高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例2.7.1点到直线的距离公式教案北师大版必修4

2.7.1 点到直线的距离公式
整体设计
教学分析
1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用.
2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:
则向量方法的流程图可以简单地表述为:
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.
3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新.
有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.
三维目标
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.
3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.
重点难点
教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题.
教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.
思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量
积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用. 推进新课 新知探究 提出问题
图1
①你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗?
②平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？
③你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?
④你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？ 活动:①教师引导学生画出直线,点.
如图2所示,M(x 0,y 0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,-a).一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量. 设n =(a,b),因为n ·v =(a,b)·(b,-a)=ab-ab=0,
所以n ⊥v ,故称n 为直线l 的法向量,与n 同向的单位向量为 n 0=
),(||2222b
a b b a a n n ++=.
于是,点M(x 0,y 0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量PM 在n 0方向上射影的长度: d=｜PM ·n 0｜=｜(x 0-x,y 0-y)·(
|),
2
2
2
2
b
a b b
a a ++.
|)
(|
|)
()(|
2
2
002
2
00b
a by ax by ax b
a y y
b x x a ++-+=+-+-=
又因为P(x,y)为l 上任意一点,所以c=-(ax+by).
②教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
③教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法. 证明:方法一:如图3.
图3
作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.
∴A D=BC,AF=BE由于
AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.
BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2
=AB2-2AB·AF+AF2+DF2
=AB2-2AB·AF+AD2
=AB2-2AB·BE+BC2.
∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).
方法二:如图4.
图4
以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.
设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).
∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.
∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).
用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对边平行且相
等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.
方法三:设AB=a,AD=b,则=a+b,DB=a-b,|AB|2=|a|2,|AD|2=|b|2.
∴||2=·=(a+b)·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=|a|2+2a·b+|b|2.①
同理|DB|2=|a|2-2a·b+|b|2.②
观察①②两式的特点,我们发现,①+②得
|AC|2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
④至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以
上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时地引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解
决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 这个“三步曲”用流程图表示为:
讨论结果:①能.
②能想出至少三种证明方法. ③略. 应用示例
例1 求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.
活动:本例是直接应用点到直线的距离公式.由学生自己完成. 解:由点到直线的距离公式,得d=
51
2|
12112|2
2
=++⨯+⨯,
所以点P(1,2)到直线l 的距离为5.
点评:通过此题让学生归纳用向量方法解决解析几何问题的思路. 变式训练
(2007广东梅州)若将函数y=f(x)的图像按向量a 平移,使图像上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图像的解析式为( )
A.y=f(x+1)-2
B.y=f(x-1)-2
C.y=f(x-1)+2
D.y=f(x+1)+2
解析:由已知,得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=+=,2,
1,02,12k h k h 即
平移公式为⎩
⎨⎧+=+=,2',
1'y y x x
即⎩
⎨⎧-=-=,2',
1'y y x x 代入y=f(x),得y′-2=f(x′-1),
即y′=f(x′-1)+2.
∴平移后的图像的解析式为y=f(x-1)+2. 答案:C
例2 如图5,ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?
图5
活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间
的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察,发现AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断AR ,AT 与
AC 之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可
得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.
解:如图5,设AB =a ,AD =b ,AR =r ,则AC =a +b . 由于与共线,所以我们设r=n(a +b ),n∈R . 又因为=-=（a -21
b ),与共线, 所以我们设=m =m(a -2
1
b ). 因为AR =AE +ER ,所以r=21b +m(a -2
1
b ), 因此n(a +b )=
21b +m(a -21b ),即(n-m)a +(n+2
1
-m )b =0. 由于向量a ,b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=-.021
,
0m n m n . 解得n=m=31
.
所以AR =31AC .同理,=3
1
AC . 于是=
3
1
.所以AR=RT=TC. 点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练
如图6,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点
.
图6
证明:设BE 、CF 相交于点H,并设AB =b ,AC =c ,AH =h ,
则=h -b ,=h -c ,BC =c -b . 因为BH ⊥AC ,CH ⊥AB , 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简,得h ·(c -b )=0. 所以AH ⊥.
所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.
例3 如图7,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值.
图7
活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.
解:建立如图7所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),
OA =(0,a),BA =(c,a),OC =(c,0),BC =(2c,0).
因为BB′、CC′都是中线,所以'BB =21(BC +BA )=21［(2c,0)+(c,a)］=(2
,23a c ). 同理,'CC =(-
2
,23a
c ). 因为BB′⊥CC′,所以-4
4922a c +=0,a 2=9c 2
.
所以54
99||||2
2222222=+-=+-=c c c c c
a c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学
中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达到融会贯通、灵活运用之功效. 变式训练
(2004湖北高考)如图8,在Rt△ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:与的夹角θ取何值时,·CQ 的值最大?并求出这个最大值.
图8
解:方法一,如图8.
∵⊥,∴·=0.
∵AP =-AQ ,BP =AP -AB ,CQ =AQ -AC , ∴·CQ =(-)·(AQ -) =·-·-·+· =-a 2
-·+·=-a 2
+·(-)
=-a 2
+
2
1·BC =-a 2+a 2
cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0. 方法二:如图9.
图9
以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P 的坐标为(x,y), 则Q(-x,-y).
∴BP =(x-c,y),CQ =(-x,-y-b),BC =(-c,b),PQ =(-2x,-2y). ∴BP ·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x 2
+y 2
)+cx-by.
∵cos θ2
a by
cx -=
, ∴cx -by=a 2
cos θ. ∴·CQ =-a 2
+a 2
cos θ.
故当cos θ=1,即θ=0,PQ 与BC 的方向相同时,BP ·CQ 最大,其最大值为0. 知能训练
1.如图10,已知AC 为⊙O 的一条直径,∠ABC 是圆周角. 求证:∠ABC=90°.
图10
证明:如图10. 设AO =a ,OB =b ,
则AB =a +b ,=a ,BC =a -b ,|a |=|b |. 因为·=(a +b )·(a -b )=|a |2
-|b |2
=0, 所以AB ⊥.
由此,得∠ABC=90°.
点评:充分利用圆的特性,设出向量.
2.D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 上的动点,且它们在初始时刻分别从A 、B 、C 出发,各以一定速度沿各边向B 、C 、A 移动.当t=1时,分别到达B 、C 、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t 1,△DEF 的重心不变.
图11
证明:如图11.
建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).
在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有
1
11|||
|||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(
3
,3n
m a +). 当t=0或t=1时,△ABC 的重心也为(
3
,3n
m a +), 故对任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不变.
点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF
的重心相同即可.
课堂小结
1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决解析几何及平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.
2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.
作业
课本习题2—7 A组1,2.
设计感想
1.本节设计的指导思想是:充分使用多媒体这个现代化手段,引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大,思维含量较高,教师要把握好火候,恰时恰点地激发学生的智慧火花.
2.由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现,特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时,注意引导学生关注向量知识、向量方法与三角知识、解析几何知识等的交汇,提高学生综合解决问题的能力.
3.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等,它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.
备课资料
一、利用向量解决几何问题的进一步探讨
用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用.
1.简化向量运算
例1 如图12所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:OH=OA+OB+OC.
图12
证明:如图12,作直径BD,连接DA,DC,有=-,
且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,
故CH∥DA,AH∥DC,得四边形AHCD是平行四边形.
从而AH=DC.
又DC=OC-OD=OC+OB,得=OA+AH=OA+DC,
即OH =++.
2.证明线线平行
例 2 如图13,在梯形ABCD 中,E,F 分别为腰AB,CD 的中点.求证:EF∥BC,且||=
2
1
(||+|BC |).
图13
证明:连接ED,EC,∵AD∥BC,可设=λ(λ＞0), 又E,F 是中点,∴EA +EB =0, 且EF =
2
1
(ED +). 而+EC =+++BC =+BC =(1+λ)BC ,
∴=
2
1λ
+BC .EF 与BC 无公共点, ∴EF∥BC.又λ＞0, ∴||=
21(|BC |+|λBC |)=2
1
(||+|BC |). 3.证明线线垂直
例3 如图14,在△ABC 中,由A 与B 分别向对边BC 与CA 作垂线AD 与BE,且AD 与BE 交于H,连接CH,求证:CH⊥AB.
图14
证明:由已知AH⊥BC,BH⊥AC, 有·=0,·AC =0. 又AH =AC +CH ,BH =BC +CH ,
故有(+)·BC =0,且(BC +CH )·=0,
两式相减,得CH ·(CB -CA )=0,即CH ·AB =0,∴CH ⊥AB . 4.证明线共点或点共线
例4 求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的3
2
.
图15
解:已知:△ABC 的三边中点分别为D,E,F(如图15).
求证:AE,BF,CD 共点,且CD CG BF BG AE AG ===3
2. 证明:设AE,BF 相交于点G,AG =λ1, 由定比分点的向量式有=1
11111λλλ+=++BA +)1(211λλ+, 又F 是AC 的中点,BF =
2
1(BA +), 设BG =λ2BF , 则111λ+BA +)1(211λλ+=22λBA +22λ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.2
)1(2,21121121λλλλλ ∴.3
2,32,2)1(21121111====⇒+=+BF BG AF AG 即λλλλλ 又=CE CA 3
2)(2132)2(31111=+∙=+=++λλ, ∴C,G,D 共线,且
32===CD CG BF BG AE AG . 二、备用习题
1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB =a ,BC =b ,AC =c,则|a -b +c |=___________.
2.已知|a |=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°,则使λb -a 与a 垂直的λ=____________.
3.在等边△ABC 中,AB =a ,BC =b ,CA =c ,且|a |=1,则a ·b +b ·c +c ·a =__________.
4.已知三个向量=(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),且A,B,C 三点共线,则k=__________.
5.如图16所示,已知矩形ABCD,AC 是对角线,E 是AC 的中点,过点E 作MN 交AD 于点M,交BC 于点N,试运用向量知识证明AM=CN.
图16
6.已知四边形ABCD 满足|AB |2+|BC |2=|AD |2+|DC |2,M 为对角线AC 的中点.求
证:||=||.
7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补. 参考答案: 1.2 2.2 3.-2
3 4.-2或11 5.证明:建立如图17所示的平面直角坐标系,设BC=a,BA=b,则C(a,0),A(0,b),E(2
,2b a ).
图17
又设M(x 2,b),N(x 1,0),则
=(x 2,0),=(x 1-a,0). ∵∥,=(
2a -x 2,-2b ),=(x 1-2a ,-2b ), ∴(2a -x 2)×(-2b )-(x 1-2a )×(-2
b )=0. ∴x 2=a-x 1. ∴||=2
2x =|x 2|=|a-x 1|=|x 1-a|. 而||=21)(a x =|x 1-a|, ∴|AM |=|CN |,
即AM=CN.
6.证明:设AB =a ,=b ,=c ,DA =d ,
∵a +b +c +d =0,
∴a +b =-(c +d ).
∴a 2+b 2+2a ·b =c 2+d 2+2c ·d .① ∵||2+|BC |2=||2+||2
,
∴a 2+b 2=(-d )2+(-c )2=c 2+d 2.②
由①②,得a ·b =c ·d .
图18
∵M 是AC 的中点,如图18所示, 则=21(d -c ),=2
1(b -a ). ∴||2=2=
41(b 2+a 2-2a ·b ), |MD |2=DM 2=
41(d 2+c 2-2c ·d ). ∴|MB |2=|MD |2. ∴||=||.
7.解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′.
求证:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.
证明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′, ∴=λ'O (λ∈R ,λ≠0),OB =μ''B O (μ∈R ,μ≠0). , ±===λμμλ 当与''A O ,OB 与''B O 均同向或反向时,取正号,
即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.
∵∠AOB,∠A′O′B′∈(0,π),
∴∠AOB=∠A′O′B′. 当与''A O ,OB 与''B O 只有一个反向时,取负号,
即cos∠AOB=-cos∠A′O′B′=cos(π-∠A′O′B′). ∵∠AOB,π-∠A′O′B′∈(0,π),
∴∠AOB=π-∠A′O′B′.
∴∠AOB+∠A′O′B′=π.
∴命题成立.。