴PC=PE．
（3）如上图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，PC=PE成立，
理由如下：∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF和△EAF中，
，∴△DAF≌△EAF（AAS），∴AD=AE，在△DAP和△EAP中，
，∴△DAP≌△EAP（SAS），∴PD=PE，∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，∴，∵点P是BF的中点，∴DM=MC，又∵PM⊥AC，∴PC=PD，
又∵PD=PE，∴PC=PE．
（4）如上图4，∵△CPE总是等边三角形，∴将△AEF绕着点A顺时针旋转180°，
△CPE仍是等边三角形，∵∠BCF=∠BEF=90°，点P是BF的中点，
∴点C、E在以点P为圆心，BF为直径的圆上，∵△CPE是等边三角形，∴∠CPE=60°，
根据圆周角定理，可得∠CBE=∠CPE=60°=30°，即∠ABC=30°，在Rt△ABC中，
∵=k，=tan30°，∴k=tan30°=，∴当k为时，△CPE总是等边三角形．
7．【解答】（1）证明：在Rt△AOG和Rt△ADG中，（HL）∴△AOG≌△ADG．
（2）解：在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP；
∵△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG；又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，
∴∠DAG+∠DAP=45°，∵∠PAG=∠DAG+∠DAP，∴∠PAG=45°；∵△AOG≌△ADG，
∴DG=OG，∵△ADP≌△ABP，∴DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP．
（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠PGC，又∵∠AGO=∠AGD，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°；在Rt△AOG中，∵AO=3，
∴OG=AOtan30°=3×=，∴G点坐标为（，0），CG=3﹣，在Rt△PCG中，
PC===3（﹣1），∴P点坐标为：（3，3﹣3 ），设直线PE的解析式为：y=kx+b，则，解得，∴直线PE的解析式为y=x﹣3．
（4）①如图1，当M在x轴的负半轴上时，∵AG=MG，点A坐标为（0，3）∴点M坐标为（0，﹣3）．②如图2，当点M在EP的延长线上时，由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，∴EP与AB的交点M，满足AG=MG，∵A点的横坐标是0，G点横坐标为，∴M的横坐标是2，纵坐标是3，
∴点M坐标为（2，3）．综上，可得点M坐标为（0，﹣3）或（2，3）．
8．【解答】（1）证明：作PM⊥DG于M，如上图3，∵PD=PG，∴MG=MD，∵四边形ABCD为矩形，∴PCDM为矩形，∴PC=MD，∴DG=2PC=2；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，
∵四边形ABPM为矩形，∴AB=PM，∴AD=PM，∵DF⊥PG，∴∠DHG=90°，∴∠GDH+∠DGH=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，∴∠GDH=∠MPG，在△ADF和△MPG中，，
∴△ADF≌△MPG（ASA），∴DF=PG，而PD=PG，∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG=90°，PE=PG，∴PE=PD=DF，
而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF=PE，∴四边形PEFD为平行四边形，∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形；
（4）解：四边形PEFD是菱形．理由如下：作PM⊥DG于M，如上图4，与（1）一样同理可证
得△ADF≌△MPG，∴DF=PG，而PD=PG，∴DF=PD，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG=90°，PE=PG，∴PE=PD=DF而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，∵DF=PD，∴四边形PEFD为菱形．
9．（1）解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，∴BD=AD=CD，又∵ED=AD，FD=BD，∴ED=FD，∵∠BDE=∠FDE+∠α=90°+∠α，∠CDF=∠CDB+∠α=90°+∠α，∴∠BDE=∠CDF，
在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD，∴BE=FC．
（2）证明：如图2，连接BF，取BF中点G，连接MG、NG，
∵△BED≌△CFD，∴∠1=∠2，又∵∠3=∠4，∴∠FHE=∠FDE=90°，∴BE⊥CF，∵M为EF中点，
G为BF中点，∴MG∥BE，MG=，∵G为BF中点，N为BC中点，∴NG∥FC，NG=，
又∵BE=FC，BE⊥FC，∴MG=NG，∠MGN=90°，∴△MGN为等腰直角三角形，
∴MN=．
（3）解：由（2），可得BE⊥FC，∴BF2=BH2+FH2，CE2=CH2+EH2，EF2=EH2+FH2，BC2=BH2+CH2，
∴BF2+CE2=EF2+BC2=BH2+CH2+EH2+FH2，∵EF=AB，∴BF2+CE2=AB2+BC2=AC2，∴BF2+CE2=AC2．
故答案为：BE=FC、BF2+CE2=AC2．
10．【解答】（1）BE=AD．证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60 °，
CA=CB，CE=CD，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE与△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；（2）如图在△CQT中，∵∠TCQ=30°∠RQP=60°，∴∠QTC=30°，∴∠QTC=∠TCQ，
∴QT=QC=x，∴RT=2﹣x，∵∠RTS+∠R=90°∴∠RST=90°
∴y=（0≤x≤2）．
（3）答：ON•EM的值不变，理由为：证明：∵∠AGB=60°∴∠MGE+∠NGO=120°
∵∠GNO+∠NGO=120°∴∠MGE=∠GNO∵∠E=∠O∴△EMG∽△OGN；∴，∴ON•EM=OG•EG=1．11．【解答】（1）由题意得，DE=OE，CD=OC=10，在Rt△DBC中，BC=OA=8，CD=10，
由勾股定理得，BD=6，∵∠A=∠EDC=∠B=90°，∴△EAD∽△DBC，∴=，即=，
解得，AE=3，则OE=5，∴E（0，5）；（2）由题意得，DE=OE=n，EH=m，HG=10﹣m，
在△EDH和△CGH中，，∴△EDH≌△CGH，∴DH=HG=10﹣m，
在Rt△EDH中，DE=n，EH=m，DH=10﹣m，由勾股定理得m2=n2+（10﹣m）2，整理得m=n2+5；（3）如上图3，连接ET，∵=，∴AE=EO，在△EAT和△EDT中，，
∴Rt△EDH≌Rt△CGH，∴TA=TD，在Rt△TBC中，CT=10+AT，BT=10﹣AT，BC=10，
由勾股定理得，（10+AT）2=（10﹣AT）2+100，解得AT=．
12．【解答】（1）∵AC=6，BD=6，∴OA=3，BO=3，∴AB==6；
（2）①△AEF是等边三角形，∵OA=3，AB=6，∴∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，
∵∠EAC+∠CAF=60°，∠FAD+∠CAF=60°，∴∠EAC=∠FAD，在△EAC和△FAD中，
，∴△EAC≌△FAD，∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形；
②当AE⊥BC时，AE最小，即线段EF最短，在等边△ABC中，AB=6，
∴AE=3，则当旋转至AE⊥BC时线段EF最短，最小值是3．
13．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，
∵∠AOM+∠AON=∠EOG=90°，∠BON+∠AON=∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON，∴OM=ON．
（2）∵OF是正方形OEFG的对角线，∴∠POM=∠PON，在△POM和△PON中，
∴△POM≌△PON，∴PN=PM=5，∵△AOM≌△BON，∴BN=AM，设AM=BN=x，
则AP=AB﹣BN﹣PN=12﹣x﹣5=7﹣x，在Rt△AMP中，AM2+AP2=PM2，即x2+（7﹣x）2=52，
整理，可得x2﹣7x+12=0，解得x
1=3，x
2
=4，所以AM的长为3或4．
（3）设AM=BN=x，则AN=AB﹣BN=12﹣x，在Rt△AMN中，AM2+AN2=MN2，
即MN2=x2+（12﹣x）2=2（x﹣6）2+72∴当x=6时，即AM=6时，线段MN的长度最小，
此时MN=，AN=12﹣x=12﹣6=6，∴△AMN周长的最小值是：6+6+6=12+6，
∵点M是AD的中点，点N是AB的中点，∴MN是△ABD的中位线，∴MN∥BD，且MN=．
14．【解答】（Ⅰ）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．∵点A（﹣2，0）点B（0，2），∴OA=OB=2．∵点E，点F分别为OA，OB的中点，∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O中，AE′=．在Rt△BOF′中，
BF′=．∴AE′，BF′的长都等于．
（Ⅱ）当α=135°时，如图②．∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°
所得，∴∠AOE′=∠BOF′=135°．在△AOE′和△BOF′中，
，∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，∴∠CPB=∠AOC=90°∴AE′⊥BF′．
（Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，∴点P、B、A、O四点共圆，
∴当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大．
∵OE′=1，∴点E′在以点O为圆心，1为半径的圆O上运动，∴当AP与⊙O相切时，
∠E′AO（即∠PAO）最大，此时∠AE′O=90°，点D′与点P重合，点P的纵坐标达到最大．
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图③所示．∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，∴∠E′AO=30°，AE′=．∴AP=+1．∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，∴PH=AP=．
∴点P的纵坐标的最大值为．
15．【解答】（1）证明：延长FE交AB于点Q，如图1，∵四边形EFGB是正方形，
∴EF=EB，∠EFB=∠EBF=45°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴∠BQF=∠QBE=45°．∴QE=EB．∴QE=EF．∵AH=FH，∴HE=AQ．∵∠BQF=∠BFQ=45°，
∴BQ=BF．∵AB=BC，∴AQ=CF．∴HE=CF．
（2）延长EH交AB于点N，如图2，∵四边形BEFG是正方形，∴EF∥BG，EF=EB=BG=2．
∵EF∥AG，∴∠FEH=∠ANH，∠EFH=∠NAH．在△ANH和△FEH中，
∴△ANH≌△FEH．∴NH=EH，AN=EF．∵AB=5，AN=EF=2，∴BN=AB﹣AN=3．
∵∠NBE=90°，BE=2，BN=3，∴EN==．∵∠NBE=90°，EH=NH，
∴BH=EN=．∴BH的值为．
（3）过点A作EF平行线交EB的延长线于点T，延长EH交AT于S，连接SB、EC，如图3，
∵EF∥AS，∴∠FEH=∠ASH，∠EFH=∠SAH．在△ASH和△FEH中，
∴△ASH≌△FEH．∴AS=EF，SH=EH．∵四边形BEFG是正方形，∴BE=EF，∠FEB=90°．∴AS=BE．∵EF∥AS，∴∠ATE=∠FEB=90°．∴∠TAB+∠ABT=90°．∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABT=90°．∴∠TAB=∠CBE．在△SAB和△EBC中，∴△SAB≌△EBC．
∴SB=EC．∠ASB=∠BEC．∵∠ATB=90°，∴∠TSB+∠TBS=90°．∴∠ASB+∠SBE=360°﹣90°=270°．∵∠BEC+∠CEF=360°﹣90°=270°，∴∠SBE=∠CEF．在△SBE和△CEF中，
．∴△SBE≌△CEF．∴SE=CF．∵SH=EH，∴EH=SE=CF．∴的值为．。