经典层合板理论

h/2
h
经典层合板理论—合力及合力矩
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因此可
以从每一层的积分号中提出：
Nx
Q11 Q12
N


N

y Q12 Q22
k 1 Q Q
26
16
N xy
M x
Q11 ห้องสมุดไป่ตู้12

N
M y Q12 Q22

1
1
1

B ( A B)( D BA B)
D ( D BA1B) 1

经典层合板理论—合力及合力矩
上式中的子矩阵 A , B , D 分别称为面内柔度矩阵，
耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵 B与矩阵 B
T
是相互转置的，但未必对称

h
经典层合板理论—应力和应变关系
由直法线和等法线假设

w
z z 0

u w


0
zx
z x

v w

zy z y 0

yz 0, zx 0, z 0
经典层合板理论—应力和应变关系
将上面三式分别对z积分得到：

w w( x, y )

w( x, y )

u u0 ( x, y ) z
x

w( x, y )

v v0 ( x, y ) z y

式中的 u0 , v0 , w 表示中面的位移分量，并且只是
坐标x，y的函数，其中为挠度函数
经典层合板理论—应力和应变关系
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
一
二
•层合板基本概念
•经典层合板理论
一、层合板的基本概念
层合板是指由两层或两层以上的单层板叠合在一起固
化的整体板
层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以由不同
纤维铺设方向而材质相同的各向异性单层板构成
特点
1、无确定的材料主方向
2、性能取决于各单层板的性能和铺设方式
3、存在耦合效应
4、强度分析较为复杂

0 y

xy u v
0
0

y x
中面的曲率为：
2w
a 2
x
k x
2 w

k y a 2

y
k xy
2w
2

xy
其中 k xy 为中面扭曲率
xy
M x
x
x
N
h2
zk




M y h 2 y zdz z y zdz
k 1 k 1




M


xy
xy
xy
经典层合板理论—合力及合力矩
上式中的 zk , zk 1 可由下图确定：
等法线假设：
z 0
平面应力假设：
z 0； xz =0； yz =0
线弹性和小变形假设
经典层合板理论—应力和应变关系
由N层任意铺设的单层板构成
取XOY坐标面与中面重合
板厚为h
u u ( x, y, z )

v v ( x, y , z )
w w( x, y, z )
x , y x0, y z k x , y
经典层合板理论—应力和应变关系
第k层应力为：
k Q k
x Q11

y Q12
Q
xy k 16
简写为
Q12
Q22
Q26

N y A12
A
N xy 16
A12
A22
A26
0


A16 x B11
0

A26 y B12
A66 0 B16
xy
M x B11


M y B12

u u0
2w

z 2
x
x x
x


v v0
2w

z 2
y
y y
y


u0 v0
u v
2w
(

) 2z
xy
y x
y x
xy

经典层合板理论—应力和应变关系
上式可以用矩阵形式来表达：
0

x x

k 1 Q Q
26
16
M xy
x0
k x
Q16
zk

zk 0
Q26 y dz k y zdz
zk 1
zk 1




0
Q66
k xy



xy





0


[-45/30/0/-30/45]
不对称层合板
经典层合板理论

经典层合板理论的基本假设

层合板的应力和应变关系

层合板的合力及合力矩
经典层合板理论—基本假设
经典层合板理论的研究对象为弹性等厚度层合薄板板，
厚度远小于板面尺寸，各层之间黏结牢固，没有相对滑移。
直法线假设：
yz 0, zx 0


k x


Q16
x
zk
2
zk 0
Q26 y zdz k y z dz
zk 1
zk 1





0
Q66

k xy



xy





经典层合板理论—合力及合力矩
将上式积分求解后，简写为
1 N
N
使kT=[0 0 0]，应该施加怎样的载荷？
y
（都是指单位长度上的力或力矩）
经典层合板理论—合力及合力矩
合力及合力矩的表达式为：
Nx
x
x
N
h2
zk



N y h 2 y dz z y dz
k 1 k 1



N xy
xy

D16 k x


D26 k y
D66 k xy

经典层合板理论—合力及合力矩
将上两式式简写
0
N
A
B






M B D k
上式就是层合板内力与中面应变之间的关系，由于耦
合刚度矩阵 B 的存在，合力N不但与中面面内应变相
一般层合板的物理关系很复杂，这是由于耦合刚
度阵 B 的存在所产生的耦合效应引起，即拉弯耦
合，此外，由于 A16 , A26的存在产生了拉剪耦合，由
于D16 , D26 的存在产生弯扭耦合。
习题：设正交非对称层合板的铺设为[0/90] ，要使层
合板在某种载荷作用下只产生面内应变εT=[εx 0 0]，而
0


N x , y Q zk zk 1 x , y Q z k2 z k21 k x , y
k
k
k
k 1

2 k 1



N
1 N
0
1


2
2
M x , y Q z k z k 1 x , y Q z 3k z 3k 1 k x , y
k x
0

y y z k y
0


k

xy
xy
xy
经典层合板理论—应力和应变关系
中面的应变
u0
aa

0
x x

0 v0
y aa
0
k x
Q16 x

0
Q26 y z k y

Q66 k 0
k xy
xy
x , y Q x0, y z Q k x , y
k
k
k
2 k 1

3 k 1



经典层合板理论—合力及合力矩
0


将上式中 x , y 和 k x , y 的系数矩阵用 A , B , D 表示，
并分别称为面内刚度矩阵，耦合刚度矩阵和弯曲
刚度矩阵
N

Aij (Qij ) k ( zk zk 1 )

B
M
xy 16
B12
B22
B26
0
B16 x D11
0

B26 y D12
B66 0 D16
xy
B12
B22
B26
D12
D22
D26
B16 k x


B26 k y
B66 k xy
k 1


1 N
2
2
B

(
Q
)
(
z

z
ij

ij k
k
k 1 ) , (i, j 1, 2, 6)
2 k 1


1 N
3
3
D

(
Q
)
(
z

z
ij

ij k
k
k 1 )
3 k 1

Aij的单位是N/m
Bij的单位是N
Dij的单位是N·m
经典层合板理论—合力及合力矩
展开后得
N x A11
5、存在温度应力
6、存在层间应力
层合板的标记
[45/-45/90/0/0/45]
[±45/90/02/45]
层合板的标记
[45/-45/0/90]S
混杂纤维层合板
[45/-45/0/90]S
[0C/45K/90G]
[0/90]2S
分类
对称层合板
[-45/30/-30/45]
反对称层合板
[0/90/0/90/0/90]
关，还和中面曲率相关，弯曲和扭转合力矩不但与中
面曲率相关，还和中面面内应变相关，这说明层合板
具有拉弯或弯拉耦合效应。
经典层合板理论—合力及合力矩
对层合板的物理方程进行矩阵运算得到：
0 A
T
k B
B N


D M
A A1 A1B( D BA1B)1 BA1
k
k
k
虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但由于层合板
每层的 Qij可以不同，故应力变化一般不是线性的
经典层合板理论—应力和应变关系
典型层合板的应变及应力的变化
经典层合板理论—合力及合力矩
层合板上的合力 N x , N y , N xy 及合力矩 M x , M y , M xy
h/2
x
h/2