2.1.5 平面上两点间的距离2015-05-11
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B(－1，3)， C(－3，－1)，求第四个顶点D 的坐标． By
A
O
x
C
数学应用
例4. 已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建 立适当的坐标系，证明：AM＝ 1 BC．
2
分析：建立如图所示的平面直角坐标系，
y
设出B，C两点坐标 B(b, 0), C(0, c)， C(0, c)
则由中点坐标公式得 M ( b , c ) 22
x2 y2
数学建构
中点坐标公式的证明：
可仿照上例的推导过程加以证明，亦可用距离公式及斜率
公式证明.下面我们仅就x1≠x2的情况，用后一种方法加以证明.
第一步：利用斜率公式证明点M在P1P2上.
由
kM1PkM2Pxy11
y2 x2
得三点共线.
第二步:利用距离公式证明MP1=MP2.
由 M1 PM2 wk.baidu.comx1 2x22y1 2y22 得 MP1=MP2
3.解析法证题的步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果翻译成几何关系.
课堂练习 1. 已知矩形ABCD两个顶点A(－1，3)，B(－3，1)，若它
的对角线交点M在x轴上，求C，D两点的坐标．
2. 已知点A(1，2)，B(2， )，试7 在 x 轴上求一点P，使
,
1
.
3(1) 2
1.
同理可得线段BD的中点坐标也为
5 2
,
1
，因此四边
形ABCD的对角线AC，BD在M点互相平分，故这个四边
形为平行四边形.
一般地， 对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线
段P1P2的中点是M(x0, y0)，则
此即中点坐标公式
x
0
y
0
x1 2
y1 2
由两点间距离公式易证得 AM 1 BC 2
M o A B(b, 0) x
反馈总结
1.两点间的距离公式：|P 1P 2|(x2x1)2(y2y1)2 2.中点坐标公式：
设平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是
M(x0,
y0)，则
x
0
y
0
x1 2
y1 2
x2 y2
数学建构
一般地说，已知两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求这
两点间的距离？
如果 x1 x2,y1 y2，
y
y2
P2(x2, y2)
x y 过 P1 , P 2 分别向 轴、 轴作
垂线交于点Q ，则点 Q 的坐 x 1
标为( x 2 , y 1 ) .
o
P1(x1, y1) y 1
*( ) 式也成立
P1 ( x1,2 y1 )
P2(x2, y2) P2(x2, y2)
如果 y1 y 2 , 那么 P1P2 x2 x1
o
*( ) 式仍成立.
x 1 y 1 o x x xP1(x12, y1)
由此，我们得到平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间
的距离公式
P 1P 2(x2x1)2(y2y1)2
设线段ac的中点m的坐标为xyx轴作垂线垂足分别为a则a1m1c1的横坐标分别为1x6一般地对于平面上两点p同理可得线段bd的中点坐标也为因此四边形abcd的对角线acbd在m点互相平分故这个四边形为平行四边形
2.1.5 平面上两点间的距离2015-05-11
21.04.2021
生产计划部
问题情境 已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，
横坐标分别为－1，x，6 .
A(1, 3)
D (2, 4)
A(1, 3)
M (x, y)
O
x C(6, 1)
B(3, 2)
A1O
M1
由 A1M1=M1C1, 得 x - (-1) = 6 - x
C1 x
C(6, 1)
数学建构
解得 x 16 5 . 同理可得 y
22
所以线段AC的中点M坐标为
5 2
问：四边形ABCD是否为平行四边形？ 分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1. 判断两组对边是否对应平行； 2. 判断两组对边是否对应相等； 3.判断一组对边是否平行且相等； 4. 判断对角线是否互相平分.
问题：如何计算两点间的距离?
问题情境
过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两条垂线 交于点P，则点P的坐标是(－1，－2），且
PA＝PB，并求此时PA的值． 3. 已知A，B两点都在直线y＝2x＋1上，且A，B两点的横
坐标之差为 ，5A，B两点之间的距离为______．
4. 已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(5，7)， 求AB边
上的中线CM的长,并求三角形重心G的坐标.
5. 已知两点P(1，-4)，A(3，2)，则点A关于点P的对称点 B的坐标是______．
PA3(2) 5,
y
PB3(1) 4
y
A(1, 3)
D (2, 4)
A(1, 3)
O
x C(6, 1)
B(3, 2)
所以，在 RtPAB中，
O
P(1,2)
x
B(3, 2)
A B 2 P A 2 P B 2 5 2 4 2 4 1
AB 41, 类似可得CD 41 ，所以ABCD. 同理有BCDA, 故四边形ABCD为平行四边形 .
所以点M为P1P2的中点.
当 x1=x2 时,结论显然成立.
数学应用
练习： 一直线被两坐标轴所截线段中点坐标为(－2，1)，
则该直线的方程为_x_－__2_y_＋__4_＝__0_．
数学应用
例2. 已知△ABC的顶点坐标为 A(－1，5)， B(－2，－1)，
C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方
P1 ( x1, y1 )
y
P2(x2, y2)
x1 o x2 x
数学应用 例1．(1) 求A(－1，3)，B(2，5)两点间的距离；
(2) 若A(0，10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求 实数a的值．
变式训练： 1. 已知(a，0)到(5，12)的距离为13，则a＝________． 2. 若x轴上的点M到原点及到点(5，－3)的距离相等，则
M的坐标为______．
数学建构 怎样求线段AC中点的坐标呢?
现在再来考察本节开头的问题,由于两条对角线互相平分的
四边形是平行四边形,所以,只需说明对角线AC和BD的中点相同,
即可推得四边形ABCD为平行四边形. 设线段AC的中点M的坐标为（x，y ）,过点A, M, C向
y y x轴作垂线, 垂足分别为A1，M1，C1 ，则A1，M1，C1的
程分．析:
1. 先利用中点坐标公式求出点M的坐
y N
标；
A(-1, 5)
C(4, 7)
2. 再利用两点间距离公式求得中线AM
M
的长；
3. 可利用两点式求中线AM所在直线的
O
x
方程.
B(-2, -1)
思考：如何求△ABC的重心坐标呢？
数学应用 例3. 已知平行四边形ABCD的三个顶点分别是A(1，2)，
x2
Q(x2, y1) x
因为P1Q x2 x1 ,P2Q y2 y1
所以,在 RtP1P2Q中,
P 1P22P 1Q2P2Q2(x2x1)2(y2y1)2 ( )
数学建构
* y y P 1P22P 1Q2P2Q2(x2x1)2(y2y1)2( )
y 如果 x1 x 2 , 那么 P1P2 y2 y1 ，
谢谢大家
21.04.2021
生产计划部
A
O
x
C
数学应用
例4. 已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建 立适当的坐标系，证明：AM＝ 1 BC．
2
分析：建立如图所示的平面直角坐标系，
y
设出B，C两点坐标 B(b, 0), C(0, c)， C(0, c)
则由中点坐标公式得 M ( b , c ) 22
x2 y2
数学建构
中点坐标公式的证明：
可仿照上例的推导过程加以证明，亦可用距离公式及斜率
公式证明.下面我们仅就x1≠x2的情况，用后一种方法加以证明.
第一步：利用斜率公式证明点M在P1P2上.
由
kM1PkM2Pxy11
y2 x2
得三点共线.
第二步:利用距离公式证明MP1=MP2.
由 M1 PM2 wk.baidu.comx1 2x22y1 2y22 得 MP1=MP2
3.解析法证题的步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果翻译成几何关系.
课堂练习 1. 已知矩形ABCD两个顶点A(－1，3)，B(－3，1)，若它
的对角线交点M在x轴上，求C，D两点的坐标．
2. 已知点A(1，2)，B(2， )，试7 在 x 轴上求一点P，使
,
1
.
3(1) 2
1.
同理可得线段BD的中点坐标也为
5 2
,
1
，因此四边
形ABCD的对角线AC，BD在M点互相平分，故这个四边
形为平行四边形.
一般地， 对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线
段P1P2的中点是M(x0, y0)，则
此即中点坐标公式
x
0
y
0
x1 2
y1 2
由两点间距离公式易证得 AM 1 BC 2
M o A B(b, 0) x
反馈总结
1.两点间的距离公式：|P 1P 2|(x2x1)2(y2y1)2 2.中点坐标公式：
设平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是
M(x0,
y0)，则
x
0
y
0
x1 2
y1 2
x2 y2
数学建构
一般地说，已知两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求这
两点间的距离？
如果 x1 x2,y1 y2，
y
y2
P2(x2, y2)
x y 过 P1 , P 2 分别向 轴、 轴作
垂线交于点Q ，则点 Q 的坐 x 1
标为( x 2 , y 1 ) .
o
P1(x1, y1) y 1
*( ) 式也成立
P1 ( x1,2 y1 )
P2(x2, y2) P2(x2, y2)
如果 y1 y 2 , 那么 P1P2 x2 x1
o
*( ) 式仍成立.
x 1 y 1 o x x xP1(x12, y1)
由此，我们得到平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间
的距离公式
P 1P 2(x2x1)2(y2y1)2
设线段ac的中点m的坐标为xyx轴作垂线垂足分别为a则a1m1c1的横坐标分别为1x6一般地对于平面上两点p同理可得线段bd的中点坐标也为因此四边形abcd的对角线acbd在m点互相平分故这个四边形为平行四边形
2.1.5 平面上两点间的距离2015-05-11
21.04.2021
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问题情境 已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，
横坐标分别为－1，x，6 .
A(1, 3)
D (2, 4)
A(1, 3)
M (x, y)
O
x C(6, 1)
B(3, 2)
A1O
M1
由 A1M1=M1C1, 得 x - (-1) = 6 - x
C1 x
C(6, 1)
数学建构
解得 x 16 5 . 同理可得 y
22
所以线段AC的中点M坐标为
5 2
问：四边形ABCD是否为平行四边形？ 分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1. 判断两组对边是否对应平行； 2. 判断两组对边是否对应相等； 3.判断一组对边是否平行且相等； 4. 判断对角线是否互相平分.
问题：如何计算两点间的距离?
问题情境
过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两条垂线 交于点P，则点P的坐标是(－1，－2），且
PA＝PB，并求此时PA的值． 3. 已知A，B两点都在直线y＝2x＋1上，且A，B两点的横
坐标之差为 ，5A，B两点之间的距离为______．
4. 已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(5，7)， 求AB边
上的中线CM的长,并求三角形重心G的坐标.
5. 已知两点P(1，-4)，A(3，2)，则点A关于点P的对称点 B的坐标是______．
PA3(2) 5,
y
PB3(1) 4
y
A(1, 3)
D (2, 4)
A(1, 3)
O
x C(6, 1)
B(3, 2)
所以，在 RtPAB中，
O
P(1,2)
x
B(3, 2)
A B 2 P A 2 P B 2 5 2 4 2 4 1
AB 41, 类似可得CD 41 ，所以ABCD. 同理有BCDA, 故四边形ABCD为平行四边形 .
所以点M为P1P2的中点.
当 x1=x2 时,结论显然成立.
数学应用
练习： 一直线被两坐标轴所截线段中点坐标为(－2，1)，
则该直线的方程为_x_－__2_y_＋__4_＝__0_．
数学应用
例2. 已知△ABC的顶点坐标为 A(－1，5)， B(－2，－1)，
C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方
P1 ( x1, y1 )
y
P2(x2, y2)
x1 o x2 x
数学应用 例1．(1) 求A(－1，3)，B(2，5)两点间的距离；
(2) 若A(0，10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求 实数a的值．
变式训练： 1. 已知(a，0)到(5，12)的距离为13，则a＝________． 2. 若x轴上的点M到原点及到点(5，－3)的距离相等，则
M的坐标为______．
数学建构 怎样求线段AC中点的坐标呢?
现在再来考察本节开头的问题,由于两条对角线互相平分的
四边形是平行四边形,所以,只需说明对角线AC和BD的中点相同,
即可推得四边形ABCD为平行四边形. 设线段AC的中点M的坐标为（x，y ）,过点A, M, C向
y y x轴作垂线, 垂足分别为A1，M1，C1 ，则A1，M1，C1的
程分．析:
1. 先利用中点坐标公式求出点M的坐
y N
标；
A(-1, 5)
C(4, 7)
2. 再利用两点间距离公式求得中线AM
M
的长；
3. 可利用两点式求中线AM所在直线的
O
x
方程.
B(-2, -1)
思考：如何求△ABC的重心坐标呢？
数学应用 例3. 已知平行四边形ABCD的三个顶点分别是A(1，2)，
x2
Q(x2, y1) x
因为P1Q x2 x1 ,P2Q y2 y1
所以,在 RtP1P2Q中,
P 1P22P 1Q2P2Q2(x2x1)2(y2y1)2 ( )
数学建构
* y y P 1P22P 1Q2P2Q2(x2x1)2(y2y1)2( )
y 如果 x1 x 2 , 那么 P1P2 y2 y1 ，
谢谢大家
21.04.2021
生产计划部